四川省内江市资中县九年级（下）期末数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．﹣2016的绝对值是（　　）

A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣

2．下列调查中，适合用抽样调查的是（　　）

①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准；

②了解某班每个学生家庭电脑的数量；

③调查全省中学生一天的学习时间．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

3．如图所示的几何体，其主视图是（　　）

A． B． C． D．

4．小明记录了半个月的最高气温如下表：

那么这半个月每天的最高气温的中位数是（　　）

A．22 B．23 C．23.5 D．24

5．已知正比例函数y=（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m≥3 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3

6．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）

A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11

7．函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠0 B．x≥5 C．x≤5 D．x＞5

8．已知m﹣n=100，x+y=﹣1，则代数式（n+x）﹣（m﹣y）的值是（　　）

A．99 B．101 C．﹣99 D．﹣101

9．如图，CB=1，且OA=OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB=，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

11．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0

12．已知α，β是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1=0的两实根，实数a、b、α、β的大小关系可能是（　　）

A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜β D．α＜a＜β＜b

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）

13．分解因式：2a2﹣8=　　．

14．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为　　．

15．如图，四边形ABCD中，连接AC，AB∥DC，要使AD=BC，需要添加的一个条件是　　．

16．如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是　　．（用“＜”号连接）

三、解答题（本大题共5小题，共44分）

17．计算：（﹣）0+（）﹣1•﹣|tan45°﹣|．

18．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．

求证：BC=DE．

19．为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：

（1）该校初四学生共有多少人？

（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．

（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

20．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．

（1）求公益广告牌的高度AB；

（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

21．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；

（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；

（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．

四、B卷填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．

22．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于　　厘米．

23．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为　　．

24．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是　　．

25．如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则=　　．

五、B卷解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

26．阅读下列材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．

然后解决下列问题．

（1）等比数列3，6，12，…的公比q为　　，第4项是　　．

（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an=　　（用a1和q的代数式表示）．

（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，求它的第1项与第4项．

（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．

27．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

28．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：

①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．

四川省内江市资中县九年级（下）期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．﹣2016的绝对值是（　　）

A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣

【考点】绝对值．

【分析】根据正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．

【解答】解：∵﹣2016的绝对值等于其相反数，

∴﹣2016的绝对值是2016．

故选A．

2．下列调查中，适合用抽样调查的是（　　）

①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准；

②了解某班每个学生家庭电脑的数量；

③调查全省中学生一天的学习时间．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【考点】全面调查与抽样调查．

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．

【解答】解：①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准，适合抽样调查，故①符合题意；

②了解某班每个学生家庭电脑的数量适合普查，故②不符合题意；

③调查全省中学生一天的学习时间，适合抽样调查，故③符合题意；

故选：B．

3．如图所示的几何体，其主视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B正确；

故选：B．

4．小明记录了半个月的最高气温如下表：

那么这半个月每天的最高气温的中位数是（　　）

A．22 B．23 C．23.5 D．24

【考点】中位数．

【分析】先把这组数据按照从小到大的顺序排列，然后找出中位数．

【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：21，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25，25，26，26，

中位数为：24．

故选D．

5．已知正比例函数y=（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m≥3 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3

【考点】正比例函数的性质．

【分析】直接利用正比例函数的定义得出m的取值范围即可．

【解答】解：∵正比例函数y=（m﹣3）x的图象过第二、四象限，

∴m﹣3＜0，

解得：m＜3．

故选：D．

6．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）

A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.00000000034=3.4×10﹣10，

故选：C．

7．函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠0 B．x≥5 C．x≤5 D．x＞5

【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．

【分析】根据分式及二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．

【解答】解：由题意得：x﹣5＞0，

解得：x＞5．

故选D．

8．已知m﹣n=100，x+y=﹣1，则代数式（n+x）﹣（m﹣y）的值是（　　）

A．99 B．101 C．﹣99 D．﹣101

【考点】整式的加减—化简求值．

【分析】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：∵m﹣n=100，x+y=﹣1，

∴原式=n+x﹣m+y=﹣（m﹣n）+（x+y）=﹣100﹣1=﹣101．

故选D．

9．如图，CB=1，且OA=OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【考点】实数与数轴；勾股定理．

【分析】在RT△BCO中，利用勾股定理求出BO即可知道OA的长得出结论．

【解答】解：∵BC⊥OC，

∴∠BCO=90°，

∵BC=1，CO=2，

∴OB=OA===，

∵点A在原点左边，

∴点A表示的实数是﹣．

故选D．

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB=，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

【考点】圆周角定理；解直角三角形．

【分析】作直径AD，连接CD，根据正弦的概念求出∠D的正弦，根据圆周角定理得到∠B=∠D，得到答案．

【解答】解：作直径AD，连接CD，

∴∠D=∠B，

∴sinD=sinB=，

在直角△ADC中，AC=3，

∴AD==4，

∴⊙O的半径为2．

故选C．

11．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0

【考点】根的判别式．

【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．

【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；

（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，

∵关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，

∴△=22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，

由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．

故选：A．

12．已知α，β是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1=0的两实根，实数a、b、α、β的大小关系可能是（　　）

A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜β D．α＜a＜β＜b

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

【分析】首先把方程化为一般形式，由于α，β是方程的解，根据根与系数的关系即可得到a，b，α，β之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．

【解答】解：设y=（x﹣a）（x﹣b），

则此二次函数开口向上，

当（x﹣a）（x﹣b）=0时，

即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），

当（x﹣a）（x﹣b）=1时，

∵α，β是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1=0的两实根，

∴函数与y=1的交点为：（α，0），（β，0），

根据二次函数的增减性，可得：

当a＜b，α＜β时，α＜a＜b＜β；

当b＜a，α＜β时，α＜b＜a＜β；

当b＞a，α＞β时，β＜a＜b＜α；

当b＞a，α＞β时，β＜a＜b＜α．

故选A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）

13．分解因式：2a2﹣8=　2（a+2）（a﹣2）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：2a2﹣8

=2（a2﹣4），

=2（a+2）（a﹣2）．

故答案为：2（a+2）（a﹣2）．

14．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为　　．

【考点】概率的意义．

【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．

【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，

∴正面向上的概率为．

故答案为：．

15．如图，四边形ABCD中，连接AC，AB∥DC，要使AD=BC，需要添加的一个条件是　AB=CD（答案不唯一）　．

【考点】平行四边形的判定与性质．

【分析】由AB∥DC，AB=DC证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出AD=BC．

【解答】解：添加条件为：AB=DC（答案不唯一）；理由如下：

∵AB∥DC，AB=DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC．

16．如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是　S1＜S3＜S2　．（用“＜”号连接）

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】设△ABC的面积为S，周长为C．①若l∥BC，如图1，则有△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质及等比性质可得====；②若l∥BC，如图2，同理可得=；③若l∥AC，如图3，同理可得=．由0＜a＜b＜c可得0＜a+b＜a+c＜b+c，即可得到＜＜．

【解答】解：设△ABC的面积为S，周长为C．

①若l∥BC，如图1，

则有△ADE∽△ABC，

∴====；

②若l∥AB，如图2，

同理可得： =；

③若l∥AC，如图3，

同理可得： =．

∵0＜a＜b＜c，

∴0＜a+b＜a+c＜b+c，

∴＜＜，

∴S1＜S3＜S2，

故答案为S1＜S3＜S2．

三、解答题（本大题共5小题，共44分）

17．计算：（﹣）0+（）﹣1•﹣|tan45°﹣|．

【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】根据实数的运算，可得答案．

【解答】解：原式=1+3×﹣（﹣1）

=1+2﹣+1

=2+．

18．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．

求证：BC=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质即可得到BC=DE．

【解答】证明：∵AB∥EC，

∴∠A=∠DCE，

在△ABC和△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE，

∴BC=DE．

19．为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：

（1）该校初四学生共有多少人？

（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．

（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；条形统计图．

【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；

（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数=频率，进而求出答案；

（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35=300（人），

答：该校初四学生共有300人；

（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），

b==0.15，

c==0.2；

如图所示；

（3）画树形图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，

∴P（抽到甲和乙）==．

20．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．

（1）求公益广告牌的高度AB；

（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】（1）根据已知和tan∠ADC=，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC求出AB；

（2）根据cos∠ADC=，求出AD，根据cos∠BDC=，求出BD．

【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，

∵tan∠ADC=，

∴AC=3•tan60°=3，

在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，

∴BC=CD=3，

∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．

（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，

∴AD===6米，

在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，

∴BD===3米．

21．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；

（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；

（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）根据派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台，列出关于x、y的函数关系式即可；

（2）根据（1）中的函数关系式得出关于x的不等式，求出x符合条件的x的值，再进行解答；

（3）根据（1）中得出的一次函数关系式，判断出其增减性，求出y的最大值即可．

【解答】解：（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30﹣x）台，

派往A、B地区的甲型收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台．

∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）

（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，

∵28≤x≤30，x是正整数

∴x=28、29、30

∴有3种不同分派方案：

①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；

②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；

③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；

（3）∵y=200x+74000中y随x的增大而增大，

∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．

四、B卷填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．

22．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于　5或1　厘米．

【考点】圆与圆的位置关系．

【分析】设⊙O2的半径为r，根据内切的判定方法得到r﹣3=2或3﹣r=2，然后解方程即可．

【解答】解：设⊙O2的半径为r，

∵⊙O1与⊙O2内切，

∴r﹣3=2或3﹣r=2，

∴r=5或r=1．

故答案为5或1．

23．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为　1或﹣3　．

【考点】反比例函数综合题．

【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=4，再解出k的值即可．

【解答】解：如图：

∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，

又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，

∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，

∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，

∴S四边形HAGO=S四边形CEOF=2×2=4，

∴xy=k2+2k+1=4，

解得k=1或k=﹣3．

故答案为1或﹣3．

24．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是　　．

【考点】比例的性质．

【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案；

【解答】解∵a+b+c=10，

∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），

∴

=﹣+﹣+﹣

=﹣1+﹣1+﹣1

=++﹣3，

∵，

∴原式=×10﹣3=﹣3=．

故填：．

25．如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则=　　．

【考点】二次函数综合题．

【分析】根据函数图象上的坐标的特征求得A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n， n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；然后由两点间的距离公式求得A1B1=|﹣（﹣）|=1，A2B2=|2﹣（﹣1）|=3，A3B3=|﹣（﹣）|=6，…AnBn=|n2﹣（﹣）|=；最后将其代入求值即可．

【解答】解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x=i（i=1、2、…、n）的图象上，

B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x=i（i=1、2、…、n）图象上，

∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n， n2）；

B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；

∴A1B1=|﹣（﹣）|=1，

A2B2=|2﹣（﹣1）|=3，

A3B3=|﹣（﹣）|=6，

…

AnBn=|n2﹣（﹣）|=；

∴=1，

=，

…

=．

∴，

=1++…+，

=2[+++…+]，

=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），

=2（1﹣），

=．

故答案为：．

五、B卷解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

26．阅读下列材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．

然后解决下列问题．

（1）等比数列3，6，12，…的公比q为　2　，第4项是　24　．

（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an=　a1•qn﹣1　（用a1和q的代数式表示）．

（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，求它的第1项与第4项．

（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．

【考点】规律型：数字的变化类．

【分析】（1）根据等比数列的定义可得；

（2）由数列中的每一项等于首项乘以公比的序数减一次方可得；

（3）根据定义先求得首项，再根据通项公式即可得；

（4）根据通项公式得，求得首项和公比，继而根据通项公式可得答案．

【解答】解：（1）根据题意知公比q=6÷3=2，第4项是12×2=24，

故答案为：2，24；

（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an=a1•qn﹣1，

故答案为：a1•qn﹣1；

（3）根据题意知，第1项为10÷2=5，第4项为5×23=40；

（4）根据题意知，

∴q3=8，即q=2，

则a1=3，

∴这个等比数列的第10项为3×29=1536．

27．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．

（2）先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=20A代入关系式即可．

（3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出cos∠ACB，再由（2）可得

OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长．

【解答】解：（1）连接OB，

∵PB是⊙O的切线，

∴∠PBO=90°，

∵OA=OB，BA⊥PO于D，

∴AD=BD，∠POA=∠POB，

又∵PO=PO，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴OA⊥PA，

∴直线PA为⊙O的切线．

（2）EF2=4OD•OP．

证明：∵∠PAO=∠PDA=90°

∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，

∴∠OAD=∠OPA，

∴△OAD∽△OPA，

∴=，即OA2=OD•OP，

又∵EF=2OA，

∴EF2=4OD•OP．

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，

∴OD=BC=3（三角形中位线定理），

设AD=x，

∵tan∠F=，

∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，

解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），

∴AD=4，OA=2x﹣3=5，

∵AC是⊙O直径，

∴∠ABC=90°，

又∵AC=2OA=10，BC=6，

∴cos∠ACB==．

∵OA2=OD•OP，

∴3（PE+5）=25，

∴PE=．

28．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：

①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；

（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=﹣x+b，即可得到结论；

（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当或时，△PBC∽△ABD，解方程组得D（4，﹣5），求出AD=，AB=4，BC=，设P的坐标为（x，0），代入比例式解得或x=﹣4.5即可得到或P（﹣4.5，0）；

②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到，求得BF=，BD=，求得，由于DM=，DN=，于是得到===，即可得到结果．

【解答】解：（1）由题意知：，

解得，

∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴B（3，0），

由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∵AD∥BC，

∴设直线AD的解析式为y=﹣x+b，

∴0=1+b，

∴b=﹣1，

∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1；

（3）①∵BC∥AD，

∴∠DAB=∠CBA，

∴只要当：或时，△PBC∽△ABD，

解得D（4，﹣5），

∴AD=，AB=4，BC=，

设P的坐标为（x，0），

即或，

解得或x=﹣4.5，

∴或P（﹣4.5，0），

②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，

在Rt△AFB中，∠BAF=45°，

∴，

∴BF=，BD=，

∴，

∵DM=，DN=，

又∵，NE=，

∴===，

∴当时，S△MDN的最大值为．

2019-2020学年内江市资中县九年级下期末数学模拟试卷（有标准答案）