第三节 简谐运动的公式描述

1．(3分)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是(　　)

A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处

B．周期和频率的乘积是一个常数

C．振幅增加，周期必然增加而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关

【解析】　振幅是振子振动过程中离开平衡位置的最大距离，是个标量，A错；周期和频率互为倒数，即T＝，故T·f＝1，B正确；振动周期或频率只与振动装置本身有关，与振幅无关，所以C错，而D正确．

【答案】　BD

2．(3分)弹簧振子在AOB之间做简谐运动，如图1－3－1所示，O为平衡位置，测得AB间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s．则(　　)

图1－3－1

A．振动周期是2 s，振幅是8 cm

B．振动频率是2 Hz

C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm

D．振子过O点时计时，3 s内通过的路程为24 cm

【解析】　根据周期和振幅的定义可得T＝s＝2 s，A＝cm＝4 cm，故A错；频率f＝＝Hz＝0.5 Hz，B错；振子完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，故C正确；振子在3 s内通过的路程为×4A＝×4×4 cm＝24 cm，D正确．

【答案】　CD

3．(4分)如图1－3－2所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k.开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧A处，此时拉力大小为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这个过程中振子的平均速度为(　　)

图1－3－2

A．0　　　　　 B.

C. D．Fkt

【解析】　振子在由A到O的运动过程中做加速度越来越小的加速运动，并非匀变速运动，设A到O的位移大小为x，由胡克定律可得x＝，又由平均速度＝得＝.故正确答案为C.

【答案】　C

学生P6

一、简谐运动的公式

描述简谐运动的公式可用来描述，其中

1．A表示简谐运动的振幅．

2．ω是一个与振动频率成正比的量，叫做圆频率(或角频率)，与周期、频率的关系是ω＝＝2πf.

3．ωt＋φ叫做简谐运动在t时刻的相位，用以描述做简谐运动的振子在某一时刻的运动状态．其中φ表示t＝0(开始计时)时的相位，叫做初相．

二、相位差

对于频率相同、振幅相等、相位不同的振子，相位的差值叫做相位差，表示为Δφ＝φ1－φ2，振动相差的时间为Δt＝T.

学生P6

一、简谐运动的两种描述

做简谐运动质点的位移随时间的变化规律，除用图象(x－t图象)描述外，还可以用函数关系x＝Acos(ωt＋φ)来展示．图象描述形象、直观，而公式描述则严密、准确．

二、对简谐运动的公式描述中各物理量的解读

1．振幅A与位移x

振动中的位移是矢量，有某时刻的位移和某段时间内的位移之分．在数值上，振幅与位移的大小可能相等，但同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期变化．

2．振幅与路程

振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．路程与振幅之间常用的定量关系是：一个周期内的路程为振幅的4倍，半个周期内的路程为振幅的2倍．

【特别提醒】　周期内的路程与振幅之间没有确定的关系.若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于1倍的振幅；若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，可能大于、等于，也可能小于1倍振幅.

3．振幅与周期

在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．振幅越大，振动过程中速度变化越快，平均速度越大，但周期为定值．

4．相位和相位差

(1)相位、初相位：为了准确描述振动物体所处的状态和为了比较两振动的步调，引入物理量“相位”．相位是用来描述做周期性运动的物体在各个时刻的不同状态．公式x＝Acos(ωt＋φ)＝Acos(t＋φ)中(ωt＋φ)称为相位，φ表示初相．

【深化探究】　A．位移x随时间的变化完全由相位(ωt＋φ)决定．当相位每增加2π时，振子完成一次全振动，相位变化α，需要T的时间．

B．相位代表做简谐运动的物体此时正处于一个周期中哪个运动状态．

(2)相位差

它是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异．

设两简谐运动A和B的振动方程分别为：

x1＝A1 cos(ωt＋φ1)，x2＝A2cos(ωt＋φ2)，

它们的相位差为Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)

＝φ2－φ1.

可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差．

若Δφ＝φ2－φ1>0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ＝φ2－φ1<0，则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|.

①同相：相位差为零，一般表示为Δφ＝2πn(n＝0,1,2…)．

②反相：相位差为π，一般表示为Δφ＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)．

注意：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程．

一、简谐运动的表达式的应用

　物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋)m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋)m.比较A、B的运动(　　)

A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m

B．周期是标量，A、B周期相等为100 s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A的相位始终超前B的相位

【导析】　根据简谐运动的公式描述中各量的物理意义进行分析．

【解析】　振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，A错．A、B振动的周期T＝＝s＝6.28×10－2 s，B错；因TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA0－φB0＝为定值，D对．故选C、D.

【答案】　CD

应用简谐运动的表达式解决相关问题时，首先要明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝2πω，f＝；然后把确定的物理量与所要求解的问题相对应，找到关系.

1．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)

A．x＝8×10－3sin(4πt＋)m

B．x＝8×10－3sin(4πt－)m

C．x＝8×10－3sin(4πt＋)m

D．x＝8×10－3sin(t＋)m

【解析】　A＝8×10－3m，T＝0.5 s，ω＝＝4π rads

初时刻具有负方向的最大加速度，此时位移：x＝A，

由正弦函数规律可知此时相位为：

则弹簧振子的振动方程为：

x＝8×10－3sin(4πt＋)m.

【答案】　A

二、简谐运动的公式描述与图象的相互转化

　如图1－3－3所示，A、B是两个简谐运动的位移－时间图象．根据图象求出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系．

图1－3－3

【导析】　根据题中所给的图象读出振幅、周期，计算出圆频率，分析判断出初相，即可写出表达式．

【解析】　由图象可知下列信息：A说明振动的质点从平衡位置沿正方向已经振动了12周期，周期T＝0.5 s，φ＝π，振幅A＝0.5 cm，ω＝＝4π rads则简谐运动的表达式：x＝0.5sin(4πt＋π) cm.B说明振动的质点从平衡位置沿正方向已经振动了14周期；T＝1.0 s，φ＝π，振幅A＝0.2 cm，ω＝＝2π rads，则简谐运动的表达式：

x＝0.2sin(2πt＋π)cm或x＝0.2cos 2πt cm.

【答案】　见解析

简谐运动的表达式为x＝Acos(ωt＋φ)或x＝Asin(ωt＋φ)．要由图象写出表达式，首先要清楚振幅A，角速度ω和初相φ，同理要由表达式画出图象，也要先清楚上述各量，才能在坐标系中画出图象.

2．某质点的振动方程为x＝5sin(2.5πt＋) cm，画出该质点的振动图象．

【解析】　该题考查的是根据振动方程画图象．由题意知，振幅A＝5 cm，周期T＝＝＝0.8 s．当t＝0时，x＝5 cm，由此可作出图象．

【答案】　见图

三、相位和相位差问题

　如图1－3－4所示A、B为两弹簧振子的振动图象，求它们的相位差．

图1－3－4

【导析】　由图所给的信息，写出简谐运动的表达式，然后根据相位差的定义求解．

【解析】　由图可知两简谐运动的频率相同．

t＝0时，

对A振动xA＝0，

对B振动xB＝－A

t＝＝0.1 s时，

对A振动xA＝A，

对B振动xB＝0

故A、B做简谐运动的表达式分别为

xA＝Acos(5πt＋π)，xB＝Acos(5πt＋π)

两振动的相位差为Δφ＝φA－φB＝π－π＝.

【答案】　

在由图象确定初相时不能只看一个时刻的位移，应通过两个或两个以上的位置验证，因为质点通过平衡位置时速度可能向上，也可能向下，同时还要注意考虑运动方程的多解性.

1．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，则该简谐运动的公式描述为(　　)

A．x＝8sin(πt＋π) m

B．x＝0.08sin(πt＋π) m

C．x＝0.08cos(πt＋) m

D．x＝8cos(πt＋) m

【解析】　简谐运动的公式描述为x＝Acos(ωt＋φ)．根据题给条件：A＝0.08，ω＝2 πf＝π rads，所以x＝0.08cos(π＋φ) m．将t＝0时x＝0.04 m代入方程，即0.04＝0.08cosφ，解得初相φ＝或φ＝.因t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝，故所求的公式描述为x＝0.08cos(πt＋) m，写成正弦函数形式即为x＝0.08sin(πt＋π) m.

【答案】　BC

2．有两个振动，其表达式分别是：x1＝3sin(100πt＋)cm，x2＝6sin(100πt＋)cm，下列说法正确的是(　　)

A．它们的振幅相同　　　　 B．它们的周期相同

C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致

【解析】　由简谐运动的公式可看出，振幅分别为3 cm和6 cm，选项A错误；角速度ω＝100π rads相同，周期T＝也相同，选项B正确；相位差Δφ＝－＝，为定值，故相位差恒定，选项C正确，D错误．

【答案】　BC

3．如图1－3－5所示为两简谐运动的图象，下列说法正确的是(　　)

图1－3－5

A．A、B之间的相位差是

B．A、B之间的相位差是π

C．B比A超前

D．A比B超前

【解析】　t＝0时，A到达平衡位置时，B再经过才达到平衡位置，故A比B超前，相位差为Δφ＝，选项A、D正确．

【答案】　AD

4．描述简谐运动特征的公式是x＝________.自由下落的篮球经地面反弹后上升又落下．若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能量损失，此运动________(填“是”或“不是”)简谐运动．

【解析】　简谐运动方程x＝Asin ωt.篮球的受力是重力，大小方向不变，不满足简谐运动的力学特征F＝－kx，所以篮球的运动不是简谐运动．

【答案】　Asin ωt　不是

高中物理第1章机械振动第3节简谐运动的公式描述教师用书粤教版选修3 - 4