限时速解训练十六　圆锥曲线的方程与性质

(建议用时40分钟)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x　　　　　　　　 B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

解析：选C.∵＝＝＝，

∴C的渐近方程为y＝±x.故选C.

2．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)

A. B．3

C. m D．3m

解析：选A.双曲线C的标准，方程为－＝1，(m＞0)

∴a2＝3m，b2＝3.

焦点到渐近线的距离为b＝.

3．(2016·高考四川卷)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)

A．(0,2) B．(0,1)

C．(2,0) D．(1,0)

解析：选D.先确定焦参数p，再求焦点坐标．

由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．

4．焦点为(0,6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

解析：选B.设所求双曲线方程为－y2＝λ，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y轴上，所以λ＝－12，故选B.

5．斜率为2的直线l过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)

A．(－∞，) B．(1，)

C．(1，) D．(，＋∞)

解析：选D.依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即＞2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝＞.

6．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)

A．11 B．9

C．5 D．3

解析：选B.|PF1|＝3＜a＋c＝8，故点P在双曲线的左支上，由双曲线的定义得|PF2|－|PF1|＝2a＝6，所以|PF2|＝9，故选B.

7．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)

A．x2－＝1 B.－y2＝1

C.－x2＝1 D．y2－＝1

解析：选C.由于焦点在y轴上，故排除A、B.由于渐近线方程为y＝±2x，故排除D.故选C.

8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

解析：选D.因为点(2，)在渐近线y＝x上，所以＝，又因为抛物线的准线为x＝－，

所以c＝，故a2＋b2＝7，解得a＝2，b＝.故双曲线的方程为－＝1.

9．(2016·甘肃兰州联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e＝(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.设椭圆C的焦距为2c(c＜a)，由于直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，所以由题意知＝c，又b2＝a2－c2，所以3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍)，所以e＝，故选A.

10．(2016·山西太原质量检测)设P为双曲线C：x2－y2＝1上一点，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，若cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的外接圆半径为(　　)

A. B．9

C. D．3

解析：选C.由题意知双曲线中a＝1，b＝1，c＝，所以|F1F2|＝2.因为cos∠F1PF2＝，所以sin∠F1PF2＝.在△PF1F2中，＝2R(R为△PF1F2的外接圆半径)，即＝2R，解得R＝，即△PF1F2的外接圆半径为，故选C.

11．(2016·豫东、豫北十校联考)椭圆C：＋y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是(　　)

A．2(＋) B.＋2

C.＋ D．4＋2

解析：选A.因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，

所以OM∥PF2，且|OM|＝|PF2|，同理，

ON∥PF1，且|ON|＝|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，由题意知，|OM|＋|ON|＝，故|PF1|＋|PF2|＝2，即2a＝2，a＝，由a2＝b2＋c2知c2＝a2－b2＝2，c＝，所以|F1F2|＝2c＝2，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝2＋2，选A.

12．(2016·河南洛阳统考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该双曲线交于A，B两点，若＋与向量n＝(－3，－1)共线，则双曲线C的离心率为(　　)

A. B.

C. D．3

解析：选B.由题意得直线方程为y＝x＋c，代入双曲线的方程并整理可得(b2－a2)x2－2a2cx－a2c2－a2b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝，∴＋＝，

又∵＋与向量n＝(－3，－1)共线，∴＝3·，∴a2＝3b2，又c2＝a2＋b2，∴e＝＝.故选B.

二、填空题(把答案填在题中横线上)

13．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.

解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－(p＞0)，故直线x＝－过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－，0)，从而－＝－，得p＝2.

答案：2

14．(2016·山东聊城一模)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是________．

解析：由抛物线方程知2p＝8⇒p＝4，故焦点为(2,0)，由点到直线的距离公式知，焦点(2,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝1.

答案：1

15．(2016·贵州贵阳一模)已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________．

解析：由题意可得a＝10，b＝8，c＝6.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20①，在Rt△PF1F2中，由勾股定理，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝144②，

①2－②，得2|PF1|·|PF2|＝400－144＝256，

∴|PF1|·|PF2|＝128，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×128＝64.

答案：64

16．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．

解析：如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2，

不妨令点P的坐标为(2a，－ b)，

此时，kPF2＝＝，

得到c＝(2＋)a，

即双曲线C的离心率e＝＝2＋.

答案：2＋

2017届高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何2圆锥曲线的方程与性质限时速解训练