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我的高考数学错题本

第5章 三角函数与解三角形易错题

易错点1 角的概念不清

例1 若ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png、dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png为第三象限角，且a60c5d568b7e036f5f1220164944770e.png，则（ ）

A．684ef1edbaf6e088a57d58078fad4b3a.png B．1b316ee813ac19126fe7443befc640f9.png C．04db00c2fd23b0234b4dd0ccd907d5e2.png D．以上都不对

【错解】A

【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似880f44ad281566ddd0a1c206aea211b4.png区间角．

【正解】如取dd1ab5b4d79f8a4bf567fea35de53693.png，可知A不对．用排除法，可知应选D．

【纠错训练】已知ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png为第三象限角，则1e9ea59acfec7f4d883391e231c725a5.png是第　　　象限角，0e7b62d082c6d71ab43e9282e739a4cf.png是第　　　象限角．

【解析】d568f963be95bc6d4e0093cf43b87b26.png是第三象限角，即c01ac424c9195412184029160da0cdbc.png

9625fb705dccca281e4d2641e0f24349.png，0a37d73dafdc6a5d5aef8dca075f0a7a.png

当为偶数时，1e9ea59acfec7f4d883391e231c725a5.png为第二象限角；当为奇数时，1e9ea59acfec7f4d883391e231c725a5.png为第四象限角；

而0e7b62d082c6d71ab43e9282e739a4cf.png的终边落在第一、二象限或415290769594460e2e485922904f345d.png轴的非负半轴上.

易错点2 忽视对角终边位置的讨论致误

例2 若ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的终边所在直线经过点0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，则92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png ．

【错解】∵40d90984a5ba725a30b03fe3296dcd0b.png，所以8e7dbea44edb6b67ec45d1685a2fad13.png．

【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论

【正解】∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若5ea5743efe4a976dd4391c9f746e1b51.png的终边在第二象限，则411f6163f2d32bbe8215d69d7ac0708f.png，若db08f3647afcc61e4990c673529044a4.png的终边在第四象限，∴92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，综上可知80d055323e9681d016feaf62c1a6752c.png．

【纠错训练】函数y＝ddf96765b4923e43f2a4228b80336539.png＋862385e4c33f226302d255960d4a950a.png＋d5b3a696177adfb976de8af232de756d.png的值域是(　　)

A．{－1，1} B．{1，3} C．{1，－3} D．{－1，3}

【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选D.

易错点3 遗忘同角三角关系的齐次转化

例3 已知b593070d4214e5cfb1365a41f0d8d9ba.png，求（1）98e267d56aa5a0285f1f404765344387.png；（2）492693e868dcf2bd4f0380aa6b648315.png的值.

【错解】没有思路，不知道怎么做．

【错因】不知道同角三角关系的齐次转化．

【正解】（1）92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png；

(2) 7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png

1cae5bd937a8b5e674444a007370d018.png.

【纠错训练1】如果176d78e5b82e519ec785b0fec6e5767e.png，那么ec096c82525319c3b3525c0819f5162a.png的值为（ ）

A．－2 B．2 C．－58537ac67cb5e2fa12f539b18159046a.png D．58537ac67cb5e2fa12f539b18159046a.png

【解析】上下同时除以2c41d5ac43d502c2e4590d5e4e039630.png，得到：b71e89a01ded1963493a1083bec987c2.png，解得d1a6c4e865c2d4eb9d63de87ab931466.png．

【纠错训练2】已知word/media/image41_1.png，则790447ec70ed5b797316072c94f4a422.png ．

【解析】f40819d8e373d58f4c1653c0af809b8e.pnge58df80ac1db5b24f1a1b9c137ba6ec9.png75ba546b88d1888db75d93999e6f74a8.png．

易错点4 忽视函数的定义域对角范围的制约致错

例4 求函数442c31e4ac00c9393bee5cc73b1d1372.png的最小正周期．

【错解】eb777eaf5724c45df3d3495993aaa6f2.png，8b7df09c858c69d770de26a73fa509da.png，即函数的最小正周期为6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png．

【错因】忽视其定义域导致错误，6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png不是442c31e4ac00c9393bee5cc73b1d1372.png的周期，因为当e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png时，442c31e4ac00c9393bee5cc73b1d1372.png有意义，所以由周期函数定义知应有5c429ea7765f75a612f0c4e4ac04a0f2.png成立，然而5edc92a3b27426bdfed2550c19c95c67.png根本无意义，故6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png不是其周期．

【正解】由于函数442c31e4ac00c9393bee5cc73b1d1372.png的定义域为6b05fb16e1daf1db5b59e607aeb99c1b.png，故作出函数b89428aaf898d80930c7659a62476e87.png的图象，可以看出，所求函数周期应为31bf0b12546409e15021243132fc7574.png．

【纠错训练】函数word/media/image58_1.png的递增区间．

【解析】因为 word/media/image59_1.png，

所以函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png递增区间为2f68fc8ebff7f30fb7ac3099d7de909b.png、7e82f2d1610fa6c82b996106c1c205da.png．

易错点5 对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误

例5 若33a9a1cb7899aa0aabc2dd63e08e0e5e.png，则a26c3a616110688e46f4a05d9f17ee64.png=（ ）

A．4911b275d827b4d21c5ab22e1622e8e6.png B．55deec8385928777f1cdd8a667f0cad0.png C．7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png D．c5b00ff0397fe3fbc0ae388572056b03.png

【错解一】a26c3a616110688e46f4a05d9f17ee64.png0cf36a27c243c3b8c087cb88e0ab5579.png01f3ff98f5a419d6d6c10483830312c2.png

6c9ad27a26eed31b2ac849a42f73e49d.png，无答案．

【错解二】9d3b3a4ae7a48590edd799606f1ebaea.png，故选D．

【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角7a871ab13676b63a864cacd26d5a9af0.png看作锐角时，1489a39143bf7ce50dbbc2231d3e1616.png所在象限的相应余弦三角函数值的符号．

【正解】0267779385fe2c4b80a97ede94113449.png，故选A．

【纠错训练】记8e99d4528f43f9eba60046012aeb5160.png，那么853e85f3cc5d1e3a8c859dfa09fe2799.png( )

A．e4261fad9be7d7cbaf297b1977e94f96.png B．b7b9f73e0af897ac87d63ea1ee7ba76e.png 　C．f53c3bf519aa618eb1f101a1cf34ca50.png 　　D．22de03de504e94120e3b07b640935e07.png

【解析】∵sin80°= 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png= 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，

∴tan100°=－tan80°=－7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png－ 1cae5bd937a8b5e674444a007370d018.png=－fdcb4db4cc009ce6bbeb8cb6120f9470.png．故选B．

易错点6 忽略隐含条件

例3 若97ede6bbd018f50debddc7808bc543e5.png，求的取值范围．

【错解】 移项得ceb28848b53e92efcbdd075a8032e02e.png，两边平方得4112086479cf49a0217ccaab29460d8a.png

即c5e540f52319909f3a2f12aafeea21b1.png

【错因】忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了111b3ebf1df4dff3b251d83ac0a67f3b.png．

【正解】4d35abf8b67cbf21daa9b30e42b06c01.png即98ba9ae6644d8cdc8a4c36e75a502774.png，由a0fceb5e4283f2b2a78355057102fff2.png得

8546c6b21b43647bc46a85d9358991d8.png

∴e2989425de0e4996cf024892f386a6d3.png

【纠错训练】已知efa21b3771204cfff09a1d2123f09216.png，0906b3d2dd17b2bbee783547950935b9.png，求ec096c82525319c3b3525c0819f5162a.png的值．

【解析】据已知0906b3d2dd17b2bbee783547950935b9.png（1），有4e930ebda3e2092129c7a28da4308078.png，又由于efa21b3771204cfff09a1d2123f09216.png，故有67183306dd54d09a143e293da1da102f.png，从而1ca667d68cbd7c92d1d7a1eca160a48e.png即8cdc13b6513e0aaf1eea5e4223f4dcfd.png（2），

联立（1）、（2）可得4d682cb9a07c4a8579b6b670cec2ff5d.png，可得3c2e26b414153c74d3126d2026b39924.png．

易错点7 因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错

例7 eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png单调增区间为（ ）

A．81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png,9aad2cd36bfbbfe3ca2004a9399de8f5.png B．e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png,eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png

C．e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png,6c860510f425ec3923afb6be3cfb0a6e.png D．c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png,9aad2cd36bfbbfe3ca2004a9399de8f5.png

【错解】由题意，60d12b79c76220e60adbb4caebb6109d.pngb0e2ea7f8faf5d5c4dea2284d4bc3c4d.png，解得9b2bdbedc08a9ff43b80f2949a0a808b.png，所以eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png单调增区间为81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png,9aad2cd36bfbbfe3ca2004a9399de8f5.png，故选A．

【错因】内层函数为减函数，因此不能直接套用e532f3d8ea858571785762423ba1bc05.png的单调性来求．

【正解】∵eb2b283878795e601d891e74f8745273.png，即求函数ef43dcb74cf94dd2328b20248fc63fea.png的减区间．
故函数eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png的增区间为b0e2ea7f8faf5d5c4dea2284d4bc3c4d.png,b0e2ea7f8faf5d5c4dea2284d4bc3c4d.png，故选B．

【纠错训练】（2015上海市普陀区高三二模）若79e5fa04963b4fc8962eea34c7678807.png，则函数4b273e2ccd564f2a0d8a59f7d084a98d.png的单调递增区间为 .

【解析】09473d5cbaf89277f507b9ba42b3edf0.png3ae7fcbefa5d9ac774345b238de8f0d8.png，所以由51b4e6a2aa2c9fd42ed7d15cf829b410.png，可得函数的的单调增区间cb0d687ae93edf1d57d4c9b84f68e1f5.png，又因为79e5fa04963b4fc8962eea34c7678807.png，所以函数4b273e2ccd564f2a0d8a59f7d084a98d.png的单调递增区间为ce222396dc85753b27dc2fe23811edcd.png.

易错点8 图象变换知识混乱

例8 要得到函数6c860510f425ec3923afb6be3cfb0a6e.png的图象，只需将函数9aad2cd36bfbbfe3ca2004a9399de8f5.png的图象（ ）

A．先将每个值扩大到原来的4倍，415290769594460e2e485922904f345d.png值不变，再向右平移c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png个单位．

B．先将每个值缩小到原来的eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png倍，415290769594460e2e485922904f345d.png值不变，再向左平移c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png个单位．

C．先把每个值扩大到原来的4倍，415290769594460e2e485922904f345d.png值不变，再向左平移个81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png单位．

D．先把每个值缩小到原来的eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png倍，415290769594460e2e485922904f345d.png值不变，再向右平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png个单位．

【错解】A、C、B

【错因】9aad2cd36bfbbfe3ca2004a9399de8f5.png变换成e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A或C；把e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png平移到6c860510f425ec3923afb6be3cfb0a6e.png平移方向错了，平移的单位误认为是c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png．

【正解】由9aad2cd36bfbbfe3ca2004a9399de8f5.png变形为6c860510f425ec3923afb6be3cfb0a6e.png常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将9aad2cd36bfbbfe3ca2004a9399de8f5.png的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png倍得到函数e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png的图象，

再将函数e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png的图象纵坐标不变，横坐标向右平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png单位．即得函数6c860510f425ec3923afb6be3cfb0a6e.png，故选D．

或者先进行相位变换，即将9aad2cd36bfbbfe3ca2004a9399de8f5.png的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移15a638c09d3e9bb4597ce8bf69141c36.png个单位，得到函数1dd2477afd18457b025453031b8e4906.png的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数6c860510f425ec3923afb6be3cfb0a6e.png的图象，故选D．

【纠错训练】（2015浙江五校联考）要得到函数e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png的图象，只需将函数f3732b43ee485d9a2ee521cb55cca6ae.png的图象（ ）

A．向右平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png个单位长度 B．向左平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png个单位长度

C．向右平移fd2182b876efceaa7332588de22f653f.png个单位长度 D．向左平移fd2182b876efceaa7332588de22f653f.png个单位长度

【解析】试题分析：函数5431becde0fcbae629baa3560f0207bf.png，将函数f3732b43ee485d9a2ee521cb55cca6ae.png的图象向右平移fd2182b876efceaa7332588de22f653f.png个单位长度得到71117c6a313ba303b2cebc0eac35781b.png 5805ee84af19aa6d1308d566232ca20a.png，故答案为C．

易错点9 已知条件弱用

例9 在不等边△ABC中，为最大边，如果word/media/image146_1.png，求A的取值范围．

【错解】∵word/media/image147_1.png，则word/media/image148_1.png，由于cosA在（0°，180°）上为减函数且word/media/image149_1.png，67db40af798ebb35c004783d0de30340.png，又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°．

【错因】审题不细，已知条件弱用，题设是为最大边，而错解中只把看做是三角形的普通一条边，造成解题错误．

【正解】由上面的解法，可得A＜90°，又∵为最大边，∴A＞60°．因此得A的取值范围是（60°，90°）．

易错点10 三角变换不熟练

例10 在△ABC中，若word/media/image151_1.png，试判断△ABC的形状．

【错解】由正弦定理，得word/media/image152_1.png，即word/media/image153_1.png

word/media/image154_1.png．

∴2A＝2B，即A＝B．故△ABC是等腰三角形．

【错因】由word/media/image155_1.png，得2A＝2B．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏．

【正解】同上得word/media/image155_1.png，∴2A＝word/media/image156_1.png，或word/media/image157_1.png．

∵word/media/image158_1.png或word/media/image159_1.png．

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

易错点11 解三角形时漏解

例11 已知在△ABC中，a＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png，b＝594b88260fb4451bf03ea48c7a496f02.png,求角A、C和边c．

【错解】由正弦定理5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png,得sinA＝5331a1879e0f42f047d1f5b5d74c45d1.png所以，A＝60，C＝180－45－60＝75，

所以，c＝5ba8f96a2e8d3ba6360e66c79a1b06e9.png．

【错因】上述解法中，用正弦定理求C时，丢了一个解，实际上，由sinA＝5331a1879e0f42f047d1f5b5d74c45d1.png可得A＝60或A＝120，故C＝75或15．

【正解】由正弦定理5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png,得sinA＝5331a1879e0f42f047d1f5b5d74c45d1.png因为，a>b，所以，A＝60或A＝120，当A＝60时，C＝180－45－60＝75，c＝5ba8f96a2e8d3ba6360e66c79a1b06e9.png．

当A＝120时，C＝180－45－120＝15，c＝e677f3b930a0539a4f90f04f659154ed.png．

【纠错训练】在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，1434738a875ed5e5dba907ead1b11b9c.png．求75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积．

解析：根据正弦定理知：492c31f93553015f5f2175ed73b776df.png，即f6e038e87996dd64cbf6e760551fea1f.png，得04d26e6aefe3bfd1ed9c73e5f20f8773.png，由于18b9c78e20e7fd67109c5369850c04e0.png即满足条件的三角形有两个故7c007223357ff20e3500f8baf372f0e3.png或6b7631fbe69df13e3561fde74c7c3069.png.则100d359ec60788c6c0d9c43bc0eb4664.png或f0a16bc18153b51ecd3ab75f040cb222.png故相应的三角形面积为92ad2b2b499f996705d899e3444d37bb.png或c0c8007f99a687ff28ee832d9c730246.png．

易错点12 不会应用正弦定理的变形公式

例12 在△ABC中，A＝60°，b＝1，word/media/image179_1.png，求word/media/image180_1.png的值．

【错解】∵A＝60°，b＝1，word/media/image179_1.png，又word/media/image181_1.pngword/media/image182_1.png，∴word/media/image183_1.pngword/media/image184_1.png，解得c＝4．

由余弦定理，得word/media/image185_1.pngword/media/image186_1.png

又由正弦定理，得word/media/image187_1.png．

∴word/media/image188_1.png．

【错因】公式不熟、方法不当，没有正确应用正弦定理．

【正解】由已知可得word/media/image189_1.png．由正弦定理，得word/media/image190_1.png．

word/media/image191_1.png．

【纠错训练】（2015荆门市高三元月调研）在△ABC中，若c2c9a4bf87ff7d4320ada54e80947517.png∶082ef7430c87f0f688e0f7d48857803e.png∶d0634b1e5a8f5679714581e9659cad66.png∶∶c51ce410c124a10e0db5e4b97fc2af39.png，则角b9bfda3f273d55b01dec00b972bad762.png ．

【解析】由正弦定理可得4ccc28dbc767575bb173b19e109362eb.png，所以可设70c19f6e87cf18c42dbb997935373fe6.png，由余弦定理

0eb50112778109335f6ef9964d5f011a.png，所以89ed21579d8b8eeb67196df2543543c2.png．

[高考状元]数学错题本：第5章《三角函数与解三角形》易错题（Word版，含解析）