2020年湖北省武汉市江岸区高三元月调研数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合＝，＝，则＝（ ）

A. B. C. D.

2. 若复数，则的虚部为（ ）

A. B. C. D.

3. 若，，则（ ）

A. B. C. D.

4. 已知圆心为，半径为的圆经过椭圆的三个顶点，则的标准方程为（ ）

A. B. C. D.

5. 函数＝的图象大致为（ ）

A. B.

C. D.

6. 已知函数是定义在上的偶函数，则的值为（ ）

A. B. C. D.

7. 已知是等差数列，若，，成等比数列，且公比为，则＝（ ）

A. B. C. D.

8. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以领先，则下列说法中错误的是（ ）

A.甲队获胜的概率为 B.乙队以获胜的概率为

C.乙队以三比一获胜的概率为 D.乙队以获胜的概率为

9. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，……．记作数列，若数列的前项和为，则＝（ ）

A. B. C. D.

10. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ．（取＝，精确到）

A. B. C. D.

11. 关于函数，有下面四个结论：

①是奇函数 ②在上单调递减 ③在上有两个零点④的最大值为

．其中所有正确结论的编号是（ ）

A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③

12. 设函数＝，' class='_2'>为的导函数．若和' class='_2'>的零点均在集合中，则

A.在上单调递增 B.在上单调递增

C.极小值为 D.最大值为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字到．连续两次抛掷这个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为，，则事件“＝”的概率为________．

14. 曲线＝在点处的切线方程为________．

15. 双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交曲线右支于、两点，且，若＝，则的离心率等于________ ．

16. 设函数＝，记在区间上的最大值为，则当＝________时，的最小值为________．

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第223题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17. 在中，角、、的对边分别为、、，若．

Ⅰ求证：＝；

Ⅱ求边长的值；

Ⅲ若，求的面积．

18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为上一点且＝＝＝．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．

19. 已知抛物线＝焦点坐标为．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，若轴是的角平分线，求证：直线过定点．

20. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量＝,…,数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．

表中＝，．

（1）根据散点图判断，＝与＝哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；

（3）当声音强度大于分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且．已知点的声音能量等于声音能量与之和．请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线＝的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

21. 已知函数，为的导函数．

（1）证明：当时，；

（2）若是函数＝在内零点，求证：．

(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为 ，（为参数）．

若，求与的交点坐标；

若上的点到距离的最大值为，求．

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数＝．

（1）当＝时，解不等式；

（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．

参考答案与试题解析

2020年湖北省武汉市江岸区高三元月调研数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.

【答案】

A

2.

【答案】

A

3.

【答案】

D

4.

【答案】

B

5.

【答案】

D

6.

【答案】

A

7.

【答案】

C

8.

【答案】

D

9.

【答案】

C

10.

【答案】

C

11.

【答案】

B

12.

【答案】

B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.

【答案】

14.

【答案】

＝

15.

【答案】

．

16.

【答案】

,

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第223题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17.

【答案】

（1）∵ ．

∴ ＝，即＝

由正弦定理得＝

∴ ＝

∵

∴ ＝，∴ ＝

（2）∵ ，∴ ＝

由余弦定理得，即＝

∵ 由Ⅰ得＝，∴ ＝，∴

Ⅲ∵ ，∴ ＝

即＝

∴ ＝

∵ ＝

∴ ＝，

∴ 为正三角形

∴

18.

【答案】

证明：∵ 平面平面，平面平面＝，，

∴ 平面，又．

分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

可得，，，．

∴ ，，．

由＝，，

∴ 且，

∵ 、是平面内的相交直线，∴ 平面．

∵ 平面，∴ 平面平面；

由（1）得平面的一个法向量是，．

设直线与平面所成的角为，

则＝，解得＝．

∵ ，∴ ＝，可得的坐标为．

设平面的一个法向量为，

，，

由，令＝，得．

∴ ，．

由图形可得二面角的平面角是锐角，

∴ 二面角的平面角的余弦值为．

19.

【答案】

∵ 焦点坐标为，∴ ，∴ ＝，

∴ 抛物线的方程为：＝；

设直线的方程为：＝，代入＝ 得：＝，

设，，

∴ ，，

∵ 轴是的角平分线，

∴ ＝，

∴ ，

∴ ，

∴ ＝，

∴ ，

整理得：＝，∴ ＝，

∴ 直线的方程为：＝＝，过定点．

20.

【答案】

根据散点图判断，模型＝更适合；

令＝，先建立关于的线性回归方程，

由于，

∴ ，

∴ 关于的线性回归方程是，

即关于的回归方程是；

点的声音能量为＝，

∵ ，

∴ ，

根据（1）中的回归方程知，点的声音强度的预报值为

，

∴ 点会受到噪声污染的干扰．

21.

【答案】

证明：＝cosx-sinxex-1' class='_7'>，

当时，＝0' altImg='634e0231a21a388254e137f1d5518da8.png' w='75' h='21' omath='f'(x)>0' class='_7'>，

所以在上，单调递增．

(-sinx-cosx)ex-1-(cosx-sinx)ex-1ex-1=-2cosxex-1' class='_7'>，

在上，' class='_7'>，单调递减，

令＝，，

' class='_7'>＝' class='_7'>＝' class='_7'>＝' class='_7'>，

当是，' class='_7'>，单调递减，

所以＝＝，

所以．

证明：若是函数＝在内零点，

则＝在有根，

所以＝在有根，

即在有根，①

令＝，则

，

又因为①式成立，所以＝，

因为＝＝，

由（1）可知在上，单调递增．

所以，

由（1）可知上，单调递减，

所以

由（1）可知；

所以

又因为①式成立，得，

所以．

(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.

【答案】

解：曲线的参数方程为（为参数），

化为标准方程是：；

时，直线的参数方程化为一般方程是：；

联立方程

解得或

所以椭圆和直线的交点为和．

的参数方程（为参数）化为一般方程是：，

椭圆上的任一点可以表示成，，

所以点到直线的距离为：

，

满足，且的最大值为．

①当时，即时，

解得，符合题意．

②当时，即时，

解得，符合题意．

故或.

[选修4-5：不等式选讲]

23.

【答案】

当＝时，不等式即为，

当时，可得，解得，则；

当时，可得，解得，则；

当时，可得，解得，则．

综上可得，原不等式的解集为；

若不等式对一切恒成立，即为，

由＝＝＝，当且仅当＝时，取得等号，

因为，可得＝，

则，即的取值范围是．

湖北省武汉市江岸区2020届高三元月调研数学试卷（理科） 含参考答案与试题解析