2020年湖北省武汉市江岸区高三元月调研数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 集合，，则

A. B. C. D.

2. 若复数，则z的虚部为

A. B. C. 1 D. i

3. 若，，则

A. B. C. D.

4. 已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：的三个顶点，则C的标准方程为

A. B. C. D.

5. 函数的图象大致为

A. B.

C. D.

6. 已知函数是定义在R上的偶函数，则的值为

A. B. C. D.

7. 已知是等差数列，若，，成等比数列，且公比为q，则

A. 3 B. C. 1 D.

8. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为若前两局中乙队以2：0领先，则下列说法中错误的是

A. 甲队获胜的概率为 B. 乙队以3：0获胜的概率为

C. 乙队以三比一获胜的概率为 D. 乙队以3：2获胜的概率为

9. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的评解九章算法年一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，记作数列，若数列的前n项和为，则

A. 265 B. 521 C. 1034 D. 2059

10. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上，圆锥底面直径为，高为打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为取，精确到

A. B. C. D.

11. 关于函数，有下面四个结论：

是奇函数在上单调递减在上有两个零点的最大值为

其中所有正确结论的编号是

A. B. C. D.

12. 设函数，为的导函数．若和的零点均在集合0，中，则

A. 在上单调递增 B. 在上单调递增

C. 极小值为0 D. 最大值为4

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到连续两次抛掷这个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为m，n，则事件“”的概率为______．

14. 曲线在点处的切线方程为______．

15. 双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线交曲线C右支于P、Q两点，且，若，则C的离心率等于______．

16. 设函数，记在区间上的最大值为，则当______时，的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若．

Ⅰ求证：；

Ⅱ求边长c的值；

Ⅲ若，求的面积．

18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，点E为BC上一点且．

求证：平面平面PAC；

若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．

19. 已知抛物线C：焦点坐标为．

求抛物线C的方程；

已知点，设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点P，Q，若x轴是的角平分线，求证：直线l过定点．

20. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度单位：分贝与声音能量单位：之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量2，，数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．

表中，．



根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由

根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；

当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且已知点P的声音能量等于声音能量与之和．请根据中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．

附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

21. 已知函数，为的导函数．

证明：当时，；

若是函数在内零点，求证：．

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，为参数．

若，求C与l的交点坐标；

若C上的点到l距离的最大值为，求a．

23. 已知函数．

当时，解不等式；

若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：，，

．

故选：A．

可以求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．

本题考查了描述法、列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

2.答案：A

解析：解：复数

，

则z的虚部为．

故选：A．

由复数的乘方和除法运算法则，计算复数z，再由虚部的定义即可得到．

本题考查复数的乘除运算，以及复数的虚部的定义，考查运算能力，属于基础题．

3.答案：D

解析：解：，

函数为减函数，

又，

，

故选：D．

构造函数，又函数单调递减即可得解．

本题考查实数的大小比较，考查对数函数的图象及性质，属于基础题．

4.答案：B

解析：解：由题意可得圆的方程为：，

令，可得，令，可得或3，

由椭圆的焦点在x轴上，及椭圆的对称性可得，，

所以椭圆的标准方程：，

故选：B．

有题意可得圆的标准方程，分别令，求出点的坐标，再由椭圆的焦点在x轴上，和椭圆的对称性可得a，b的值，进而求出椭圆的标准方程．

本题可得求圆的方程及椭圆的标准方程，和椭圆的对称性，属于中档题．

5.答案：D

解析：【分析】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的性质，是基础题．

判断函数的奇偶性排除B；由排除C；再由时，排除A，则答案可求．

【解答】

解：函数的定义域为，且，则函数为偶函数，排除B；

由排除C；

当时，，排除A，

故选：D．

6.答案：A

解析：解：是定义在R上的偶函数，

故函数的图象关于y轴对称，

即，

，

，

则．

故选：A．

先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数在对称轴处取得最值及偶函数关于y轴对称可求，代入后即可求解．

本题主要考查了辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数对称性的应用，属于中档试题．

7.答案：C

解析：解：设是公差为d的等差数列，

若，，成等比数列，可得，

即，

化为，解得，则，

则公比为，

故选：C．

设是公差为d的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可得，再由等比数列的定义，计算可得所求值．

本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求解能力，属于基础题．

8.答案：D

解析：解：对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，

所以甲队获胜的概率为，故正确；

对于B，乙队以3：0获胜，即第4局乙获胜，概率为，故正确；

对于C，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故正确；

对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，

所以乙队以3：2获胜的概率为，故错．

故选：D．

A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜；

B，乙队以3：0获胜，即第4局乙获胜；

C，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜；

D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输．

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．

9.答案：C

解析：解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，．

分组为，，2，，3，3，，4，6，4，

则第n组n个数且第n组n个数之和为，

设在第n组中，

则，

解得：，

即在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，

则，

故选：C．

由归纳推理及等比数列前n项和可得：即在第11组中且为第11组中的第2个数，则，得解．

本题考查了归纳推理及等比数列前n项和，属中档题．

10.答案：C

解析：解：如图，是几何体的轴截面，

设正方体的棱长为a，则，解得，

该模型的体积为：



制作该模型所需原料的质量为．

故选：C．

设正方体的棱长为a，由题意得，解得，求出该模型的体积为由此能求出制作该模型所需原料的质量．

本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11.答案：B

解析：解：函数，

，是奇函数，正确；

令，解得：，在上不单调递减，因此不正确．

由，，在上有3个零点，分别为，0，，因此不正确．

令，可得，解得，因此的最大值为，正确．

其中所有正确结论的编号是．

故选：B．

函数，

利用奇函数的定义即可判断出是否是奇函数；

令，解得：cosx范围，即可判断出在上的单调性．

由，由，在上有3个零点，即可判断出结论．

令，可得，解得k范围即可判断出结论．

本题考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12.答案：B

解析：解：，

，

令得：或；

得：，或；

由知，和的零点构成的集合为b，，

又和的零点均在集合0，中，

若，，则，不符合题意，舍去；

若，，则，不符合题意，舍去；

若，，则，不符合题意，舍去；

若，，则，不符合题意，舍去；

若，，则，不符合题意，舍去；

若，，则，符合题意；

故，

令，得：或；

，得：；

为极小值点，，排除C；

为极大值点，，排除D；

在区间上单调递减，排除A；

在，单调递增，，

故B在上单调递增，正确；

故选：B．

依题意，可求得和的零点构成的集合为b，，0，，分6类讨论，可确定a、b的值，继而利用导数确定函数的极值及单调区间，从而判断四个选项，可得答案．

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，通过分类讨论思想的运用，确定a、b的值是解决问题的关键，考查运算能力，属于难题．

13.答案：

解析：解：由题意可得：基本事件的总数为．

则事件“”包括基本事件为：，，，，，，，．

事件“”的概率．

故答案为：．

由题意可得：基本事件的总数为事件“”包括基本事件为：，，，，，，，即可得出事件“”的概率P．

本题考查了古典概率的概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14.答案：

解析：解：，

所以，

故切线方程：

即，

故答案为：．

先求出导数，然后将代入求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．

本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，注意抓住切点处的坐标、导数值．属于基础题．

15.答案：

解析：解：可设P，Q为双曲线右支上一点，

由，，

在直角三角形中，，

由双曲线的定义可得：，

由，即有，

即为，



解得．

，

由勾股定理可得：，即，

可得．

故答案为：．

由，与的关系，可得于的关系，由双曲线的定义可得，解得，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．

本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16.答案： 

解析：解：设，则，

令，解得，令，解得，

在单调递增，在单调递减，

又，

，

在同一坐标系中，作函数的函数图象如下，



则表示的函数图象为图中粗线部分，由图可知，点P所对应的函数值最小，

由，解得，即，故，即的最小值为．

故答案为：，．

设，利用导数可知在单调递增，在单调递减，由可知，，然后作出函数的图象，由图象观察即可得出答案．

本题考查函数与导数的综合运用，实质是考查求最大值中的最小值求法，通过作出函数图象，能形象的由函数图象观察得出答案，着重考查了数形结合思想的运用，属于中档题．

17.答案：解：Ⅰ．

，即

由正弦定理得





，

Ⅱ，

由余弦定理得，即

由Ⅰ得，，

Ⅲ，

即





，

为正三角形

解析：由，，故可将转化为一个三角方程，解方程即可证明：

由的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值．

若平方后，结合余弦定理，可以判断三角形的形状，再结合的结论，即可求的面积．

中在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可．正、余弦定理是解三解形必用的数学工具，正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况，余弦定理一般用于已知三边及两边和其夹角的情况．

18.答案：证明：平面平面ABCD，平面平面，，

平面ABCD，又．

分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

可得0，，2，，1，，4，，0，．

4，，0，，．

由，，

且，

、AP是平面PAC内的相交直线，平面PAC．

平面PED，平面平面PAC；

解：由得平面PAC的一个法向量是，1，．

设直线PE与平面PAC所成的角为，

则，解得．

，，可得P的坐标为0，．

设平面PCD的一个法向量为y，，

2，，，

由，令，得．

，．

由图形可得二面角的平面角是锐角，

二面角的平面角的余弦值为．

解析：由面面垂直的性质定理证出平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出且，结合线面垂直判定定理证出平面PAC，从而得到平面平面PAC；

由得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角的正弦值，由此建立关于的方程并解之即可得到利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出与的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角的平面角的余弦值．

本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，训练了利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．

19.答案：解：焦点坐标为，，，

抛物线C的方程为：；

设直线l的方程为：，代入 得：，

设，，

，，

轴是的角平分线，

，

，

，

，

，

整理得：，，

直线l的方程为：，过定点．

解析：利用焦点坐标求出p的值，即可得到抛物线C的方程：

由x轴是的角平分线，得，即，设直线l的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式，化简可得，所以直线l的方程为：，过定点．

本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．

20.答案：解：根据散点图判断，模型更适合；

令，先建立D关于W的线性回归方程，

由于，

，

关于W的线性回归方程是，

即D关于I的回归方程是；

点P的声音能量为，

，



，

当且仅当，时，等号成立．

根据中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为



，

点P会受到噪声污染的干扰．

解析：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．

根据散点图中点的分布成非线性形状，判断两变量适合的模型；

令，建立D关于W的线性回归方程，再写出D关于I的回归方程；

根据点P的声音能量，根据中的回归方程计算点P的声音强度D的预报值，比较即可得出结论．

21.答案：证明：，

当时，，

所以在上，单调递增．

，

在上，，单调递减，

令，，

，

当是，，单调递减，

所以，

所以．

证明：若是函数在内零点，

则在有根，

所以在有根，

即在有根，

令，则

，

又因为式成立，所以，

因为，

由可知在上，单调递增．

所以，

由可知上，单调递减，

所以

由可知；

所以

又因为式成立，得，

所以．

解析：先写出的解析式，，得到在上，单调递增．对求导，得，得到在上，单调递减，令，，求导，分析单调性，可得，进而证明．

由题可知在有根，令，则，可得，因为，由得单调性，所以，又因为可知上，单调递减，可得又因为，化简即可得证．

本题以三角函数为背景，考查导数的运算，函数的单调性等基础知识，考查函数思想，转化思想，抽象概括能力，运算能力，属于难题．

22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，化为标准方程是：；

时，直线l的参数方程化为一般方程是：；

联立方程，

解得或，

所以椭圆C和直线l的交点为和

的参数方程为参数化为一般方程是：，

椭圆C上的任一点P可以表示成，，

所以点P到直线l的距离d为：



，

满足，且d的最大值为．

当时，即时，



解得和，符合题意．

当时，即时，

，

解得和18，符合题意，

综上：或．

解析：本题主要考查曲线的参数方程、点到直线的距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出属于中档题．

将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得交点坐标；

曲线C上的点可以表示成，，运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．

23.答案：解：当时，不等式即为，

当时，可得，解得，则；

当时，可得，解得，则；

当时，可得，解得，则．

综上可得，原不等式的解集为；

若不等式对一切恒成立，即为，

由，当且仅当时，取得等号，

因为，可得，

则，即a的取值范围是．

解析：由题意可得，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式可得所求解集；

由题意可得，运用绝对值不等式的性质和绝对值的定义可得的最小值，进而得到a的范围．

本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．

2020年湖北省武汉市江岸区高三元月调研数学试卷（理科）（含答案解析）