邵阳县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． （理）已知tanα=2，则=（ ）

A． B． C． D．

2． 若，，则不等式成立的概率为（ ）

A． B． C． D．

3． 如果向量满足，且，则的夹角大小为（ ）

A．30° B．45° C．75° D．135°

4． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）

A． B． C． D．

5． 如图，△ABC所在平面上的点Pn（n∈N*）均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3；1， =﹣（2xn+1）（其中，{xn}是首项为1的正项数列），则x5等于

（ ）

A．65 B．63 C．33 D．31

6． 已知集合，，若，则（ ）

A． B． C．或 D．或

7． 已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）

A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）　

8． 若函数word/media/image36_1.png的定义域是word/media/image37_1.png，则函数word/media/image38_1.png的定义域是（ ）

A．word/media/image39_1.png B．word/media/image40_1.png C．word/media/image41_1.png D．word/media/image42_1.png

9． 若命题p：∃x0∈R，sinx0=1；命题q：∀x∈R，x2+1＜0，则下列结论正确的是（ ）

A．￢p为假命题 B．￢q为假命题 C．p∨q为假命题 D．p∧q真命题

10．某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽

车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘

坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种.

A． B． C． D．

【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．

11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

12．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（ ）

A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点

B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点

C．有且仅有一条直线至少过两个有理点

D．每条直线至多过一个有理点

二、填空题

13．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是　　　　　　．

14．将曲线向右平移个单位后得到曲线，若与关于轴对称，则的最小值为_________.

15．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.

（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；

（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值．

16．给出下列四个命题：

①函数y=|x|与函数表示同一个函数；

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；

③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到；

④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；

⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；

其中正确命题的序号是　　　　　　．（填上所有正确命题的序号）

17．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为 .

18．设，在区间上任取一个实数，曲线在点处的切线斜率为，则随机事件“”的概率为_________.

三、解答题

19．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

20．（本小题满分12分）

设word/media/image82_1.png：实数满足不等式word/media/image83_1.png，：函数word/media/image84_1.png无极值点.

（1）若“word/media/image85_1.png”为假命题，“word/media/image86_1.png”为真命题，求实数的取值范围；

（2）已知“word/media/image85_1.png”为真命题，并记为，且：word/media/image87_1.png，若是word/media/image88_1.png的必要不充分

条件，求正整数word/media/image89_1.png的值．

21．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，侧面为等边三角形，且与底面垂直，为的中点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

22．已知二次函数的最小值为1，且．

（1）求的解析式；

（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；

（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．

23．【南师附中2017届高三模拟一】已知是正实数，设函数.

（1）设，求的单调区间；

（2）若存在，使且成立，求的取值范围.

24．（本小题满分12分）

已知向量满足：，，.

（1）求向量与的夹角；

（2）求.

邵阳县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵tanα=2，∴ ===．

故选D．

2． 【答案】D

【解析】

考点：几何概型．

3． 【答案】B

【解析】解：由题意故，即

故两向量夹角的余弦值为=

故两向量夹角的取值范围是45°

故选B

【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．

4． 【答案】A

【解析】解：word/media/image131_1.png

=1×word/media/image133_1.png

故选A．

5． 【答案】 D

【解析】解：由=﹣（2xn+1），

得+（2xn+1）=，

设，

以线段PnA、PnD作出图形如图，

则，

∴，∴，

∵，∴，

则，

即xn+1=2xn+1，∴xn+1+1=2（xn+1），

则{xn+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，

∴x5+1=2•24=32，

则x5=31．

故选：D．

【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．

6． 【答案】D

【解析】

试题分析：由，集合，

又，或，故选D．

考点：交集及其运算．

7． 【答案】A

【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），

则向量==（﹣7，﹣4）；

故答案为：A．

【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．

8． 【答案】B

【解析】

9． 【答案】A

【解析】解：时，sinx0=1；

∴∃x0∈R，sinx0=1；

∴命题p是真命题；

由x2+1＜0得x2＜﹣1，显然不成立；

∴命题q是假命题；

∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题；

∴A正确．

故选A．

【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R满足x2≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和命题p，q真假的关系．

10．【答案】A

【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有种. 共有24种. 选A.

11．【答案】D

【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．

根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，

可得，1=，∴ =，

，可得e=．

故此双曲线的离心率为：．

故选D．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．

12．【答案】C

【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），

由于也在此直线上，

所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；

当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，

又x2﹣a为无理数，而为有理数，

所以只能是，且y2﹣y1=0，

即；

所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；

所以，正确的选项为C．

故选：C．

【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．

二、填空题

13．【答案】　6　．

【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；

第二次循环：S=+=，i=2+1=3；

第三次循环：S=+=，i=3+1=4；

第四次循环：S=+=，i=4+1=5；

第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；

∴判断框中的条件为i＜6？

故答案为：6．

【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题

14．【答案】

【解析】解析：曲线的解析式为，由与关于轴对称知，即对一切恒成立，∴∴，∴，由得的最小值为6.

15．【答案】

【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．①

将①与拋物线x2＝2py联立得，

x2－2pkx＋4p2t（k－t）＝0，

解得x1＝2pt，x2＝2p（k－t），将x2＝2p（k－t）代入x2＝2py得y2＝2p（k－t）2，∴P点的坐标为（2p（k－t），2p（k－t）2）．

由于l1与l2的倾斜角互补，∴点Q的坐标为（2p（－k－t），2p（－k－t）2），

∴kPQ＝＝－2t，

即直线PQ的斜率为－2t.

（2）由y＝得y′＝，

∴拋物线C在M（2pt，2pt2）处的切线斜率为k＝＝2t.

其切线方程为y－2pt2＝2t（x－2pt），

又C的准线与y轴的交点T的坐标为（0，

－）．

∴－－2pt2＝2t（－2pt）．

解得t＝±，即t的值为±.

16．【答案】　③⑤　

【解析】解：①函数y=|x|，（x∈R）与函数，（x≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；错；

②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；

③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；正确；

④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域由0≤2x≤2，⇒0≤x≤1，

它的定义域为：[0，1]；故错；

⑤设函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．故正确；

故答案为：③⑤

17．【答案】

【解析】如图所示，∵，∴为直角，即过△的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则球心O在过的圆面上，即的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为，球的表面积为

18．【答案】

【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．

，由得，，∴随机事件“”的概率为．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，

又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，

∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．

（Ⅱ）f′（x）=1﹣，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；

②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；

∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．

综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．

（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，

则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，

等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．

假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，

与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．

又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，

所以k的最大值为1．

20．【答案】（1）word/media/image220_1.png；（2）word/media/image221_1.png.

【解析】（1）∵“word/media/image223_1.png”为假命题，“word/media/image224_1.png”为真命题，∴word/media/image225_1.png与只有一个命题是真命题．

若word/media/image226_1.png为真命题，为假命题，则word/media/image227_1.png．………………………………5分

若为真命题，word/media/image228_1.png为假命题，则word/media/image229_1.png．……………………………………6分

于是，实数的取值范围为word/media/image220_1.png．……………………………………7分

考点： 1、不等式；2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件.

21．【答案】

【解析】由底面为菱形且，∴，是等边三角形，

取中点，有，

∴为二面角的平面角， ∴．

分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 　　　

则word/media/image239_1.png． …… 3分

（Ⅰ）由为中点，word/media/image240_1.png∴word/media/image241_1.png

word/media/image243_1.pngword/media/image244_1.png

∴ …… 6分

（Ⅱ）由，，∴，

∴ 平面的法向量可取word/media/image243_1.png …… 9分

， 设直线与平面所成角为，

则．

即直线与平面所成角的正弦值为．…… 12分

22．【答案】（1）；（2）；（3）.

试题解析：

（1）由已知，设，

由，得，故．

（2）要使函数不单调，则，则．

（3）由已知，即，化简得，

设，则只要，

而，得．

考点：二次函数图象与性质．

【方法点晴】利用待定系数法求二次函数解析式的过程中注意选择合适的表达式，这是解题的关键所在；另外要注意在做题过程中体会：数形结合思想，方程思想，函数思想的应用．二次函数的解析式（1）一般式：；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为，则其解析式为；（3）两根式：若相应一元二次方程的两根为，则其解析式为.

23．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.（2）

【解析】【试题分析】（1）先对函数求导得，再解不等式得求出单调增区间；解不等式得求出单调减区间；（2）先依据题设得，由（1）知，然后分、、三种情形，分别研究函数的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围：

解：（1），由得，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由得，由条件得.

①当，即时，，由得

.

②当时，在上单调递增，

，矛盾，不成立.

由得.

③当，即时，，在上单调递减，

，当时恒成立，综上所述，.

24．【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）要求向量的夹角，只要求得这两向量的数量积，而由已知，结合数量积的运算法则可得，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式，把

考点：向量的数量积，向量的夹角与模．

【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式求得这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在内及余弦值求出两向量的夹角．

邵阳县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学