上海华东师范大学第二附属中学数学有理数(基础篇)(Word版 含解析)-

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一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图，数轴的单位长度为1.


（1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是________、________；
（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】 （1）-4；2 （2）解：存在，如图：


当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x）
解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M所表示的数为2或10

（3）解：设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：t=6，所以P点对应运动的单位长度为：3×6=18，所以点P表示的数为﹣18.
②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t= ，所以P点对应运动的单位长度为：3× =4，所以点P表示的数为﹣4.
答：点P表示的数为﹣18或﹣4.
【解析】【解答】解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，
故答案为：﹣4，2；
【分析】（1）由数轴上表示的互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等得出BD的中点就是原点，进而即可得出点A,C所表示的数；
（2） 存在，如图： 分类讨论： 当点M在A，D之间时，设M表示的数为x ，则AM=x-（-2），DM=4-x，根据AM=2DM列出方程，求解即可； 当点M在A，D右侧时 ，AM=x-（-2），DM=x-4，根据AM=2DM列出方程，求解即可；
（3） 设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t， ① 追击前根据两点间的距离公式列出方程 3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3 求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数； ② 追击后根据两点间的


距离公式列出方程 ﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数， 综上所述即可得出答案。

2．如图A在数轴上对应的数为-2.

（1）点B在点A右边距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是________. （2）在(1的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴向右运动.现两点同时运动,当点A运动到-6的点处时，求A、B两点间的距离. （3）在(2的条件下，现A点静止不动，B点以原速沿数轴向左运动，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度. 【答案】 （1）2 （2）解：
8-(-6=14（个单位长度）．
故A，B两点间距离是14个单位长度．
，
∴B点到达的位置所表示的数字是2+3×2=8

（3）解：运动后的B点在A点右边4个单位长度， 设经过t秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有 3t=14-4， 解得x= ；
运动后的B点在A点左边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有 3t=14+4， 解得x=6．
∴经过 秒或6秒长时间A，B两点相距4个单位长度． 【解析】【解答】解：（1）-2+4=2， 故点B所对应的数是2；
【分析】（1）根据左减右加可求得点B所对应的数；（2）先根据时间=路程÷速度，求得运动时间，再根据路程=速度×时间求解即可；（3）分两种情况：运动后的点B在点A右边4个单位长度；运动后的点B在点A左边4个单位长度，列出方程求解.

3．阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定两点 ， 以及一条线段 点 关于线段 径向对称的示意图.
，若线段
的中点 在线段
上（点 可以与点 或 重合），则称点 与点 关于线段
径向对称.下图为点
与



解答下列问题：
如图1，在数轴上，点 为原点，点 表示的数为-1，点 表示的数为2.

（1）①点 ， ， 分别表示的数为-3， ，3，在 ， ， 三点中，________与点 关于线段 径向对称；
②点 表示的数为 ，若点 与点 关于线段 径向对称，则 的取值范围是________； （2）在数轴上，点 ， ， 表示的数分别是-5，-4，-3，当点 以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段 移动的时间为 （ 径向对称.
【答案】 （1）点C和点D；1≤x≤5
（2）解：移动时间t（t>0）秒时，点H，K，L表示的数分别是-5+t，-4+3t，-3+3t， 此时，线段HK的中点设为R1 ， 表示的数为 线段HL的中点设为R2 ， 表示的数为
，
，
同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动.设 ）秒，问 为何值时，线段 上至少存在一点与点 关于线段


当线段R1 R2 ， 在线段OM上运动时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称，
当R2经过点O时，2t-4=0时，t=2, 当R1经过点M时， 所以当 所以当
时，
，
时，线段R1 R2在OM上运动，
时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称.
【解析】【解答】解：（1）①与点A点关于线段 径向对称需要满足：这个点与A点的中点在线段OM上，点B表示的数是-3，与点A表示的-1的中点是-2，不在线段OM上，所以点B不是；点C表示的数 ，与点A表示的-1的中点是 ，在线段OM上，所以点C是；点D表示的3与点A表示的-1的中点是1，在线段OM上，所以点D是；




综上，答案为点C，点D；②
结合数轴可知当点x与点A的中点落在点O与点M之间时（包括端点O与M）正确，即
，解得
，故答案为
；
【分析】（1）根据题干中给出的径向对称的定义，进行验证解答即可；（2）根据题干中给出的径向对称的定义，列出点x与点A中点的取值范围，即可求出答案；（3）用含t的代数式分别表示出点H，K，L和线段HK与线段HL的中点列式计算即可.

4．观察下面的等式：




回答下列问题： （1）填空：________ （2）已知 ________ . 【答案】 （1）-4 （2）0或-4 （3）4；的形式，

所以（1）中此时2-a=6，解得a=-4，故答案为-4；
所以（2）中a=2，故2-2=0，所以x的值为0；根据绝对值的意义将原式化简可得
，求得x=0或x=-4，所以x的值为0或-4；（3）根据
，可知
，所以
.
【分析】（1）根据 解；（3）由（1）可得
即可求解；（2）由（1）的规律即可求 进行整理，根据绝对值意义求解即可.
，整理得
，所以y的最大值为4，此时的式子是

【解析】【解答】解：根据观察可以知道，所有的式子符合
；
，则 的值是________；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为 ，则 的最大值是________，此时的等式为
5．已知a是最大的负整数，b、c满足
，且a，b，c分别是点


A，B，C在数轴上对应的数.

（1）求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；
（2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到达B点?
（3）在数轴上找一点M，使点M到A，B，C三点的距离之和等于13，请直接写出所有点M对应的数.(不必说明理由
【答案】 （1）解：∵a是最大的负整数， ∴a=-1，
∵|b-3|+（c+4）2=0， ∴b-3=0，c+4=0， ∴b=3，c=-4. 表示在数轴上为：


（2）解：BC=3-（-4）=7，则运动时间为 秒
（3）解：设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于13， ①当M在点B的右侧，x-（-4）+x-（-1）+x-3=13. 解得x= ， 即M对应的数是 .
②当M在C点左侧，（-4）-x+（-1）-x+3-x=13. 解得x=-5， 即M对应的数是-5.
综上所述，点M表示的数是 或-5
【解析】【分析】（1）根据最大的负整数是1，可得到a的值，再利用几个非负数之和为0，求出b，c的值，然后根据a，b，c的值在数轴上标出A、B、C的位置。
（2）利用两点间的距离公式求出BC的长，再根据段P的运动速度就可求出点P到达点B的运动时间。
（3）设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于13， 再分情况讨论：①当M在点B的右侧；②当M在C点左侧，分别建立关于x的方程，分别求出方程的解。

6．第1个等式：1- = ×



第2个等式：(1- (1- = × 第3个等式：(1- (1- (1- = × 第4个等式：(1- (1- (1- (1- = × 第5个等式：(1- (1- (1- (1- (1- = × ······
（1）写出第6个等式；
（2）写出第n个等式(用含n的等式表示,并予以证明．
【答案】 （1）第6个等式：(1- (1- (1- (1- (1- (1- = × （2）第n个等式：(1- (1- (1- ……(1- [1- ]
]= ×
证明：(1- (1- (1- ……(1- [1- ＝ ＝ ＝ × 案．






【解析】【分析】根据已知条件得到每个括号内第二个分数分母的变化规律，进而得出答
7．数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度，每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a,b满足|a-5|+(b-62=0.

（1）请真接与出a=________,b=________；
（2）如图1,点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动:同时点N从原点0出发沿数轴向左运动，运动时间为t,点P为线段ON的中点若MP=MA,求t的值:



（3）如图2,若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t时M运动到点A的右侧，若此时以M，N,O,A为端点的所有线段的长度和为142,求此时点M对应的数.
【答案】 （1）5；6
（2）解：①点M未到达O时（0＜t≤2时）， NP=OP=3t，AM=5t，OM=10-5t，MP=3t+10-5t 即3t+10-5t=5t，解得 t= ，
②点M到达O返回，未到达A点或刚到达A点时，即当（2＜t≤4时）， OM=5t-10，AM=20-5t,MP=3t+5t-10 即3t+5t-10=20-5t，解得 t=
③点M到达O返回时，在A点右侧，即t＞4时 OM=5t-10，AM=5t-20，MP=3t+5t-10, 即3t+5t-10=5t-20，解得 t=综上
或
；
（不符合题意舍去）.

（3）解：如下图：

根据题意：NO=6t，OM=5t，所以MN=6t+5t=11t
依题意：NO+OA+AM+AN+OM+MN=MN+MN+OA+MN=33t+10=142， 解得t=4.此时M对应的数为20.
【解析】【解答】解：（1）∵|a-5|+（b-6）2=0． ∴a-5=0，b-6=0 ∴a=5，b=6 故依次填：5,6；
【分析】(1中根据非负数的性质即可得解；（2）分三种情况，分别表示MP和MA，根据MP=MA列出方程，解方程即可（需注意t＞0）；（3）依据题意画出图形，根据图形可知MN=NO+OM=11t.M，N,O,A为端点的所有线段的长度和为3MN+OA=142，将MN=11t代入，即可求出t的值，M点表示的数可求.

8．已知：线段AB＝20cm.




（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，点Q沿线段BA自B点向A点以3厘米/秒运动，经过________秒，点P、Q两点能相遇.
（2）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后P、Q相距5cm?
（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，∠POB＝60°，点P绕着点O以60°/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度. 【答案】 （1）4
（2）解：设经过a秒后P、Q相距5cm， 由题意得，20－（2＋3）a＝5， 解得：
，
或（2＋3）a−20＝5， 解得：a＝5，
答：再经过3秒或5秒后P、Q相距5cm

（3）解：点P，Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为
s，
设点Q的速度为ycm/s，
当2s时相遇，依题意得，2y＝20−2＝18，解得y＝9 当5s时相遇，依题意得，5y＝20−6＝14，解得y＝2.8 答：点Q的速度为9cm/s或2.8cm/s．
【解析】【解答】解：（1）设经过x秒两点相遇， 由题意得，（2＋3）x＝20， 解得：x＝4，
即经过4秒，点P、Q两点相遇； 故答案为：4．
【分析】（1）设经过x秒两点相遇，根据总路程为20cm，列方程求解；（2）设经过a秒后P、Q相距5cm，分两种情况：用AB的长度−点P和点Q走的路程；用点P和点Q走的路程−AB的长度，分别列方程求解；（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
s或

9．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点
，其中
，
．设点



所对应的数之和是 ，点
所对应的数之积是 .

（1）若以 为原点，写出点 少？
（2）若原点 在图中数轴上点 的右边，且 【答案】 （1）解：以 为原点，点

以 为原点，
；

，求 的值.
， ，
所对应的数分别是
所对应的数，并计算 的值；若以 为原点，
又是多
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据题意，若以 为原点时，分别写出点A、C所表示的数，从而求出m；若以 为原点，分别写出A、B所表示的数，从而求出m；（2）根据题意，分别求出A、B、C所表示的数，即可求出n的值.

10．已知数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…，

（1）动点Q运动3秒时，求此时Q在数轴上表示的数?
（2）当动点Q第一次运动到数轴上对应的数为10时，求Q运动的时间t；
（3）若5秒时，动点Q激活所在位置P点，P点立即以0.1个单位长度/秒的速度沿数轴运动，试求点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置.
【答案】 （1）解：由题意得：0.5秒动点Q所在的位置为1，1.5秒动点Q所在的位置为−1，
∴3秒时动点Q所在的位置为2，即此时Q在数轴上表示的数是2

（2）解：设每改变一次方向为一次运动，
分析动点Q的移动规律可知，第一次到达数轴上表示数1的位置，第3次到达数轴上表示数2的位置，第5次到达数轴上表示数3的位置，…， 所以第2n－1次到达数n的位置， 所以第19次到达数轴上表示数10的位置，
此时运动的总路 ，
∴Q运动的时间t＝190÷2＝95秒
程为：




（3）解：∵3秒时，动点Q所在的位置为2， ∴5秒时，动点Q所在位置为−2，
①若P点向左运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，
Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5＋ ×0.1＝ ，
设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t1 ， 则（2−0.1）t1＝ ， 解得：t1＝
，
×0.1）∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：−（2＋ ×0.1＋ ＝
；
②若P点向右运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，
Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5− ×0.1＝ ，
设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t2 ， 则（2＋0.1）t2＝ 解得：t2＝ ，
∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：−（2−
×0.1− ；
综上所述，点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置是
或
. ×0.1）＝ ，
【解析】【分析】（1）根据动点Q的移动规律，分析得出0.5秒和3秒时所在位置，即可求出答案；（2）分析动点Q的移动规律，求出到达数轴上表示数10的位置时所走的总路程，然后根据时间＝路程÷速度进行计算即可；（3）首先求出5秒时，动点Q所在位置为−2，然后分情况讨论：①P点向左运动，②P点向右运动，分别列出方程求出相遇时用的时间，然后再计算点Q相遇时所在的位置即可.

11．已知式子M＝(a＋5x3＋7x2－2x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b.
（1）a＝________，b＝________．A，B两点之间的距离＝________；
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规


律不断地左右运动，当运动到第2019次时，求点P所对应的有理数；
（3）在(2的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．

【答案】 （1）-5；7；12
（2）依题意得：−5−1＋2−3＋4−5＋6−7＋…＋2014−2015+2016-2017+2018-2019， ＝−5＋1009−2019， ＝−1015．
答：点P所对应的有理数的值为−1013；

（3）解：设点P对应的有理数的值为p， ①当点P在点A的左侧时：PA＝−5−p，PB＝7−p， 依题意得： 7−p＝3（−5−p）， 解得：p＝−11；
②当点P在点A和点B之间时：PA＝p−（−5）＝p＋5，PB＝7−p， 依题意得：7−p＝3（p＋5）， 解得：p＝−2；
③当点P在点B的右侧时：PA＝p−（−5）＝p＋5，PB＝p−7， 依题意得：p−7＝3（p＋5），
解得：x＝−11，这与点P在点B的右侧（即x＞7）矛盾，故舍去． 综上所述，点P所对应的有理数分别是−11和−2．
【解析】【解析】解：（1）∵式子M＝（a＋5）x3＋7x2−2x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数为b， ∴a＋5＝0，b＝7， 则a＝−5，
∴A、B两点之间的距离＝|−5-7|＝12． 故答案是：−5；7；12．
【分析】（1）根据多项式的项及次数的定义得到a＋5＝0，由此求得a、b的值，然后根据数轴上任意两点间的距离，等于这两点所表示的数的差的绝对值即可求线段AB的值； （2）根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可； （3）设点P对应的有理数的值为p，分情况进行解答：点P在点A的左侧，点P在点A、B之间、点P在点B的右侧三种情况，根据根据数轴上任意两点间的距离，等于这两点所表示的数的差的绝对值表示出PA,PB的长度，进而根据点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍分别列出方程，求解即可 ．

12．点A在数轴上对应的数为3，点B对应的数为b，其中A、B两点之间的距离为5 （1）求b的值
（2）当B在A左侧时，一点D从原点O出发以每秒2个单位的速度向左运动，请问D运


动多少时间，可以使得D到A、B两点的距离之和为8?
（3）当B在A的左侧时，一点D从O出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时点M从B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，点N从A出发，以每秒4个单位的速度向右运动；在运动过程中，MN的中点为P，OD的中点为Q，请问MN-2PQ的值是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；如果没有变化，请求出这个值. 【答案】 （1）解：由题意得：
，解得：

（2）解：当B在A左侧时，由（1）可知： ，设点D运动的时间为t秒，则D表示的数为-2t，当D到A、B两点的距离之和为8时，可得D在B左侧，且DB+DA=DB+DB+AB=2DB+5=8，故 DB=1.5，即-2-（-2t）=1.5，解得t=1.75 （3）解：在运动过程中，MN-2PQ=4恒成立，理由如下： 当B在A左侧时，由（1）可知：
，设点D运动的时间为t秒，则
D表示的数为-2t，M表示的数为-2-t，N表示的数为3+4t； 故MN的中点P表示的数为0.5+1.5t，OD的中点Q表示的数为-t； 则MN-2PQ=[（3+4t）-（-2-t）]-2[(0.5+1.5t-(-t] =5+5t-2(0.5+2.5t =5+5t-1-5t =4
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解.（2）根据运动速度可表达出D点坐标，根据D到A、B两点的距离之和为8，可知D点在B的左侧，根据两点之间的距离公式即可求解（3）根据运动速度可表达出M、D、N点的坐标，根据中点公式求出P、Q坐标进而求出MN、PQ线段长即可求解.



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