南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（03）

高三数学（理）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷选择题（共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1. 设复数word/media/image1_1.png，则在复平面内word/media/image2_1.png对应的点坐标为

A .word/media/image3_1.png B．word/media/image4_1.png C．word/media/image5_1.png D． word/media/image6_1.png

2. 已知两个集合word/media/image7_1.png，word/media/image8_1.png则word/media/image9_1.png

A.word/media/image10_1.png B． word/media/image11_1.png C．word/media/image12_1.png D．word/media/image13_1.png

3．随机变量，则=

Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718

（参考数据：，，）

4．从word/media/image19_1.png中不放回地依次取2个数，事件word/media/image20_1.png“第一次取到的是奇数” word/media/image21_1.png“第二次取到的是奇数”，则 word/media/image22_1.png

A. word/media/image23_1.png B． word/media/image24_1.png C． word/media/image25_1.png D．word/media/image26_1.png

5．按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是（ ）

A．(20,25] B．(30,57] C．(30,32] D．(28,57]

6．已知数列满足: 当时，，则的前word/media/image31_1.png

项和

A. 31 B. 62 C. 170 D. 1023

7． 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是 （ ）

word/media/image34_1.png

8． 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上. 当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，

三棱锥Q-BMN的正视图面积等于

A.

B.

C.

D.

9．若正数word/media/image46_1.png满足： 则的最小值为（ ）

A.2 B. C. D. word/media/image52_1.png

word/media/image53_1.png10．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点的坐标为，点位于第一象限，．若，则=

11. 已知word/media/image67_1.png是双曲线word/media/image68_1.png上的不同三点，且word/media/image69_1.png连线经过坐标原点，若直线word/media/image70_1.png的斜率乘积word/media/image71_1.png，则该双曲线的离心率word/media/image72_1.png

A . word/media/image73_1.png B． word/media/image74_1.png C． word/media/image75_1.png D． word/media/image76_1.png

12.已知函数word/media/image77_1.png，对word/media/image78_1.png，使得word/media/image79_1.png，则word/media/image80_1.png的最小值为

A . word/media/image81_1.png B． word/media/image82_1.png C． word/media/image83_1.png D．word/media/image84_1.png

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设,则　　 　．

14．关于的方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为 ．

15．已知△ABC外接圆的圆心为O，且则∠AOC= ．

16．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；

②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；

④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若恒成立，则实数t的取值范围是.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三人是否应聘成功是相互独立的．

（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望．

18．（本小题满分12分）

已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求的表达式．

19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆形：word/media/image126_1.png（a＞b＞0）的离心率为word/media/image127_1.png，其左顶点A在圆O：word/media/image128_1.png上．

（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得word/media/image130_1.png＝3? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数，（且为常数）．

（Ⅰ）若曲线在处的切线过点，求实数的值；

（Ⅱ）判断函数在上的零点个数，并说明理由．

四、选考题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。）

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，圆O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB上．连结EC，CD．

（Ⅰ）证明：直线AB是圆O的切线；

（Ⅱ）若tan∠CED＝word/media/image140_1.png，圆O的半径为3，求OA的长．

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系word/media/image141_1.png中，曲线word/media/image142_1.png的参数方程为word/media/image143_1.png（word/media/image144_1.png为参数），以原点为极点，以word/media/image145_1.png轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线word/media/image146_1.png的极坐标方程为word/media/image147_1.png

（I）求曲线word/media/image142_1.png的普通方程与曲线word/media/image148_1.png的直角坐标方程；

（II）设点word/media/image149_1.png，曲线word/media/image150_1.png与曲线word/media/image151_1.png交于word/media/image152_1.png,求word/media/image153_1.png的值.

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数word/media/image154_1.png

（I）若word/media/image155_1.png的解集为word/media/image156_1.png，求实数word/media/image157_1.png的值；

（II）当word/media/image158_1.png且word/media/image159_1.png时，解关于word/media/image160_1.png的不等式word/media/image161_1.png

参考答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数word/media/image1_1.png，则在复平面内word/media/image2_1.png对应的点坐标为 D

A .word/media/image3_1.png B．word/media/image4_1.png C．word/media/image5_1.png D． word/media/image6_1.png

2.已知两个集合word/media/image7_1.png，word/media/image8_1.png则word/media/image9_1.png B

A.word/media/image10_1.png B． word/media/image11_1.png C．word/media/image12_1.png D．word/media/image13_1.png

3．随机变量，则= B

Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718

（参考数据：，，

）

4．从word/media/image19_1.png中不放回地依次取2个数，事件word/media/image20_1.png“第一次取到的是奇数” word/media/image21_1.png“第二次取到的是奇数”，则 word/media/image22_1.png D

A. word/media/image23_1.png B． word/media/image24_1.png C． word/media/image25_1.png D．word/media/image26_1.png

5．按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是（ D ）

A．(20,25] B．(30,57] C．(30,32] D．(28,57]

6．已知数列满足: 当时，，

word/media/image34_1.png则的前项和B

7． 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是 A

8． 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，

动点M、N、Q分别在线段上.

当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，

三棱锥Q-BMN的正视图面积等于 B

A. B.

C. D.

9．若正数word/media/image46_1.png满足： 则的最小值为（ A ）

A、2 B、 C、 D、word/media/image52_1.png

word/media/image53_1.png10．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点的坐标为，点位于第一象限，．若，则= D

11.已知word/media/image67_1.png是双曲线word/media/image68_1.png上的不同三点，且word/media/image69_1.png连线经过坐标原点，若直线word/media/image70_1.png的斜率乘积word/media/image71_1.png，则该双曲线的离心率word/media/image72_1.png B

A . word/media/image73_1.png B． word/media/image74_1.png C． word/media/image75_1.png D． word/media/image76_1.png

12.已知函数word/media/image77_1.png，对word/media/image78_1.png，使得word/media/image79_1.png，则word/media/image80_1.png的最小值为 A

A . word/media/image81_1.png B． word/media/image82_1.png C． word/media/image83_1.png D．word/media/image84_1.png

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设,则　　 　．31

14．关于的方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为 ．

15．已知△ABC外接圆的圆心为O，且则∠AOC= ．

16．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；

②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；

④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若恒成立，则实数t的取值范围是.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

16．答案②③.解:①错：

②对：如；

③对；；④错；，

因为恒成立，故.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三人是否应聘成功是相互独立的．

（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望．

17解：（Ⅰ）依题意, 所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为,的可能取值为0,1,2

，，

，所以.

18．（本小题满分13分）

已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求的表达式．

18．解：（Ⅰ）, …………2分

由及得∴ ………4分

方程在的解从小到大依次排列构成首项为，

公差为的等差数列∴. ………………6分

（Ⅱ），

.

19．如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

19【答案】（1）证明详见解析；（2）.

解析：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．

取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)，

设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为

，，

所以，取m＝(1，－，1)． 8分

设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为，，

所以，取n＝(1，0，1)． 10分

则，因为二面角C-AB1-A1为钝角，

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为． 12分

20．（本小题满分12分）

已知椭圆形：word/media/image126_1.png（a＞b＞0）的离心率为word/media/image127_1.png，其左顶点A在圆O：word/media/image128_1.png上．

（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得word/media/image130_1.png＝3? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

word/media/image207_1.png 解：（1）因为椭圆word/media/image208_1.png的左顶点A在圆word/media/image209_1.png上，令word/media/image210_1.png，得word/media/image211_1.png，所以word/media/image212_1.png.又离心率为word/media/image213_1.png，所以word/media/image214_1.png，所以word/media/image215_1.png,所以word/media/image216_1.png,

所以word/media/image217_1.png的方程为word/media/image218_1.png.word/media/image219_1.png ……………………………………4分

（2）设点word/media/image220_1.png，设直线word/media/image221_1.png的方程为word/media/image222_1.png，

与椭圆方程联立得word/media/image224_1.png,

化简得到word/media/image225_1.png, 因为word/media/image226_1.png为方程的一个根，

所以word/media/image227_1.png，所以word/media/image228_1.png

所以word/media/image229_1.png. ………………………………6分

因为圆心到直线word/media/image230_1.png的距离为word/media/image231_1.png，

所以word/media/image232_1.png, …………………………8分

因为word/media/image233_1.png，

代入得到word/media/image234_1.png

显然word/media/image235_1.png，所以不存在直线word/media/image236_1.png，使得word/media/image237_1.png. ……………………12分

21．（本小题满分14分）

已知函数，（且为常数）．

（Ⅰ）若曲线在处的切线过点，求实数的值；

（Ⅱ）判断函数在上的零点个数，并说明理由．

21．解：（Ⅰ） =，

又曲线在处的切线过点,得， …3分

即，解得 …………………………………………5分

（Ⅱ）由得

，化为， ……7分

令，则

由，得，

故在上递增，在上递减，

. …………………………………………10分

再令，

因为，所以函数在上递增，

.

知，由此判断函数在上没有零点，

故零点个数为0. ………………12分

【选考题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA＝OB，CA

＝CB，圆O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB

上．连结EC，CD．

（Ⅰ）证明：直线AB是圆O的切线；

（Ⅱ）若tan∠CED＝word/media/image140_1.png，圆O的半径为3，求OA的长．

22.解析：（1）证明：连结word/media/image262_1.png. 因为word/media/image263_1.png，所以word/media/image264_1.png 又word/media/image265_1.png是圆word/media/image266_1.png的半径，所以word/media/image267_1.png是圆word/media/image266_1.png的切线. ………………………5分

（2）因为直线word/media/image268_1.png是圆word/media/image269_1.png的切线，所以word/media/image270_1.png 又word/media/image271_1.png，

所以word/media/image272_1.png 则有word/media/image273_1.png，又word/media/image274_1.png，

故word/media/image275_1.png.

设word/media/image276_1.png，则word/media/image277_1.png，又word/media/image278_1.png，故word/media/image279_1.png，即word/media/image280_1.png.

解得word/media/image281_1.png，即word/media/image282_1.png. 所以

word/media/image283_1.png ………………………10分

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系word/media/image141_1.png中，曲线word/media/image142_1.png的参数方程为word/media/image143_1.png（word/media/image144_1.png为参数），以原点为极点，以word/media/image145_1.png轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线word/media/image146_1.png的极坐标方程为word/media/image147_1.png

（1）求曲线word/media/image142_1.png的普通方程与曲线word/media/image148_1.png的直角坐标方程；

（2）设点word/media/image149_1.png，曲线word/media/image150_1.png与曲线word/media/image151_1.png交于word/media/image152_1.png,求word/media/image153_1.png的值.

23. （1）word/media/image284_1.png-----------4分

（2）将word/media/image285_1.png代人word/media/image286_1.png直角坐标方程 得word/media/image287_1.pngword/media/image288_1.png

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数word/media/image154_1.png

(1)若word/media/image155_1.png的解集为word/media/image156_1.png，求实数word/media/image157_1.png的值；

(2)当word/media/image158_1.png且word/media/image159_1.png时，解关于word/media/image160_1.png的不等式word/media/image161_1.png

24.（1）因为word/media/image289_1.png所以word/media/image290_1.png得word/media/image291_1.png-------5分

（2）word/media/image292_1.png时等价于word/media/image293_1.png

当word/media/image294_1.png所以舍去； 当word/media/image295_1.png成立

当word/media/image296_1.png成立； 所以，原不等式解集是word/media/image297_1.png-----------10分

江西省南昌市十所省重点中学命制届高三数学第二次模拟突破冲刺试题理（三）[含答案]