2019学年人教版高中数学选修精品资料

阶段质量检测(二)　

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值 f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中(　　)

A．小前提错误 B．大前提错误

C．推理形式错误 D．结论正确

2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为(　　)

A．9(n＋1)＋n＝10n＋9

B．9(n－1)＋n＝10n－9

C．9n＋(n－1)＝10n－1

D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10

3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)

A．■　　　 B．△　　　 C．□　　　 D．○

4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面(　　)

A．各正三角形内任一点

B．各正三角形的某高线上的点

C．各正三角形的中心

D．各正三角形外的某点

5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)

A．28 B．76 C．123 D．199

6．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是(　　)

A．a>b B．a<b

C．a＝b D．a、b大小不定

7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)

A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2

8．已知an＝n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：

记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)等于(　　)

A. 67 B. 68

C. 111 D. 112

9．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于(　　)

A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)

B．f

C.

D. f(1)

10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是(　　)

A．Sn＝n2 B．Sn＝n3

C．Sn＝n4 D．Sn＝n(n＋1)

11．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4a6＞a3a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是(　　)

A．b4＋b8＞b5＋b7 B．b4＋b8＜b5＋b7

C．b4＋b7＞b5＋b8 D．b4＋b7＜b5＋b8

12．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 016等于(　　)

A. B．－1 C．2 D．3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．

14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．

15．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．

16．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.

18．(本小题12分)已知实数x，且有a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.

19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

20．(本小题12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．

(1)比较与的大小，并证明你的结论；

(2)求证：角B不可能是钝角．

21．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.

(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列；

(2)设cn＝(n＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列．

22．通过计算可得下列等式：

22－12＝2×1＋1；

32－22＝2×2＋1；

42－32＝2×3＋1；

…

(n＋1)2－n2＝2n＋1.

将以上各式两边分别相加，得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝.

类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．

答案

1．解析：选B　可导函数f(x)，若f′(x0)＝0且x0两侧导数值相反，则x＝x0是函数f(x)的极值点，故选B.

2．解析：选B　由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n－1)＋n＝10n－9.

3．解析：选A　由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．

4．解析：选C　正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．

5．解析：选C　记an＋bn＝f(n)，

则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4，

f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；

f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.

通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，

则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；

f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；

f(8)＝f(6)＋f(7)＝47;

f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；

f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.

所以a10＋b10＝123.

6．解析：选B　要比较a与b的大小，由于c>1，

所以a>0，b>0，

故只需比较与的大小即可，

而＝＝＋，

＝＝＋，

显然>，从而必有a<b.

7．解析：选C　归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.

8．解析：选D　该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝112.故选D.

9．解析：选C　f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)，

令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)

⋮

f(n)＝nf(1)，

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝f(1)．所以A，D正确．

又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)＝f，所以B也正确．故选C.

10．解析：选B　∵当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；

∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.

11．解析：选A　b5＋b7－b4－b8＝b4(q＋q3－1－q4)

＝b4(q－1)(1－q3)＝－b4(q－1)2(1＋q＋q2)＝－b4(q－1)2.

∵bn＞0，q＞1，

∴－b4(q－1)2·＜0，

∴b4＋b8＞b5＋b7.

12．解析：选C　∵a1＝，an＋1＝1－，

∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，

a4＝1－＝，a5＝1－＝－1，

a6＝1－＝2，

∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)，

∴a2 016＝a3＋3×671＝a3＝2.

13．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．

答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)

14．解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.

答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1

15．解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，

所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin (结论)，

即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.

因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.

答案：

16．解析：设第n个图形中有an个顶点，

则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，

an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.

答案：n2＋n

17．证明：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0.

要证明原不等式成立，只需证明＜a，

即证b2－ac＜3a2，从而只需证明(a＋c)2－ac＜3a2，

即(a－c)(2a＋c)＞0，

因为a－c＞0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，

所以(a－c)(2a＋c)＞0成立，

故原不等式成立．

18．证明：假设a，b，c都小于1，

即a＜1，b＜1，c＜1，

则a＋b＋c＜3.

∵a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3，且x为实数，

∴22＋3≥3，

即a＋b＋c≥3，这与a＋b＋c＜3矛盾．

∴假设不成立，原命题成立．

∴a，b，c中至少有一个不小于1.

19．解：(1)选择(2)式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°

＝1－sin 30°＝1－＝.

(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.

证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.

法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α

＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)

＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.

20．解：(1)＜.

证明如下：

要证＜，只需证＜.

∵a，b，c＞0，

∴只需证b2＜ac.

∵，，成等差数列，

∴＝＋≥2，

∴b2≤ac.

又a，b，c均不相等，

∴b2＜ac.故所得大小关系正确．

(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.

由余弦定理得，

cos B＝＞＞＞0，

这与cos B＜0矛盾，

故假设不成立．

所以角B不可能是钝角．

法二：假设角B是钝角，则角B的对边b是最大边，

即b＞a，b＞c，

所以＞＞0，＞＞0，

则＋＞＋＝，这与＋＝矛盾，

故假设不成立．

所以角B不可能是钝角．

21．证明：(1)因为Sn＋1＝4an＋2，

所以Sn＋2＝4an＋1＋2，

两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)，

即an＋2＝4an＋1－4an，

变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，

因为bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，

所以bn＋1＝2bn，

由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列．

(2)由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1，

得a2＝5，b1＝a2－2a1＝3.

故bn＝3·2n－1.

因为cn＝(n＝1,2，…)，

所以cn＋1－cn

＝－

＝＝，

将bn＝3·2n－1代入得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)．

由此可知，数列{cn}是公差d＝的等差数列．

22．解：23－13＝3×12＋3×1＋1，

33－23＝3×22＋3×2＋1，

43－33＝3×32＋3×3＋1，

…

(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，

将以上各式两边分别相加，得

(n＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，

所以12＋22＋32＋…＋n2

＝

＝.

2019学年人教版 高中数学选修 2-1 创新应用：阶段质量检测（二）