无锡市2010年中考数学试题及答案解析

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2010年无锡市初中毕业升学考试
数学试卷
本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试
卷满分130分．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合．2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（2010江苏无锡，1，3分）9的值等于
）A．3


B．3

C．3


D．3







（
【分析】9表示9的算术平方根．只有非负数有算术平方根，且其算术平方根为非负数．
【答案】A
【涉及知识点】算术平方根
【点评】典型的送分题，关键是看学生对平方根及算术平方根的理解及区分．【推荐指数】★2．（2010江苏无锡，2，3分）下列运算正确的是（）
A．(a32=a5B．a3+a2=a5C．(a3—a÷a=a2D．a3÷a3=1
【分析】幂的乘法运算法则是，底数不变，指数相乘，故A错，应为a6;a3与a2虽然底数相同，但指数不同，故不是同类项，无法合并，故B错；(a3—a÷a=a2—1，故C错．
【答案】D
【涉及知识点】幂的运算
【点评】有关幂的运算类试题，主要是需要抓住概念实质，区别几种常见幂的运算的法则．对于这类较基础的中考试题，在解题时，学生往往容易混淆几类常见概念．【推荐指数】★3．（2010江苏无锡，3，3分）使3x1有意义的x的取值范围是
）A．x


（
1
3

B．x
13
C．x
13

D．x
13

【分析】当被开方数非负时，二次根式有意义．故本题应3x—1≥0，∴x
13
【答案】C
【涉及知识点】二次根式
【点评】本题是代数中较为基础的考题，主要考察学生对基本概念的理解，对主要概念的存在条件的刻画．当被开方数非负时，二次根式有意义．学生往往容易记成“当被．．开方数大于时，二次根式有意义．”因此我们在教学时，应深化学生对概念的理解及．．0．
记忆．初中阶段涉及有意义的地方有三处，一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，三是零指数的底数不能为零．【推荐指数】★4．（2010江苏无锡，4，3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．

【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个
图形是轴对称图形；把一个平面图形绕某一点选择180°，如果旋转后的图形能和原图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形．对照定义，可知A是轴对称图形，且有3条对称轴，但不是中心对称图形；C是中心对称图形，不是轴对称图形；B是轴对称图形，有1条对称轴，但不是中心对称图形；D既是中心图形又是轴对称图形，有4条对称轴．【答案】B
【涉及知识点】轴对称图形、中心对称图形【点评】本题是几何中较为基础的考题，主要考察学生对轴对称图形和中心对称图形概念的理解及图形的区别．选取的图形源于生活中常见的图案，体现了考试的公平性．【推荐指数】★★5．（2010江苏无锡，5，3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）
A．20cm2B．20πcm2C．10πcm2D．5πcm2
【分析】计算圆锥的侧面积，往往是将圆锥侧面沿某一母线展开．圆锥侧面展开后为一扇形，扇形的半径为圆锥的母线5cm，扇形弧的长度为圆锥底的周长4πcm．因此圆
锥的侧面积=扇形面积=
11
弧×母线=×4π×5=10πcm2．22
【答案】C
【涉及知识点】圆锥侧面积
【点评】本题考察的是圆锥的侧面积．解题过程体现了化归思想：将“体”的面积转化为“面”的面积．本题题型常见，是一道较基础的常规题．与之类似的还有求直棱柱的侧面积、求圆柱的侧面积，都是用类似方法．【推荐指数】★★6．（2010江苏无锡，6，3分）已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足（）

A．d＞9B．d=9C．3＜d＜9D．d=3
【分析】圆与圆的位置关系有5种，外离、外切、相交、内切、内含．具体体现为两圆半径R、r、圆心距d的关系是：
（1）两圆外离d＞R＋r；（2）两圆外切d＝R＋r；
（3）两圆相交R－r＜d＜R＋r（R≥r）；（4）两圆内切d＝R－r（R＞r）；（5）两圆内含d＜R－r（R＞r）．
对照上述关系，当两圆内切时，d=R—r=6—3=3．【答案】D
【涉及知识点】圆与圆的位置关系
【点评】圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，都可以根据“距离”之间的关系得到，这个“距离”分别指圆心距、点到圆心的距离、圆心到直线的距离．【推荐指数】★★7．（2010江苏无锡，7，3分）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）
A．两边之和大于第三边B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．有两个锐角的和等于90°D．内角和等于180°【分析】两边之和大于第三边，内角和等于180°，这两条性质对于每个三角形都具有．对于直角三角形，还有其特殊的性质，如两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，面积等于两直角边乘积的一半；对于等腰三角形，其特殊性质有：两条边相等，两个底角相等，“三线合一”．【答案】B
【涉及知识点】三角形、等腰三角形、直角三角形、“三线合一”
【点评】等腰三角形和直角三角形是几何中两个最基本的图形．初中阶段，对二者的性质的研究还是比较深入的．因此本题有较高的公平性．【推荐指数】★★★8．（2010江苏无锡，8，3分）某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛．小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A．方差B．极差C．中位数D．平均数
【分析】方差是刻画一组数据的离散情况，方差越大，这组数据的偏离平均数的程度越大；极差刻画一组数学的波动范围；中位数用来反映一组数据的中等水平；平均数是用来衡量一组数据的平均水平．13人中选择前6名参加决赛，说明小颖需要知道自己处在13人中的什么水平：中等以上就能进入决赛，中等水平以下就不等进入决赛．故需要知道中位数，高于中位数即为中等以上，低于中位数即为中等以下．【答案】C
【涉及知识点】数据分析
【点评】方差、标准差、极差、中位数、平均数、众数都是用来刻画一组数据的量，也是数据分析中常考的知识点．【推荐指数】★★★★9．（2010江苏无锡，9，3分）若一次函数ykxb，当x得值减小1，y的值就减小2，

则当x的值增加2时，y的值

（）A．增加4B．减小4C．增加2D．减小2【分析】当x得值减小1，x变成x–1，y的值就减小2，则y变为y–2，因此，y–2=k(x–1+b，整理得，y–2=kx–k+b，而y=kx+b，故k=2．∴一次函数为y=2x+b，当x的值增加2时，即x变为x+2，故y′=2(x+2+b=2x+4+b=2x+b+4=y+4，∴y增加了4．【答案】A
【涉及知识点】一次函数的性质
【点评】从斜率的观点刻画一次函数的增减性，高观点，低坡度，深刻的揭示了函数增减性的数量关系．同时，本题又可以通过数形结合加以解决，是考察一次函数增减性难得一见的好题！
【推荐指数】★★★★★10．（2010江苏无锡，10，3分）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，
AB⊥AO，过点C的双曲线y于3，则k的值
（）A．等于2B．等于
yC
k
交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等x












34
C．等于
245
D．无法确定
B
D
OA
x

【分析】求反比例系数k的值，一般有两种方法，一种是求反比例函数上一点，用待定系数法求k；另一种是抓住反比例系数k的几何意义．解：延长BC交y轴与M点，过D作DN⊥x轴于N．由题意易知，四边形OABM为矩形，且S△OBM=S△OBA
由k的几何意义知，S△COM=S△DON．
（第10题）
∴S四边形DNAB=S△BOC=3
而△ODN∽△OBA，相似比为OD：OB=1:3∴S△ODN：S△OBA=1:9，∴S△ODN：S四边形DNAB=1:8，
33
∴S△ODN=，∴k=
84
【答案】B
【涉及知识点】反比例函数k相似三角形
【点评】本题是反比例函数与相似的综合题，题目情景熟悉，但变化新颖、独特．需综合应用相似的性质，及反比例系数k的几何性质，是一道信度、效度较高的选择题中的压轴题．
【推荐指数】★★★★★
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案

直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2010江苏无锡，11，2分）5的相反数是▲．
【分析】绝对值相同，符号相反的两个数是互为相反数．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．【答案】5
【涉及知识点】相反数
【点评】典型的送分题，考察学生初中阶段最简单、最基础的知识点．有较高的信度与效度．也体现了无锡中考一直秉承的传统：送分送彻底的传统．具有较高的公平性．【推荐指数】★12．（2010江苏无锡，12，2分）上海世博会“中国馆”的展馆面积为15800m2，这个数据
用科学记数法可表示为▲m2．
【分析】15800可以写成1.58×10000，10000×104．故15800=1.58×104【答案】1.58×104
【涉及知识点】科学记数法
【点评】科学记数法是中考试卷中最常见的问题．把一个数写成a×10n的形式（其中1
≤a＜10，n为整数，这种计数法称为科学记数法），其方法是（1）确定a，a是只
有一位整数的数；（2）确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．【推荐指数】★★
2
13．（2010江苏无锡，13，2分）分解因式：4a–1=▲．
2
【分析】4a=(2a2，1=12，故本题可以用平方差公式进行因式分解．【答案】(2a+1(2a–1
【涉及知识点】分解因式平方差公式
【点评】分解因式关键是选择合适的方法．分解因式的步骤是一提（提公因式）、二套（套公式）、三验（检验是否分解彻底）．套公式时可根据需分解多项式的项数进行选择：如果是两项，一般是平方差公式；三项，一般是完全平方公式，或十字相乘；四项及四项以上，一般是分组分解法．【推荐指数】★★14．（2010江苏无锡，14，2分）方程x2-3x+1=0的解是▲．
bb24ac
【分析】根据方程知，a=1,b=–3,c=1，利用一元二次方程求根公式x
2a
可得方程的解．【答案】x1
3535
,x222
【涉及知识点】一元二次方程的解法
【点评】一元二次方程的解法有直接开方法，配方法，因式分解法，公式法．在解一元二次方程时，我们一般按如下顺序选择解法：直接开方法→因式分解法→配方法→公式法．
【推荐指数】★★15．（2010江苏无锡，15，2分）如图，AB是O的直径，点D在O上∠AOD=130°，

BC∥OD交
CO
O于C，则∠A=▲．
ABD

【分析】∵∠AOD=130°，∴∠DOB=50°，又BC∥OD，∴∠B=∠DOB=50°．∵AB是
（第15题）

O的直径，∴∠C=90°，在△ABC中，由内角和定理知，∠A=40°．【答案】40°
【涉及知识点】圆平行线的性质内角和定理补角【点评】直径所对的圆周角是直角，是圆的一个重要的性质．本题中将“∠AOD=130°”通过补角、内错角、互余等知识点转移到与∠A相关，充分体现了数学的演绎与证明．题目虽小，但一方面考察了学生的基本知识，另一方面考察了学生的逻辑推理．【推荐指数】★★16．（2010江苏无锡，16，2分）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，
∠ACB=80°，则∠BCE=▲°．
C
D
A
E
B

【分析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ECA=∠A=30°，又∵∠ACB=80°，∴∠BCE=50°．
【答案】50°
【涉及知识点】垂直平分线等边对等角
【点评】垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，进一步得到角相等．数学知识间有很多联系与递进关系．很多时候，解决数学题目，只是将条件往前推一步，结论再往深处推一步．【推荐指数】★★★17．（2010江苏无锡，17，2分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，对
角线AC交EF于G，若BC=10cm，EF=8cm，则GF的长等于▲cm．
AEB
DFC
（第16题）
G
（第17题）

【分析】∵EF是梯形的中位线，∴EF//=AD，
1
(AD+BC，∴AD=2EF—BC=6cm，∵FG∥2

∴△CFG∽△CDA，∴
GFCF1
，∴GF=3cmADCD2
【答案】3
【涉及知识点】梯形中位线相似
【点评】梯形、三角形的中位线，一方面可以得到位置关系（梯形中位线平行两底，三角形中位线平行第三边），另一方面可以得到数量关系（梯形中位线等于两底和的一半，三角形中位线等于第三边的一半）．学生在解答本题时，最大的障碍是能直观感觉到GF是AD的一半，但比较困难说明理由（有些版本已删去了平行线等分线段定理）．【推荐指数】★★★★★18．（2010江苏无锡，18，2分）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了
5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了▲．【注：销售利润率=（售价—进价）÷进价】【分析】不妨设进价为100元，则销售利润为47元，即售价为147元．进价提高了5%，
则此时进价为105元，利润为42元．故利润率为
14710542
40%．
105105
【答案】40%
【涉及知识点】利润问题
【点评】利润问题是中考常考常新的应用型问题．处理利润问题关键是掌握三个量：进价、售价、利润．同时，利用特殊值法解决本题，可以突破难点并简化运算，是一种较好的方法．
【推荐指数】★★★★★
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）计算：
（2010江苏无锡，19(1，4分）（1）(-32|1|(1【分析】(—32=9，|—1|=1，(-1=2．
【答案】原式=9—1+2=10
【涉及知识点】有理数的计算
【点评】典型的送分题，目的是为了考察学生对数学中最基本运算法则的应用．【推荐指数】★
12
12
a22a1
(a2.（2010江苏无锡，19(2，4分）（2）
a1
【分析】a2—2a+1=(a—12
(a12
(a2a1a21【答案】原式=
a1
【涉及知识点】分式的运算因式分解
【点评】本题考察了完全平方差公式，以及去括号．问题较简单，考察内容较平易，体现了考试的有效性及公平性．【推荐指数】★★20．（本题满分8分）

（2010江苏无锡，20(1，4分）（1）解方程：
23
；
xx3

【分析】两边同时乘以最简公分母x(x+3，将分式方程化为整式方程进行求解【答案】解：（1）由原方程，得2(x+3=3x，∴x=6．经检验，x=6是原方程的解，
∴原方程的解是x=6
【涉及知识点】分式方程的解法
【点评】解分式方程的一般方法是去分母，将分式方程转化为整式方程，进一步解整式方程．但对于解出的整式方程的解，并不一定是分式方程的根，可能是分式方程的增根．因此，检验是分式方程不可或缺的步骤．【推荐指数】★★
x12,………………①
（2010江苏无锡，20(2，4分）（2）解不等式组：1
x32x,…………②2
【分析】先解出第一个不等式，得x>3，再解出第二个不等式得x≤10，然后再求这两
个不等式的公共部分．【答案】（2）由①，得x>3．由②，得x≤10．∴原不等式的解集为3＜x≤10．【涉及知识点】不等式组的解法
【点评】解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，一般先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴（取公共部分）或口诀（同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解答）求出所有解集的公共部分．在利用数轴上表示解时，应注意：“＞”空心开口向右，“＜”空心开口向左，“≥”实心开口向右，“≤”实心开口向左．【推荐指数】★★21．（2010江苏无锡，21，6分）小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A
—中国馆、B—日本馆、C—美国馆中任意选择一处参观，下午从D—韩国馆、E—英国馆、F—德国馆中任意选择一处参观．
（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）；
（2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率．
【分析】【答案】解：（1）树状图：列表法：
下午上午
D
EF
ABC
（A，D）（A，E）（A，F）（B，D）（B，E）（B，F）（C，D）（C，E）（C，F）

开始
上午ABC
下午DEFDEFDEF

(树状图或列表正确得分
∴小刚所有可能选择参观的方式有：（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），
（C，D），（C，E），（C，F）．
（2）小刚上午和下午都选择参观亚洲国家展馆的可能有（A，D），（B，D）两种，
∴小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率=
29
．
【涉及知识点】树状图概率
【点评】与热点上海世博会相联系，情景熟悉，切入口简单．利用树状图或列表的方法找出所有等可能事件，是近几年各地中考常考的问题．在选择具体方法时应注意简洁与高效．本题选择列表法较简洁．【推荐指数】★★★★22．（2010江苏无锡，22，6分）学校为了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机
抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．
（1）问：在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学．
人数2824201612840自行车
步行
4
10
24
步行20%其他私家车
自行车30%
公交车
公交车私家车其他
上学方式


【分析】频数分布直方图中自行车上学的人数为24人，在扇形统计图中，占30%，因此可以求出总调查人数．然后再结合两张图的信息进行求解．【答案】解：（1）被抽到的学生中，骑自行车上学的学生有24人，
占整个被抽到学生总数的30%，
∴抽取学生的总数为24÷30%=80（人）．
（2）被抽到的学生中，步行的人数为80×20%=16人，


直方图略（画对直方图得一分）．
（3）被抽到的学生中，乘公交车的人数为80—（24+16+10+4）=26，
∴全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为
2660
1600520人．
【涉及知识点】数据分析频数分布直方图扇形统计图【点评】频数分布直方图和扇形统计图结合起来考察学生的识图能力，以及对图中数据的处理能力，是近几年中考常考的题型．频数分布直方图容易看出每种情况的频数，扇形统计图容易看出每种情况所占比例．学生应统观两幅图，明确每幅图中各个数据表示什么量，在另一幅图中对应的是哪个量，这样处理起来就比较有条理了．【推荐指数】★★★★
23．（2010江苏无锡，23，8分）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），
在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位
于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
B
北
C
l
东
A
MN

【分析】速度=路程÷时间，因此（1）中关键是求出BC间的距离，而由题意易知，∠BAC=90°，故可由勾股定理知BC的长度．（2）中，看轮船能否行至码头，主要是考虑BC直线与直线l的交点所处的位置．若在MN间，则能行至码头MN靠岸，否则不能．
【答案】解：（1）由题意，得∠BAC=90°，
∴BC
40(83167．
43
127km/时．
2
2
∴轮船航行的速度为167
(2能．……（4分）
作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，
B
北
C
l
F
D
A
E
MN
东


则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=43，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，
∴
DFEF
BDCE
,∴
EF32EF

20343
，∴EF=8．
∴AF=AE+EF=20．
∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．【涉及知识点】解直角三角形相似
【点评】本题是近年来解直角三角形中较新颖的试题．本题的切入点宽，解法多．如第（2）问，可以以A为原点，l为x轴建立直角坐标系．进一步求出直线BC的解析式，然后求BC与x轴交点的坐标．这也是一种方法．对于中考题，方法重要，但选择方法的过程也很重要，得出结果，最重要．无论白猫黑猫，能抓住老鼠就是好猫．【推荐指数】★★★★★24．（2010江苏无锡，24，10分）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）
和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物
线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的
一动点，求△CMN面积的最大值．
y
D
C
E
AOB
x=4
x

【分析】以x=4为对称轴的抛物线，我们一般可以设其关系式为y=a(x–42+m，然后再根据抛物线经过点O、点C，可以求出a与m的值．对于第（2）问，求△CMN的面积的最大值，关键是将该三角形进行合理的分割，用“割”或“补”的方法，将三角形转化为可以求解的形式．
【答案】解：（1）点C的坐标(2,23．设抛物线的函数关系式为y=a(x–42+m，
16am0383
,m.则，解得a634am23
∴所求抛物线的函数关系式为y
36
(x4
2
833
…………①
4kb0343
,b设直线AC的函数关系式为ykxb,则，解得k．332kb23

∴直线AC的函数关系式为y
33
x
433
，∴点E的坐标为(4,
83
3
把x=4代入①式，得y
38383(442，∴此抛物线过E点．633
（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x
轴于G，则S△CMN=S△MNG+S—S△梯形MGBC
CBN
=(8xy(y23(x2(8223
2
2
2
36
433
32
111
=3y3x833(x
2
x3x83x53x83
2
=
32
(x5
2
932
,
∴当x=5时，S△CMN有最大值
932

【涉及知识点】一次函数二次函数最值动点【点评】抛物线最近几年在许多地区的中考中有淡化的趋势，但对抛物线问题中最基本的概念的掌握仍然不能放松．处理抛物线的问题依然遵循着数学的解题规律：寻找经验方法，探寻解题途径．【推荐指数】★★★★★25．（2010江苏无锡，25，8分）某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A、B两种原料，
生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示：
m(万元

原料节能产品
甲种产品乙种产品

6
甲
乙
A原料（吨）
31
B原料（吨）
35
O
2
3
n(吨
销售甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品x吨和乙种产品y吨，共用去A原料200吨．（1）写出x与y满足的关系式；
（2）为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元，那么至少要用B
原料多少吨？
【分析】生产甲产品用A原料3吨，故生产甲种产品x吨用A原料3x吨，生产乙产品用A原料1吨，故生产乙种产品y吨，用原料y吨．共用去A原料200吨，可得x与y之间的函数关系式．同时，如右图所示的甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系告诉我们销售每吨甲种产品的利润为3万元，销售每吨乙

种产品的利润为2万元．【答案】解：（1）3x+y=200．
（2）销售每吨甲种产品的利润为3万元，销售每吨乙种产品的利润为2万元，由题意，得3x+2y≥220，200-y+2y≥220，∴y≥20∴B原料的用量为3x+5y=200-y+5y=200+4y≥280答：至少要用B原料280吨．
【涉及知识点】不等式【点评】利用表格、函数图像给出题目中的信息，是近几年中考比较热门的试题类型．这类问题一方面考察学生的识图的能力，一方面考察学生对图中数据的处理能力．这类问题，入口宽，坡度缓，是较好的中考试题．【推荐指数】★★★★★26．（2010江苏无锡，26，10分）
（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC
延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）
AE
D
N
A
N
B
MC
P
B
M
C
P


（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的
平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD……X”，请你作出猜想：
当∠AMN=°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
【分析】证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等．（1）中给出了线段EM，即想提示考试证明△AEM≌△MCN．题目中的条件知，只需再找一角即可．（2）中解法同（1），在AB上构造出线段AE=MC，连接ME．进一步证明△AEM≌△MCN．（3）是将（1）（2）中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN与正多边形的内角度数相等．【答案】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM，∴∠BEM=∠EMB=45°，∴∠AEM=135°，∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°
图1图2

AEMMCN,

在△AEM和△MCN中：∵AEMC,∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
EAM=CMN,
（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME


∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．
∵AE=MC，∴BE=BM∴∠BEM=∠EMB=60°∴∠AEM=120°．
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
(n2180
n
（3）
【涉及知识点】全等探寻规律
【点评】本题图形熟悉，解法常规．但题目的切入点比较新颖．虽是老图，但蕴含新意；虽是陈题，但体现新知．让学生有一种似曾相识的感觉，提高了学生的解题兴趣，同时也激发了学生思考的热情，对学生能力的考察也起到了比较显著的作用．这充分体现了命题老师追求试卷平稳、朴实的初衷．【推荐指数】★★★★★
27．（2010江苏无锡，27，10分）如图，已知点A(63,0,B(0,6，经过A、B的直线l以
每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上
以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为
半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．
y
l
BP
C
O
A
D
x

【分析】求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离．因此需过点P作x轴或y轴的垂线．然后探索运动过程中，点P的运动情况．（2）中探索⊙P与直线CD的位置关系，即探索圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系．这样所求问题就较简单了．【答案】解：⑴作PH⊥OB于H﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝63，∴∠OAB＝30°
∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝
31
t;t，HP＝22

∴OH＝6tyBHP
3133
t，6t﹚t6t，∴P﹙2222
y
B
P
C
O
y
图1
A
x
ODA
图2
x
B
C
P
O
DAx

⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，∵OB＝6t，∠BOC＝30°∴BC＝(6t3t
∴PC3tt3t由3t1，得t
23
1
2
32
12
12
图3
43
（s），此时⊙P与直线CD相割．
当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，PCt
13
(6tt32238
由t31，得t﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．23
48
综上，当ts或s时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．
33
【涉及知识点】圆与直线的位置关系动点
【点评】本题是“双动”问题，动点在动直线上运动．情景简单，但思考力度较复杂．在解题时应分析“主动”与“被动”，并探索“变”中的“不变”．这道试题虽然模型简单，但具有较高的区分度，是中考中难得一见的好题．必然会对今后动点问题的命题有一定的指导、借鉴作用．【推荐指数】★★★★★28．（2010江苏无锡，28，10分）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的
正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．

（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
AM
B
DNC
图1
图2

A

【分析】怎么将平行四边形纸带ABCD包贴到三棱柱上？一种是将AD与三棱柱底边棱重合进行包贴；一种是将AB边与三棱柱底边棱重合进行包贴．前者无法将纸带“螺旋上升”以至包贴整个三棱柱侧面；后者可以包贴．故AB长即为三棱柱的底边周长．求∠BAD可转化到直角三角形中求解．（2）中，求贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度即需求AD的长度，因此可以将三棱柱侧面沿过点A的侧棱进行展开，将立体问题转化为平面问题，进一步求解．【答案】（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30
∵纸带宽为15，∴sin∠DAB=sin∠ABM=
AMAB
153012
图3
，∴∠DAB=30°．
（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，
DFA
CEB
DF
C
EB



将图甲种的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的□ABCD，此平行四边形即为图2中的□ABCD由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×
CDcos30
403，
图甲
A
图乙

∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+403=553cm．
【涉及知识点】实践操作解直角三角形
【点评】这道中考压轴题情景熟悉而又简单，但选题角度新颖．本题有较高的区分度，但学生对本题的情景都似乎“有话讲”，但就是“讲不清”．考试时，关键考试能否在有限的时间里审清题意，能否理解“包贴”的方法，能否通过图2与图3找出这道题目的切出口．处理立体图形往往是要将立体图形展开成平面图形．同时，平面图形与立体图形之间又有密切的联系．同时，通过本题，可以充分看出命题人细心观察生活，用心感悟熟悉的能力．数学其实应更多的关注生活，要让数学更多的回归生活！【推荐指数】★★★★★

无锡市2010年中考数学试题及答案解析

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