大学数学应用教程答案

【篇一：《大学数学简明教程》习题参考解答】

试利用贷款各参数间的关系式，完成以下公积金贷款利率表（表1-9）．

2． 某工厂有一水池，其容积为100m，原有水为10m． 现在每10min注入0.5m的水． 试将水池中水的体积表示为时间 t 的函数，且问需用多少min水池才能灌满？

解 设水的体积为 v， 则v=0.05t + 10

3

3

3

t?

100?10

?1800.05(min)

3

3． 以速率a (单位：cm/s)往一圆锥形容器注水． 容器的半径为 r cm，高为h ． 试

将容器中水的体积 v 分别表示成时间 t 与水高度 y 的函数．

1

v?at；v??r2y y?h

3解

4． (手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的：“133 环保网”的收费

为每月基本费用 50 元，每通话 1 min(不足 1 min按 1 min计算)再加收 0.2 元；“神州行”无每月基本费用，但按每通话 1 min(不足 1 min按 1 min计算)加收 0.6 元计算话费．若仅在本地区使用手机，如何选择手机服务？请给出一个建议．

解 133 环保网话费为s1?50?0.2t；神州行话费为s2?0.6t

s1?s2?50?0.4t≤0时，即t≥125（h）时，s1≤s2，即使用“133 环保网”所需交纳的话费较少，

若每月通话时间不足 125 min则用“神州行”合适．

5． 某公司每天要支付一笔固定费用 300 元(用于房租与薪水等)，它所出售的食品的生产费用为 1 元/kg，而销售价格为 2 元/kg．试问他们每天应当销售多少 kg 食品才能使公司的收支保持平衡?

解 (2?1)x?300，x?300(kg)

6． 设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为s(x)?x?3x?70， 需求函

2

数(即需求量作为价格的函数)为d(x)?410?x， 其中x为价格．

(1) (1)在同一坐标系中，画出s(x),d(x)的图形； (2) (2)若该商品的需求量与供给量均衡，求其价格．

解 s(x)?d(x)?x?3x?70?410?x?x1??24，x2?20由实际意义取x=20 7． 有一物体作直线运动，已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比，但方向相反．当物体以4m/s的速度运动时，阻力为 2 n，试建立阻力与速度之间的函数关系．

2

解 设

n?kv，k?

nv

?

24

?0.5ns/m，即 n?0.5v

8． 一架飞机起飞用油是一个固定量，着陆用油是一个(不同的)固定量，空中飞行每km用油也是一个固定量，所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的？写出有关函数的表达式．解释表达式中常数的意义．

解 设起飞用油为s1，着陆用油s2，空中飞行用油为s3，则s1，s2为常量，其中s3?kl，其中k为飞行每km用油量，l为航程，因此所需燃料总量s?s1?s2?s3?s1?s2?kl

9． 财产保险要估价财产，例如对小汽车或冰箱进行估价．财产的价值将随其使用时间的加长而降低，也就是会贬值．例如最初花 100 000 元购买的小汽车，几年后只值 50 000 元．计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”，它假定财产价值是时间的线性函数．如果一个 1 950 美元的冰箱 7 年后贬得一文不值，求出其价值作为时间函数的表达式． 解 设财产价值为v，时间为t，则此线性函数可设为v?kt?b； t?0时，v?1 950?b；t?7 时，v?7k?b?7k?1 950?0，k??250；

所以v??250t?1 950

10．(1) 利用表1-10中的数据确定一个形如

的公式．该公式给出了时刻 t (以月计)时，兔子的数量q．

(2) 该兔子种群的近似倍增期是多少?

(3) 利用你的方程预测该兔子种群何时达到1 000只．

q?q0ert

?25?q0e0?q0?25

???r0.54t

r?0.5443?qeq?25e?0?解 （1）解方程组：，所以公式为

（2）由2?e

0.54t

得到：t?1.28(月)

（3）由1000?25e

0.54t

得到：t?6.83(月)

注：求r的时候可以选取任意两组数据进行计算，也可以用其他方式进行计算，比如用各相邻两组数据的差的平均值．结果略有差异．

11． 旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过 20 kg免费，超过 20 kg部分，每kg收费 0.20 元． 超过50 kg部分再加收 50 %． 试列出收费与物品重量的函数关系式．

解 设收费为p，物重为w，则当w≤20时，p?0；

20w≤50 时，p?0.2(w?20)

w?50 时，p?0.2(w?20)?0.5(w?50)

12． 某停车场收费标准为：凡停车不超过2 h的，收费 2 元；以后每多停车 1 h(不到 1 h仍以 1 h计)增加收费 0.5 元．但停车时间最长不能超过 5 h．试建立停车费用与停车时间之间的函数关系模型．

解 设收费为p，停车时间为t，则当t≤2时，p?2；

2t≤5，p?2?(t?2)?0.5?0.5t?1

13． 设仪器由于长期磨损，使用x年后的价值是由下列模型

q(x)?q0e?0.04x

确定的．使用 20 年后，仪器的价值为 8 986.58 元．试问当初此仪器的价值为多少?

?0.04x

q(x)?qe0q0 解 由，将x?2，

(?20)

8代入得到：

8 986.58?q0e?0.04?20?q0?20 000(元)

14． 生物在稳定的理想状态下，细菌的繁殖按指数模型增长:

q(t)?aekt (表示 t min后的细菌数)

假设在一定的条件下，开始(t?0)时有 2 000 个细菌，且 20 min后已增加到 6 000 个，试问 1 h后将有多少个细菌?

q(0)?a?2 0；00q(20?)

) 解q(60?

k

2 02000?ek2 06000?e

6? 002k0?；ek032 2000?(e

3)?

2?3 000个3 54 000(

)

15． 大气压力p随着离地球表面的高度h的增加而呈指数减少：

p?p0e?1.2?10h

其中p0是海平面处的大气压力，h以m计．

(1) 珠穆朗玛峰的顶峰海拔高 8 848.13 m，那里的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数；

(2) 一架普通商用客机的最大飞行高度大约是 12 000 m． 此高度的大气压力是多少？

?4

将其表示为海平面处大气压力的百分数．

?1.2?

(1p)?pe0

?4

10?8 848.13

?0.34p50 ?834.p508 %23.p69 %0

?kt

)解 (2p?p0e

?4

?1.2?10?12 000

?0.23p60 ?9

16． 某工厂的空气经过过滤使得污染数量p(单位：mg/l)正按照方程p?p0e其中t表示时间（单位：h）．如果在前 5 h内消除了 10 % 的污染物： (1) 10 h后还剩百分之几的污染物？ (2) 污染减少 50 % 需花多少时间？

(3) 画出污染物关于时间的函数图象，在图象上表示出你的计算结果． (4) 解释污染量以这种方式减少的可能原因．

?5k

p?p0e?kt，t?5 时，有(1-10 %)p0?pe，e?5k?0.9，k?0.0210

减少，

(1) p(10)?p0e?10k?p0(e?5k)2?0.81p0?81 %p

解(2) p(t)?p0e

(3) 图像略。 (4) 略。

?kt

?50 %p0?(e?k)t?0.5?t?33(h)

17． 某有机体死亡 t 年后所剩的放射性碳-14含量q由式

q?q0e?0.000 121 t

给出，其中q0是初始量．

(1) 考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14含量的15%，估计该头盖骨的年龄． (2) 试根据此方程计算碳-14的半衰期． 解 (1) 由q?q0e

?0.000 121 t

； 15 %q0?q0e?0.000 121 t?t?15 678.7（年）

?t?5 728.94（年）

(2) 50 %q0?q0e

?0.000 121 t

18． 一幅佛m尔(vermeer)(1632—1675)的绘画含有其原有碳-14(半衰期为5 739年)含量的 99.5 %．根据这一信息，是否能判断出该画是不是赝品，请解释理由．

?0.000121t?0.000 121 t

q?qe； 99.5%q?qe?t?41.4（年）000解 由上一道题目

即这幅画只有40多年的历史，由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品．

19． 某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦曲线改变．

(1) 画出种群总量关于时间的图象．

(2) 求出种群量作为时间 t 的函数的表达式，其中 t 以月为单位计量．

解 (1)

(2)设群量为a，则

a?800?100sin(

2??x?122

20． 同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期．钚-240的衰减由公式

q?q0e?0.00011t

给出，而钚-242的衰减则由公式

q?q0e?0.0000018t

给出，求钚-240和钚-242的半衰期．

?0.000 11 t

q?50 %q?qe?t?6 301.34（年）00 解 (1) 钚-240： ?0.000 001 8 tq?50 %q?qe?t?385 082（年）00 (2) 钚-242：

21． 某一储水池中水的深度在水的平均深度 7 m上下每隔 6 h完成一次正弦振荡．如果最小深度为 5.5 m，最大深度为 8.5 m，求出水的深度表达式(单位：h)(可能的答案很多)．

解 设水的深度表达式为：h?asin(? t??)?b，由题意可知，周期t?6。从而

3，a?1.5，b?7则水深表达式为：

h?1.5sin( t??)?7

3

其中?任意。

??

22． 在一个拥有80 000人的城市里，在时刻 t 得感冒的人数为

n(t)?

其中 t 是以天为单位．试求开始感冒的人数及第 4 天感冒的人数．

10 0001?9 999e?t

解 由

n(t)?

10 0001?9 999e?t

，t?0 时，n(0)?

10 0001?9 999e0

10 0001?9 999e

?1

（人）

n(4)?

23． 将下列函数分解成基本初等函数的复合

?4

?54

（人）

2?x2

(1) y?sinx；(2) y?lntg2x；(3) z?(1?e)；(4)

2

y?ln(x??x2)．

【篇二：大学所有科目习题答案】

txt>第 2 页 共 172 页

第 3 页 共 172 页

第 4 页 共 172 页

第 5 页 共 172 页

【篇三：大学应用物理课后习题所有答案】

xt>1-9 一人自坐标原点出发，经20(s)向东走了25(m)，又用15(s)向北走了20(m),再经过10(s)向西南方向走了15(m)，求(1)全过程的位移和路程；(2)整个过程的平均速度和平均速率。

解：（1）以人为研究对象，建立如图所示的直角坐标系， 全过程的位移为：

?roc??roa??rab??rbc

?(xa?xo)i?(yb?ya)j?(xc?xb)i?(yc?yb)j ?25i?20j?15cos450i?15sin450j ?14.4i?9.4j 其大小为：

?roc?

??x?2???y?2

?

14.4?2??9.4?2?17.2?m?

??arctg全过程位移的方向为：

即方向向东偏北33.1 （2）平均速度??其大小为：?

?y9.4

?arctg?33.10 ?x14.4

图1-9

?roc

?t

?roc17.2

??0.38?m?s?1??t45

平均速度的方向沿东偏北33.1

?s25?20?15??1.33m?s?1 ?t45

1-10 一质点p沿半径r?3.00m的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为20.0s，设t＝0时，质点位于o点。按如图所示的坐标系oxy，求：(1)质点p在任意时刻的位矢；(2)5s时的速度和加速度。

平均速率 ??

??

解：如图所示，在o/x/y/坐标系中，因??参数方程为： x?rsin

/

2?

t，则质点p的 t

2?2?t,y/??rcost tt

坐标变换后，在oxy坐标系中有：x?x?rsin

/

2?2?t，y?y/?y0??rcost?r tt

则质点p的位矢方程为： r?rsin

2?2???ti???rcost?r?j tt??

1?cos?0.1?t??j?3sin?0.1?t?i?3?

5s时的速度和加速度分别为 ：

??

dr2?2?2?2?

?rcosti?rsintj?

0.3?

j dttttt

d2r2?2??2???2??a?2??r??sinti?r??costj??0.03?2i

ttdt?t??t?

22

??

1-11 已知一质点的运动方程为x?6t2?2t3(单位为si制)，求：(1)第2秒内的平均速度；(2)第3秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；(4)物体运动的类型。

解：由x?6t2?2t3 知质点在任意时刻的速度与加速度分别为：

??

dxdv

?12t?6t2；a??12?12t dtdt

_

2323

?xx2?x1(6?2?2?2)??6?1?2?1?（1）第2秒内的平均速度 ?????4?m?s?1? ?t2?11

(2)第3秒末的速度 ?

t?3s

?12t?6t2?12?3?6?32??18?m?s?1?，与运动方向相反。

(3)第一秒末的加速度 at?1s?12?12t?12?12?1?0m?s?2

（4）令??12t?6t?0，得 t?2?s?时x达到极值,从此时开始质点将改变运动方向。

2

??

令a?12?12t?0，得 t?1?s?，这是个拐点，在此时刻之前，质点作加速运动，在此时刻之后，质点作减速运动。

1-12质点的运动方程为r(t)?(9?4t?解：质点在任意时刻的速度为：??则 ?x?4?t，?y?6?t

当t=2(s)时，质点的速度大小为：

?2

121

t)i?(6t?t3)j，求当t=2(s)时，质点的速度?和加速度a。

23

dr

6?t2?j??xi??yj dt

?10.2?m?s?1?

6?t210

?arctg?78.70 方向：以?表示速度?与x轴间的夹角，则 ??arctg

4?t2

dv

??i?2tj?axi?ayj 质点在任意时刻的加速度为：a?dt

则 ax??1，ay?2t

当t=2(s)时，质点的加速度大小为：a?

?12?2t2

?4.1m?s?2

2t4?arctg?1000 ?1?1

??

方向：以?表示加速度a与x轴间的夹角，则 ??arctg1-13已知质点的运动方程为

?x??rsin? t

?

?y?r(1?cos? t)

式中r，?为常量，试问质点作什么运动？其速度和加速度为多少？ 解：由已知坐标分量式 x??rsin?t,y?r?1?cos?t? 可知为： x2?(?rsin?t)2,(y?r)2???rcos?t?

2

将上面两式相加 x2??y?r??r2，此即质点作匀速率圆周运动，

2

其速度分量式 ?x?

dxdy??rwcos?t，?y??r?sin?t dtdt

大小

???r?

方向：以?表示速度v与x轴间的夹角，则 ??arctg其加速度分量式 ax?大小 a?

r?sin?t

?arctg??tg?t?

?r?cos?t

dvydvx

?r?2sin?t，ay??r?2cos?t dtdt

22

ax?ay?r?2

r?2cos?t

?arctg?tg?t? 方向：以?表示加速度a与x轴间的夹角，则 ??arctg2

r?sin?t

1-14物体沿直线运动，其速度为??t3?3t2?2(单位为si制)。如果t=2(s)时，x=4(m)，求此时物体

的加速度以及t=3(s)时物体的位置。

解：由??t3?3t2?2可知物体在任意时刻的加速度和位移分别为：

dv

?3t2?6t ； dt

dr

??t3?3t2?2?

dta?

上式变形后再两边积分为：

?(t

2

t

3

?3t?2)dt??dr

4

2

r

r?

14

t?t3?2t?12 4

t?2s

当t=2(s)时，物体的加速度为：a当t=3(s)时物体的位置为：

?3t2?6t?3?22?6?2?24m?s?2

??

r

t?3s

?

141

t?t3?2t?12??34?33?2?3?12?41.3?m? 44

1-15已知一质点由静止出发，其加速度在x轴和y轴上分别为ax?10t，，ay?15t2（a的单位为si制）试求t=5(s)时，质点的速度和位置。

解：由ax?10t，ay?15t2可知质点在任意时刻的速度分量式和位移分量式分别为：

ax?10t?

?xtd?x2

，变形后再两边积分为：?d?x??10tdt ?x?5t

00dt

ay?15t2?

d?ydt

，变形后再两边积分为：

t?5s

?

?y

d?y??15t2dt?y?5t3

t

当t=5(s)时质点的速度为：?

??xi??yj?5t2i?5t3j?125i?625j

速度的大小：????637.4m?s方向：以?表示速度?与x轴间的夹角，则 ??arctg

?

?1

?

625

?78.70 125

xt5dx

?x?5t2?，变形后再两边积分为：?dx??5t2dt x?t3

003dt

yt5dy

?y?5t?，变形后再两边积分为：?dy??5t3dt y?t4

004dt

5354

当t=5(s)时，质点的位置为：rt?5s?xi?yj?ti?tj?208.3i?781.3j

34

3

位置的大小：r?

x2?y2?208.32?781.32?808.6m?s?1

??

781.3

?75.10 208.3

1-16路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速?0行走，试求人影顶端移动的速度?。

方向：以?表示位置与x轴间的夹角，则 ??arctg解：由于

h1h

?2 故可得：x?bb

h1b?h2?x?b?

dbd?x?b??h2 dtdt

dxdbdb?h2?h2v0?h2 ?h2 dtdtdt

两边微分：h1

hvdb变形上式可得：?20

dth1?h2

所以人影顶端移动的速度为：由 h1

图1-6

dbd?x?b??h2可得： dtdt

??

d?x?b?h1dbh1h2v0v

????h10 dth2dth2h1?h2h1?h2

1-17 一质点作半径为r=10(m)的圆周运动,其角坐标?可用??2?4t2（单位为si制）表示，试问：（1）t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当?角等于多少时，其总加速度与半径成450？

2

解（1）由于??2?4t，则角速度??

d?

?8t，在t?2s时，法向加速度和切向加速度的数值分dt

别为：an

t?2s

??2r?64?22?10?2.56?103m?s?2

t?2s?r

at

d?

?10?8?80m?s?2 dt

1 8

当总加速度与半径成450时，此时应有：a??an

2

即： r?8?64t?r t?

2

于是 ??2?4t?2?4?

2

1

?2.5?rad? 8

1-18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即??kt2(si制),式中k为常数。已知质点在第2(s)末的线速度为32(m?s?1)，试求t=0.5(s)时质点的线速度与加速度。

解 由??kt2且?r??可知： k?

?

rt2

?

32

?4rad?s?3 2

2?

2

所以 ????t??4t2

则t=0.5(s)时质点的线速度、角加速度、切向加速度和总加速度分别为：

???r?4?0.52?2?2?m?s?1?

a??

d?d??r?r?8t?2?8?0.5?8?m?s?2? dtdt

an??2r?4?0.52

??

2

?2?2m?s?2

??

2

a?a?2?an?82?22?8.25m?s?2

??

1-19 一只在星际空间飞行的火箭，当它的燃料以恒定速率燃烧时，其运动函数可表示为

1x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中u是喷出气流相对火箭体的速度，是一个常量，b是与燃烧速率成正比的

一个常量。(1)求此火箭的速度；(2)求此火箭的加速度表示式；(3)设u?3.0?103，b?7.5?10/s，并设燃料在120s内燃烧完，求t=0s和t=120s时的速度；(4)求在t=0s和t=120s时的加速度。

解（1）由x?ut?u(b?t)ln(1?bt)可知此火箭的速度为：

?3

??

dx??1??b?

?u?u??ln?1?bt????t????uln?1?bt? ?dt?b?1?bt??

d??bub

??u?? dt1?bt1?bt

(2)此火箭的加速度为： a?

(3) 火箭在t=0s和t=120s时的速度分别为：

?

t?0s

??uln?1?bt???3.0?103ln1?0?m?s?1?

t?120s

?

??uln?1?bt???3.0?103ln?1?7.5?10?3?120??6.9?103?m?s??1

(4) 火箭在t=0s和t=120s时的加速度分别为：

at?os

ub3.0?103?7.5?10?3???22.5m?s?2 1?bt1

??

at?12os

ub3.0?103?7.5?10?3?2???225m?s ?3

1?bt1?7.5?10?120

??

1-20 一质量为10kg的质点在力f?120t?40n的作用下沿x轴作直线运动。在t=0时，质点位于

x0?5.0m处，速度为?0?6.0m?s?1，求质点在任意时刻的速度和位置。

解：由牛顿第二定律得

ax?

f120t?40??12t?4(s2) m10

d?x

由ax? 得

dtdx

由?x? 得

dt

?

x

?x

6.0

d?x??axdt???12t?4?dt

tt

质点在任意时刻的速度：

?x?6t2?4t?6.0

t

t

?

5.0

dx???xdt???62t?4t?6.?0 dt

3

2

质点在任意时刻的位置： x?2t?2t?6.0t?5.0?m?

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