2.1.2 指数函数及其性质

课堂导学

三点剖析

一、指数函数的概念图象及性质

【例1】 下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域.

(1)y=56x+1; (2)y=(word/media/image3_1.png)3x;

(3)y=word/media/image4_1.png; (4)y=π-x;

(5)y=(2a-1)x(a>word/media/image5_1.png,且a≠1); (6)y=word/media/image6_1.png.

思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.

解:(1)y=56x+1=5·(56)x不是指数函数,其定义域为R,设t=6x+1,则t∈R,y=5t∈(0,+∞).

(2)y=(word/media/image5_1.png)3x=［(word/media/image5_1.png)3］x=(word/media/image7_1.png)x是指数函数,定义域为R,值域为(0,+∞).

(3)y=word/media/image8_1.png不是指数函数,要使解析式有意义,必须x≠0,定义域为{x|x≠0}.

设t=word/media/image9_1.png,则t∈(-∞,0)∪(0,+∞),y=0.7t∈(0,1)∪(1,+∞).

(4)y=π-x=(word/media/image10_1.png)x是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).

(5)y=(2a-1)x(a>word/media/image5_1.png且a≠1)是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).

(6)y=word/media/image11_1.png不是指数函数,要使函数有意义,必须1-2-x≥0,

即1-(word/media/image5_1.png)x≥0,也就是(word/media/image5_1.png)x≤1=(word/media/image5_1.png)0,得x≥0,定义域为{x|x≥0}.

令t=1-(word/media/image5_1.png)x,当x≥0时,0<(word/media/image5_1.png)x≤1,0≤1-(word/media/image5_1.png)x<1,因此t∈［0,1］,y=word/media/image12_1.png∈［0,1］.

【例2】 比较下列各组数的大小:

(1)word/media/image13_1.png-word/media/image14_1.png;

(2)π0.3,0.923.5.

思路分析:利用指数函数单调性可直接比较aα与aβ的大小.当底数不同时,往往需要插入中间值如1进行大小比较.

解:(1)由于y=0.35x在(-∞,+∞)上是减函数,又-word/media/image15_1.png>-word/media/image16_1.png,

因此,word/media/image17_1.png<word/media/image18_1.png.

(2)由于π>1,因此π0.3>π0=1,0<0.92<1,则0.923.5<0.920=1,从而有π0.3>0.923.5.

温馨提示

因为a0=b0=1,当aα、bβ比较大小时(a、b>0,且a、b≠1),往往插入中间值1,使aα、bβ能够通过与1的比较进而区别大小.

二、指数函数性质的应用

【例3】 根据所给条件,确定x的取值范围.

(1)(word/media/image19_1.png)-3x+5<2;

(2)(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1(a>word/media/image20_1.png且a≠1).

思路分析:此类题目解决的依据是指单调性.

解:(1)(word/media/image21_1.png)-3x+5<2word/media/image22_1.png(2-1)-3x+5<2word/media/image22_1.png23x-5<2.

由单调性可知3x-5<1,

即x<2.

(2)当0<2a-1<1,

即word/media/image23_1.png

(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1word/media/image22_1.pngx-5<2x-1,得x>-4;

当2a-1>1,

即a>1.

(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1word/media/image22_1.pngx-5>2x-1,得x<-4.

温馨提示

求解指数中含有未知数的不等式时，必须注意底数是大于1还是大于零且小于1，然后再利用相应指数函数单调性进行解答，可归纳为：当a＞1时，word/media/image24_1.png＞word/media/image25_1.pngword/media/image22_1.pngf（x）＞g（x）；当0＜a<1时，word/media/image26_1.png＞word/media/image27_1.pngword/media/image22_1.pngf（x）＜g（x）.

三、指数函数的单调性

【例4】 试判断函数f（x）=word/media/image28_1.png的单调性.

错解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则

f（x1）-f（x2）=word/media/image29_1.png-word/media/image30_1.png=word/media/image31_1.png.

∵x1＜x2，

∴-x1＞-x2.

∴ax1＜ax2，a-x1＞a-x2.

∴ax1-ax2＜0，a-x2-a-x1＜0.

∴f（x1）-f（x2）＜0.

∴f（x1）＜f（x2），

即f（x）=word/media/image32_1.png是增函数.

错因分析：上述解法错误的原因是忽略了指数函数的单调性，应在a＞1与0＜a＜1中分别讨论.

正解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则

f（x2）-f（x1）=word/media/image33_1.png-word/media/image34_1.png=word/media/image35_1.png.

∵x1＜x2，

∴-x1＞-x2.

当a＞1时，ax1＜ax2，a-x1＞a-x2，

∴ax2-ax1＞0，a-x1-a-x2＞0，

∴f（x2）-f（x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

此时f（x）是增函数.

当0＜a＜1时，ax1＞ax2，a-x1＜a-x2，

∴ax2-ax1＜0，a-x1-a-x2＜0，

∴f（x2）-f（x1）＜0，

即f（x2）＜f（x1）此时f（x）是减函数.

故当a＞1时，f（x）是增函数，

当0＜a＜1时，f（x）是减函数.

温馨提示

指数函数y=ax单调性与底数a有关，当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减.初学者，在解题时最容易忽视这一点，如word/media/image36_1.png＞（word/media/image3_1.png）xword/media/image22_1.pngx2-x＞x，再如，若x2-x＞x得word/media/image37_1.png＞ax.应熟练掌握如下等价式：当a＞1时，word/media/image26_1.png＞word/media/image26_1.png＝word/media/image22_1.pngf（x）g（x）当0＜a＜1时，word/media/image26_1.png＞word/media/image38_1.pngword/media/image22_1.pngf（x）＜g（x）.

各个击破

类题演练1

(1)指出下列函数哪些是指数函数：

（1）y=x4; （2）y=-4x;

（3）y=（-4）x; （4）y=xx;

（5）y=2x2; （6）y=πx.

答案：（6）是指数函数.

(2)求下列函数的定义域和值域:

(1)y=word/media/image39_1.png;

(2)y=word/media/image40_1.png;

(3)y=0.2-x+25x+1;

(4)y=word/media/image41_1.png.

解析：（1）∵-x+1≥0，∴x≤1.∴定义域为{x|x≤1}，值域［1，+∞］.

（2）∵3x-9≥0，∴x≥2，∴定义域为{x|x≥2},值域为［0，+∞］.

（3）y=（5x）2+5x+1,定义域为R，值域为（1，+∞）.

（4）y=word/media/image42_1.png,∵1-x2≥0，

∴-1≤x≤1，故定义域为［-1，1］,值域为［word/media/image43_1.png，1］.

变式提升1

求函数y=word/media/image44_1.png（a＞0且a≠1）的定义域.

解析：当a＞1时，

∵ax-1≥0,

∴x≥0,此时,函数的定义域为［0，+∞］.

当0＜a＜1时，

∵ax-1≥0即ax≥1.

∴x≤0，此时函数的定义域为（-∞，0）.

类题演练2

比较下列各组数的大小:

（1）（word/media/image45_1.png）-1.8与（word/media/image45_1.png）-2.6；

（2）word/media/image46_1.png与1；

（3）（0.8）-2与word/media/image47_1.png；

（4）word/media/image48_1.png与word/media/image49_1.png.

答案：（1）（23）-1.8＜（word/media/image45_1.png）-2.6.

（2）word/media/image46_1.png＞（word/media/image50_1.png）0=1.

（3）0.8-2＞1,word/media/image51_1.png＜1,故0.8-2＞word/media/image52_1.png.

（4）word/media/image48_1.png=（word/media/image53_1.png+1）-1=word/media/image53_1.png-1＜word/media/image54_1.png,故word/media/image48_1.png＜word/media/image55_1.png.

变式提升2

a∈（1，+∞）时，aα＞aβ，则α、β间的大小关系是（ ）

A.|α|＞|β| B.α＞β C.α≥0≥β D.β>0>α

解析：∵由于a∈（1，+∞），

∴y=ax为增函数.∵aα>aβ，

∴α>β.故选B.

答案：B

类题演练3

设23-2x＜word/media/image56_1.png，则x的取值范围是__________________________.

解析：原不等式word/media/image22_1.png（0.5）2x-3＜word/media/image57_1.pngword/media/image22_1.png2x-3＞3x2-4word/media/image22_1.png-word/media/image58_1.png＜x＜1.

答案：（-word/media/image59_1.png，1）

变式提升3

已知函数f（x）=πx,x1x2＞0，试比较word/media/image60_1.png与f（word/media/image61_1.png）的大小.

解析:∵f（x）=πx，

∴f（x1）=πx1，f（x2）=πx2，

∴word/media/image60_1.png=word/media/image62_1.png，f（word/media/image63_1.png）=word/media/image64_1.png.

又∵x1x2＞0，∴x1与x2同号.

当x1＞0，x2＞0时，word/media/image65_1.png-word/media/image66_1.png=word/media/image67_1.png（word/media/image68_1.png-word/media/image69_1.png）2≥0，又π＞1，

∴word/media/image70_1.png≥word/media/image71_1.png，

即有word/media/image72_1.png≥f（word/media/image73_1.png）.

当x1＜0，x2＜0时，word/media/image74_1.png-word/media/image75_1.png=-word/media/image76_1.png［-x1+2word/media/image77_1.png-x2］

=-word/media/image78_1.png·（word/media/image79_1.png+word/media/image80_1.png）2＜0，

∴word/media/image81_1.png＜word/media/image82_1.png,

即有word/media/image83_1.png＜f（word/media/image84_1.png）.

类题演练4

判断y=word/media/image85_1.png（a＞0，且a≠1）在［word/media/image86_1.png，+∞］上的单调性.

答案：用函数单调性定义可证得：当a＞1时，原函数在［word/media/image86_1.png，+∞］上单调递减；

当0＜a＜1时，原函数在［word/media/image86_1.png，+∞）上单调递增.

变式提升4

求函数y=word/media/image85_1.png（a＞0，a≠1）的单调区间.

解析：设μ=-x2+3x+2=-（x-word/media/image86_1.png）2+word/media/image87_1.png，∴y=aμ.

当x∈(-∞,word/media/image86_1.png)，时，μ（x）是增函数；

当x∈［word/media/image86_1.png，+∞］时，μ（x）是减函数；

故当a＞1时，y（μ）是增函数，那么在区间（-∞,word/media/image86_1.png）上，函数y=word/media/image85_1.png递增；

当0＜a＜1时，y（μ）是减函数，

∴当0＜a＜1时，函数y=word/media/image85_1.png在区间［word/media/image86_1.png，+∞］上递增.

∴当a＞1时，增区间为(-∞,word/media/image86_1.png)；

当0＜a＜1时，增区间为［word/media/image86_1.png，+∞］.

同理可知：当a＞1时，y=word/media/image85_1.png的减区间为［word/media/image86_1.png,+∞］；

当0时，y=word/media/image85_1.png的减区间为（-∞,word/media/image86_1.png］.

温馨提示

本题利用复合函数的单调性.即对于y=f［g（x）］，如果y=f（μ）与μ=g（x）的增减性相同，则为增函数，若y=f（μ）与μ=g（x）的增减性相反，则为减函数，即“同增”“异减”.

新编人教A版数学必修1学案：2.1.2指数函数及其性质课堂导学案（含答案）