课题：直线的倾斜角和斜率

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学 第3章第1节

一、教学目标：

1、知识与能力：

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念.

(2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角.

(3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系.

2、过程与方法：

(1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系.

(2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想.

(3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路.

3、情感态度与价值观：

1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观.

2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.

二、教学重点：

直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用.

三、教学难点：

倾斜角概念的形成，斜率公式的推导

四、教学方法与手段：

计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.

【教学过程】

一、知识导入

在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中，

问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗?

预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么，

问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢?

短暂思考和讨论后，学生可以回答

预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同.

那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？

〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用.

二、知识探索

(一)直线倾的斜角

1．定义：直线L与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线L向上的方向之间所成的角叫做直线L的倾斜角.

教师指出：对于定义的理解，我们强调的是x轴正向与直线L向上的方向所成的角.为了帮助学生加深理解，此时，可以借助几何画板来直观呈现.如下图所示：

教师在演示的过程中再次向学生强调：从x轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角就是直线L的倾斜角.

〖设计意图〗学生开始对倾斜角概念还有些模糊，再此数形结合，向学生动态、直观的展示给定直线倾斜角的形成过程，加深学生对概念的理解.

【快速练习一】

1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

A B C D

2．请标出下列直线L的倾斜角.

〖设计意图〗该题组的设计均为加深学生对倾斜角概念的理解.第一题比较简单，通过PPT展示出来后，让学生集体回答即可.第二题稍难一些，在实际授课时，教师将四个图形画到黑板上，请一个同学到黑板上来画.这个题目看起来简单，而实际上，题目中设置了一些问题，图（4）情况的倾斜角学生找一会儿，可就是找不到的！这样就给学生的制造了一定的认知冲突，激发了学生学习探究的兴趣，同时加深了学生对图（4）这种特殊情况下倾斜角的记忆.

教师一边巡查一边指导.待学生完成后指出，图（1）的倾斜角是锐角，图（2）是钝角，图（3）是直角.那图（4）呢？

问题：为什么图（4）的倾斜角我们没能标出来呢？那么它到底应该是多少呢？

学生可能难以回答.此时让学生再看到倾斜角的定义，然后学生可以发现：

预案：定义中的倾斜角是要求直线L与x轴相交的，而图（4）中的直线L却是与x轴平行的.

教师指出：因此，对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出.所以，我们对于此类直线，也就是当直线L与x轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为00.

所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线L倾斜角的范围为：00≤＜1800.

〖设计意图〗至此，直线倾斜角的定义从引入到解读基本完成.由易到难，由旧到新，符合学生的认知过程.学生很自然的完成了知识的过渡，并通过动态演示、认知冲突加深了对倾斜角这个概念的理解，让学生明白了“直线的倾斜角通俗的讲就是直线对x轴正方向的倾斜程度.”为了更加深直线和倾斜角之间的关系，我们继续提问：

问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？

预案：有且只有一个.

问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？

预案：无数条.它们都是互相平行的.如右图.

所以仅有倾斜角是不能确定直线的！

问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？

预案：再加一个点.即一个点P和倾斜角可以唯一确定一条直线.

〖设计意图〗每提出一个问题，让学生自己先行思考，或是合作讨论，老师再加以点评.以加深对直线倾斜角的理解，明晰直线和倾斜角之间的关系.

（二）直线的斜率

问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量呢？

学生可能难以回答此问题.老师可以慢慢引导.

在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）.其实坡度的实际就是倾斜角的正切.用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度.

1．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母 k 表示，即.

【快速练习二】

已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率.

（1） （2） （3） （4）

〖设计意图〗学生对于初中学过的特殊角的三角函数值已经有些陌生，在此既复习特殊角的三角函数值，又熟悉直线斜率的求法.对于（4）要告诉同学们公式（是锐角）.同时，根据题目可以总结出一些结论，承上启下.

教师：从上面的运算或是正切的计算可以得到：（设直线的倾斜角为）

① ②

③ ④

我们也可以通过几何画板来直观演示斜率的正负和倾斜角的关系，请大家看屏幕.(略)

问题：任何一条直线都有斜率吗？

预案：倾斜角为900的直线没有斜率.

教师：所以，我们要知道，所有的直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率的.

〖设计意图〗加深对倾斜角和斜率之间的关系的理解.

2．过两点的直线斜率的公式

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了.我们知道，如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义求出直线的斜率.我们也知道，两点确定一条直线，也就是给定直线上两点坐标，直线就确定了，倾斜角也就确定了，那么怎么求出该直线的斜率呢？也就是：

问题：已知直线L上两个点的坐标，，如何求直线L的斜率呢？

对于这个问题，学生一下难以回答.教师可以先给出一个图形（图一），一定要让学生结合图形思考，先让学生提出思路，教师启发引导，最后共同完成公式的推导（图二）,得出.

图一 图二 图三

教师：我们知道倾斜角还有可以是钝角，那么当为钝角时，公式还成立吗？

在此老师要适当引导学生，得出(如图三)，再利用诱导公式钝角的情况转化为锐角来求解.具体过程由同学们自己推导.让一个学生到黑板上推导.

〖设计意图〗整个斜率的推导过程体现了数形结合和分类讨论的思想，教学中一定要向学生不断渗透这些数学思想.师生共同完成了倾斜角为锐角的推导过程，而倾斜角为钝角的推导则通过教师引导，由学生自己完成，让学生真正体会到知识的形成过程，并利用这一过程将外在的知识点内化成自身知识体系的一部分，完成知识飞跃，完善知识结构.

问题：当=00时，公式还成立吗？

预案：当=00时，直线与x轴平行或重合..，此时，所以当=00时公式依然成立.

问题：与P1，P2在直线上的顺序有关吗？

让学生思考，讨论.学生开始会觉得与顺序有关，但是后来有觉得应该是没有关系的，但说不出具体的利用.此时教师结合几何画板，再结合图象，拖动点P1，P2的位置，让学生直观发现直线L的斜率并没有因P1，P2位置的改变而改变.详细推导过程留给学生课外完成.

预案:无关.即和在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子、分母不能交换.

问题：从几何角度怎样理解公式中要求呢？

预案：当，直线垂直x轴，倾斜角为900，此时斜率不存在.所以一定要注意公式适用的范围.

〖设计意图〗通过问题引导，层层推进，分解公式难点，挖掘公式中的隐含知识点.同时结合几何画板，加深对公式的理解.留下一定的思考题，将课堂内容延伸到课外，培养学生合作探究的能力和习惯.

教师：到现在为止，我们用代数的方法刻画出了直线的斜率公式.我们也有两种方式来求直线的斜率了.一是利用倾斜角，二是利用直线上两点的坐标.而且我们还可以先利用直线上两点的坐标算出斜率，进而求得直线的倾斜角.

三、知识应用

例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）

（2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （ ）

（3）平行于x轴的直线的倾斜角是00或1800 （ ）

（4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 （ ）

〖设计意图〗斜率与倾斜角概念的辨析题，巩固对斜率与倾斜角的理解.

例2：已知A(3,2)，B(-4,1)，C(0,1)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

〖设计意图〗斜率公式的直接应用和斜率的正负与倾斜角之间的关系.

练习：

1．求经过点A(2，-1)和点B(a，-2)的直线L的斜率，并讨论a为何值时，直线L的倾斜角是锐角、钝角、直角？

〖设计意图〗例2知识点的延伸，同时隐含了分类讨论的思想.

2．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值.

〖设计意图〗加深对斜率公式的理解，让学生明白斜率的求得与直线上的点的选择无关.同时此题也是用斜率研究三点共线问题，为后面的学习做铺垫.

〖题组设计意图〗整个练习的设计围绕斜率和倾斜角展开，由浅入深.同时注意了知识的承上启下和数学思想的渗透.

四、知识小结

1、直线的倾斜角定义及其范围：00≤＜1800

2、倾斜角和斜率k之间的关系：

① ②

③ ④

3、直线斜率的两种求法：

①若已知倾斜角时，

②若知直线过两点且，

五、板书设计

教案说明

全课以化归思想为主线，达到化未知为已知，化难为易，化几何问题为代数问题的目的.通过利用多媒体课件辅助教学，帮助学生变抽象为具体，破解教学难点.

本节课在教法上力求通过设置问题，层层递进，揭示知识的形成发展过程，讲清知识的来龙去脉，突出知识的本质特征，整节课突出“问题解决”.从而使学生对所学的知识理解得更加深刻.

（一）设置层层疑问，促进学生探究

在教学过程中按照“教、学、研同步协调原则”，充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位.借助提问，给学生营造一个思考情境，促进学生探究，给每个学生提供思考、创造、表现及获得成功的机会，使学生在民主开放、和谐愉悦的教学氛围中获取新知识，提高能力，发展自我.

（二）引导学生反思,渗透数学思想.

数学思想方法是数学问题的灵魂.解析几何是用代数方法研究几何问题，坐标法思想则是解析几何的核心思想.本节课注重了启发学生思维，引导学生反思思维过程，注重了数学思想方法的渗透.在贯穿坐标法思想的同时渗透了数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想等.

（三）灵活应用多媒体，突破教学难点

多媒体的灵活运用，很好的帮助学生突破了难点.倾斜角概念的形成、斜率公式的得到以及倾斜角和斜率之间的关系等，都是本节课知识的难点.借助几何画板，直观、动态演示了形成过程和变化趋势，很好的帮助学生解决了难点，内化了知识.

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案-直线的倾斜角与斜率教案