第二十一章 21.2.2公式法

知识点1：一元二次方程根的判别式及根的情况判别 

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来确定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.

一般地,方程ax2+bx+c=0(a≠0).

当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;

当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;

当Δ<0时,方程没有实数根.

反过来,有

当方程有两个不相等的实数根时,Δ>0;

当方程有两个相等的实数根时,Δ=0;

当方程没有实数根时,Δ<0.

归纳整理:一元二次方程根的判别式的应用:①不解方程判别根的情况;②根据方程解的情况确定系数的取值范围.

知识点2：用公式法解一元二次方程

一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式:

x1,2= (b2-4ac≥0)

可以利用一元二次方程的求根公式,由一元二次方程中系数a,b,c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法. 也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的.

方法:公式法解一元二次方程的一般步骤:

适用范围:求根公式只适用于解一元二次方程,只有确定方程是一元二次方程后,才能应用公式求方程的解.

考点1：利用判别式判断一元二次方程的根的情况

【例1】 不解方程,判断下列方程的根的情况:

(1)2x2+3x=4;(2)ax2+bx=0(a≠0).

解:(1)2x2+3x-4=0,

a=2,b=3,c=-4,

∵　Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0,

∴　方程有两个不相等的实数根.

(2)∵　a≠0,

∴　方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零.

∵　Δ=(-b)2-4·a·0=b2,

∵　无论b取任何实数,b2均为非负数,

∴　Δ≥0.

故方程有两个实数根.

点拨:将方程化为一般形式,确定a,b,c的值,计算b2-4ac并与0进行比较.

考点2：利用判别式解决问题

【例2】 已知关于x的方程(m+2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.

解:由题意得Δ=22-4(m+2)·(-1)>0,

解得m>-3.

又方程有两个不相等的实数根,则方程必为一元二次方程,

即m+2≠0,解得m≠-2.

综上,m的取值范围是m>-3且m≠-2.

点拨:方程有两个不相等的实数根,说明方程必为一元二次方程,即Δ>0,同时还要注意二次项系数不为零这个条件.

考点3：利用求根公式解一元二次方程

【例3】 用公式法解下列方程:

(1)x2+5x-6=0;　          (2)4x2-3x-1=x-2;

(3)x2-6x+5=0;　          (4)x2-6x+1=0.

解:(1)∵　a=1,b=5,c=-6,

∴　Δ=b2-4ac=52-4×1×(-6)=49>0.

∴　x=.∴　x1=1,x2=-6.

(2)原方程可化为4x2-4x+1=0.

∵　a=4,b=-4,c=1,∴　Δ=b2-4ac=0.

∴　x=.∴　x1=x2=.

(3)∵　a=1,b=-6,c=5,

∴　Δ=b2-4ac=16.∴　x=.∴　x1=5,x2=1.

(4)∵　a=1,b=-6,c=1,∴　Δ=b2-4ac=32.

∴　x=.∴　x1=3+2,x2=3-2.

点拨:运用公式法解一元二次方程应先把一元二次方程化为一般形式,确定a,b,c的值,再计算出b2-4ac的值,确定方程是否有实数解,若有,则代入公式求解.

九年级数学上册 第二十一章 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法备课资料教案（新版）新人