江苏省南通市中考数学试卷真题解析版-

发布时间：

南通市2018年初中毕业、升学考试试卷
数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置。
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） ．．．．．．．1． 6的相反数是
A．－6

B．6


C．－

16 D．
162． 计算x2·x3结果是
A．2x5


B．x5 C．x6 D．x8
3． 若代数式x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x＜1


B．x≤1


C．x＞1


D．x≥1
4． 2017年国内生产总量达到827 000亿元，稳居世界第二，将数827 000用科学记数法表示为

A．82.7×104

B．8.27×105

C．0.827×106


D．8.27×106
5． 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是

A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 6． 如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1，0，1，2．则表示数2－5的点P应落在 A．线段AB上

B．线段BO上

C．线段OC上 D．线段CD上
A B O C D -2
-1
0
1
2
3
7． 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A．4


B．5


C．6


D．7 8． 一个圆锥的主视图是边长为4 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于

A．16π cm2 B．12π cm2 C．8π cm2 D．4π cm2
9． 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图．

步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F； 步骤3：连接DE，DF．
若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为 A．
5312 B．

32 C．2 D．

4310. 如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为 y 12 6 y y 12 6 y 43O
5 x O
5 x O
5 x O
5 x
A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） ．．．．．．．11．计算3a2b－a2b＝__________．
12．某校学生来自甲，乙，丙三个地区，其人数比为2∶7∶3，绘制成如图所示的扇形统计图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为________度．
13．一个等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则它的周长为_________cm． 14．如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝________度．

15．古代名着《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马平均每天能跑240里，跑得慢的马平均每天能跑150里．如果慢马先行12天，快马多少天能够追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为___________________． 16．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD，若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是_________（填序号）．
17．若关于x的一元二次方程x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－22－2m(m－1的值为____________．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t，0，B(0，－2t，C(2t，4t三点，其中t＞0，t2函数y＝的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q，若S△PAB－S△PQB＝t，则t的值x12为___________．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，
．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分10分）
计算（1）(－22－3641＋(－30－(-2；（2）3a29a3． 2aa6a920．（本小题满分8分） 解方程x2x1 x13x321．（本小题满分8分）

一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号1，2，3．随机摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率． 22．（本小题满分8分）

如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520 m，∠D＝30°，那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上．（3取1.732，结果取整数） 23．（本小题满分9分）
某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况，对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下： 收集数据

17 18 16 13 24 15 28 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 14 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16
19 对这30个数据按组距3进行分组，并整理，描述和分析如下：
频数分布表
组别 销售额 频数
一 13≤x＜16 7 二 16≤x＜19 9 三 19≤x＜22 3 四 22≤x＜25 a
数据分布表
平均数
20.3 请根据以上信息解答下列问题．
（1）填空：a＝__________，b＝__________，c＝__________．
众数 c
中位数
18 五 25≤x＜28 2 六 28≤x＜31 b
七 31≤x＜34 2
（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有_______位营业员获得奖励． （3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？请说明理由．
24．（本小题满分8分）
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F． （1）求证：EF＝BF．
（2）若DC＝4，DE＝2，求直径AB的长． 25．（本小题满分9分）

小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：
购买数量（件）
次数
A
第一次 第二次


2 1 B 1 3 55 65 购买总费用（元）
根据以上信息解答下列问题 （1）求A，B两种商品的单价；
（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
26．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2(k－1x＋k2－k（k为常数）． （1）若抛物线经过点(1，k2，求k的值．
52


（2）若抛物线经过点(2k，y1和点(2，y2，且y1＞y2，求k的取值范围． （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－，求k的值．
3227．（本小题满分13分）
如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE＝CF．
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长． （3）求线段OF长的最小值．
28．（本小题满分13分）

【定义】
如图1，AB为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

【运用】
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，3，B(－2，－3两点． （1）C(4，321，D(4，，E(4，三点中，点______是点A，B关于直线x＝4222的等角点．

（2）若直线l垂直于x轴，点P(m，n是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB＝α，求证：tan
n＝． 22（3）若点P是点A，B关于直线y＝ax＋b（a≠0）（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB＝60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．

y
Aly
· A
· A
x
· B

BPA′O · B
O x
图1 图2 备用图
2018年江苏省南通市中考数学试卷
试卷满分：150分 教材版本：人教版
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．答案：A，解析：只有符号不同的两个数是相反数，所以6的相反数是－6，A项正确．
2．答案：B，解析：同底数幂相乘，应该底数不变，指数相加，∴x2·x3＝x5，B项正确． 3．答案：D，解析：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，∴x－1≥0，∴x≥1，D项正确．
4．答案：B，解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．①确定a：a是只有一位整数的数，即1≤a≤10；②确定n：当原数≥10时，n等于原数的整数位数减去1，或等于原数变为a时，小数点移动的位数．∴827 000＝8.27×105，故选择B．
5．答案：A，解析：根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形必须满足两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若满足，则说明能组成直角三角形；反之则不成立．∵32＋42＝52，∴长为3，4，5三条线段能组成直角三角形．故选择A．

6．答案：B，解析：∵2＜5＜3，∴－1＜2－5＜0，∴P应落在线段BO上，故选择B．
7．答案：C，解析：设这个多边形的边数n，由多边形的内角和公式，(n－2·180°＝720°，∴n＝6，故选择C．
8．答案：C，解析：因为圆锥的主视图是边长为4 cm的正三角形，所以圆锥地面圆的直径和圆锥的母线长均为4 cm，可得圆锥侧面展开图的弧长为4π，圆锥的侧面积为S＝lR＝×4π×4＝8π．故选择C . 9．答案：D，解析：由∠ACB＝90°，CD平分∠ACB可知，∠ACD＝∠DCB＝45°，由作图可知EF垂直平分CD，∴CE＝DE，CF＝DF．∴∠ACD＝∠EDC＝45°，∠BCD＝∠FDC＝45°．∴∠DEC＝∠CFD＝90°＝∠ACB，∴四边形ECFD是矩形．又CE＝DE，∴四边形ECFD是正方形．∴DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴4xx4，则DE＝x＝，故选择C． 423AEDE，设DE＝x，则ACBC121210. 答案：D，解析：设BF，EC交于点G．∵将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，∴CE垂直平分BF，BF＝BE．又∵AE＝BE，∴AE＝BE＝BF．∴点F在以AB为直径的圆上．∴∠AFB＝90°＝∠EGB．∴EG∥AF．∴∠FAB＝∠GEB．∵矩形ABCD中，CD∥AB，∴∠DCE＝∠GEB＝∠FAB．，∵tan∠DCE＝，∴tan∠FAB＝3543BF4＝．设AF345AF＝3a，BF＝4a，则AB＝AF2BF2＝5a．又AB＝x，∴AF＝x，BF＝x．∴y＝·(x·(x＝x2（x＞0）．当x＝5时，y＝6．故选择D． 二、填空（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．答案：2a2b，解析：根据合并同类项时“字母部分不变，系数相加减”，可得3a2b－a2b＝(3－1a2b＝2a2b．
12．答案：60，解析：甲地区所在扇形的圆心角度数：360°×2＝60°．
2+7+31235456513．答案：22，解析：已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，分两种情况讨论是否能组成三角形，需要检验两条较短边之和是否大于最长边：①若等腰三角形三
边长为4 cm ，4 cm，9 cm，∵4＋4＝8＜9，不能构成三角形，舍去；②若等腰三角形三边长为4 cm ，9cm，9 cm，∵4＋9＝13＞9，能构成三角形，此时周长为：4＋9＋9＝22（cm）．
14．答案：130，解析：∵∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠POB＝20°．∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°，∴∠DCP＝∠ODC＋∠AOP ＝110°．∵CE∥OB，∠ PCE＝∠POB＝20°．∴∠DCE＝∠DCP＋∠PCE＝130°．
15．答案：240x－150x＝150×12，解析：设快马x天可以追上慢马，根据“快马x天所跑的路程－慢马x天所跑的路程＝慢马先行的路程”可得， 240x－150x＝150×12．
16．答案：②，解析：∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，∴∠DAC＝∠BAC，∠DCAC＝∠BCA．∵AE∥CD，CE∥AD，∴四边形ADCE为平行四边形．要使四边形ADCE为菱形，则需要条件AD＝CD，∴需要条件∠DAC＝∠DCA．又∠DAC＝∠BAC，∠DCAC＝∠BCA．∴需要条件∠BAC＝∠BCA．∴需要条件②AB＝BC．
72121212121217．答案：，解析：∵关于x的一元二次方程x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，∴△＝0．∴(－2m 2－4×(－4m＋1＝0．∴4m2＋8m－2＝0．m2＋2m＝117．∴(m－22－2m(m－1＝－m2－2m＋4＝－＋4＝． 22212t2118．答案：4，解析：由题意画出示意图，设PA，BQ交于点F．当x＝2t时，y＝＝t，x211∴Q(2t，t．又∵A(2t，0，∴AQ＝t．设BC解析式为：y＝kx＋b．∵B(0，－222t，C(2t，4t，∴b2t,k3,∴ ∴BC解析式为：y＝3x－2t．解方程组2ktb4t．b2t．tt2x1t,x1,y,，得，3（舍去）．∴P(t，t ．∵S△PAB－S△PQB＝t，∴S△PFQxyt1y3x2ty13t
－S△BFA＝t．∴S△PAQ－S△BAQ＝t．∴AQ×xp＝t.∴×t×t＝t．t1＝0（舍去），t２＝4．∴t的值为4．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19．（2018·南通市，19（1），10）思路分析：先依次计算出(－22＝4，364＝4，(－30＝1， (-2＝9，在按照顺序计算． 解析：原式＝4－4＋1－9＝－8．
19．（2018·南通市，19（2），10）思路分析：分式相除时，将除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘，注意结果要化到最简．解析：原式＝(a3(a333· ＝．

(a32a3a31312121220．（2018·南通市，20，8） 思路分析：解分式方程的基本思想是“转化思想”，通过去分母，把分式方程转化为整式方程求解．另外，解分式方程一定要验根．
解析：方程两边乘3(x＋1，得3x＝2x＋3(x＋1．解得x＝．检验：当x＝时，3(x＋1≠0．

所以，原分式方程的解为x＝． 21．（2018·南通市，21，8）
思路分析：先用枚举法、列表法或树状图法表示出所有可能出现的结果，然后找出两次取出的小球标号相同的结果数目，最后用概率公式求出概率． 解析：根据题意画出如下树状图：
第一次
第二1 1 2 3 1 2 2 3 1 3 2 3
323232从树状图可以看出，可能出现的结果共有9种，并且它们出现的可能性相等，其中两次取出的小球标号相同的的结果共有3种． 所以P(两次取出的小球标号相同＝＝．
3913
22．（2018·南通市，22，8）思路分析：由∠ABD＝120°，∠D＝30°，A，C，E三点在一直线上可得∠E＝90°，在Rt△BDE中，利用∠D的余弦可以求出DE的长．
解析：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠E＝90°．
∵在Rt△BDE中，cosD＝DE．∴DE＝BD·cosD．BD
∴DE＝BD·cos30°＝520×3＝2603≈260×1.732≈450（m）．
2答：DE长约为450m时正好使A，C，E三点在一直线上．
23．（2018·南通市，23，9）思路分析：（1）由收集到的数据可统计出销售额在22≤x＜25的数据有：24，22，23，共3个，∴a＝3；由收集到的数据可统计出销售额在28≤x＜31的数据有：28，30，28，28，共4个，∴b＝4；由收集到的数据可以知道15出现的次数最多，所以众数c＝15；
（2）由频数分布表可知，不低于25的数据共8个，∴若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有8位营业员获得奖励；
（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，可以将中位数作为销售目标．
解析：（1）3，4，15； （2）8；

（3）月销售额定为18万元比较合适．
理由：有统计到的数据可以知道，月销售额在18万元（含18万元）的有16人，约占总人数的一半，可以估计，如果月销售额定为18万元，约有一半左右的营业员能达到销售目标．
24．（2018·南通市，24，8）
思路分析：（1）由已知条件容易证出四边形CDEF是矩形，从而证出OC⊥BE，再根据垂径定理可以得出EF＝BF．
（2）在Rt△OBF中，可以根据勾股定理列出关于半径的方程，求出⊙O半径后可以得出直径AB的长．
解析：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．∴∠DEF＝90°．
∵DC与⊙O相切于点C，∴∠DCO＝90°．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°＝∠DEF＝∠DCO．

∴四边形CDEF是矩形．∴∠EFC＝90°．∴OC⊥BE．∴EF＝BF．
（2）∵四边形CDEF是矩形．∴EF＝CD＝4，CF＝DE＝2 ．由（1），EF＝BF．∴BF＝4．
设⊙O的半径为r，则OB＝r，OF＝r－2．
在Rt△OBF中，根据勾股定理可得，OF2＋BF2＝OB2． ∴(r－22＋42＝r2．r＝5．∴AB＝10． 25．（2018·南通市，25，9）
思路分析：（1）根据表格中的信息可以知道，购买2件A的费用＋购买1件B的费用＝55元，购买1件A的费用＋购买3件B的费用＝55元，根据这两个等量关系可以列二元一次方程组解决；
（2）要解决购买商品的最省钱的购买方案，可考虑利用函数的增减性求总费用的最小值．在求函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
解析：（1）设A，B两种商品的单价分别为x元/件，y元/件． 根据题意，得3xy55,x20,解得
x3y65.y15. 答：A，B两种商品的单价分别为20元/件，15元/件．
（2）设第三次购买A种商品m件，购买商品的总费用W元；则购买B种商品(12－m件．
W＝20m＋15(12－m＝5m＋180. 又由题意ｘ≥2(12－m，∴ｍ≥８. ∵W随m的增大而增大，∴当m＝8时，W有最小值，此时12－m＝4． ∴最省钱的购买方案是购买A种商品8件，B种商品4件． 26．（2018·南通市，26，10）
思路分析：（1）根据抛物线y＝x2－2(k－1x＋k2－k（k为常数）经过点(1，k2，可以将点(1，k2的坐标代入抛物线的解析式，得到关于k的方程，从而求出k； （2）根据抛物线经过点(2k，y1和点(2，y2，可以代入抛物线解析式得到y1，y2关于k的表达式，在根据y1＞y2列出关于k的不等式，从而求出k的取值范围；
52
（3）先利用顶点坐标的变化求出平移后的抛物线的解析式，再根据对称轴的位置，结合二次函数的增减性，分三种情况进行分类讨论．
解析：（1）∵抛物线y＝x2－2(k－1x＋k2－k（k为常数）经过点(1，k2，
∴1－2(k－1＋k2－k＝k2．解得k＝． （2）∵抛物线经过点(2k，y1和点(2，y2，
∴y1＝(2k2－4k (k－1＋k2－k＝k2＋k，y2＝4－4(k－1＋k2－k＝k2－又∵y1＞y2，∴k2＋k＞k2－3213k＋8，∴k＞1．
2521252522352325213k＋8；
2（3）∵抛物线y＝x2－2(k－1x＋k2－k＝(x－k＋1 2－k－1，
∴平移后的解析式为y＝(x－k 2－k－1．∴该抛物线的对称轴为直线x＝k． ①若k＜1，则当x＝1时，y有最小值－．∴(1－k 2－k－1＝－，解得ｋ1＝1，32123212ｋ2＝3．
2∵k＜1，∴ｋ1＝1，ｋ2＝都不符合题意，舍去．
②若1≤k≤2，则当x＝k时，y有最小值－．∴－k－1＝－，解得ｋ＝1． ③若k＞2，则当x＝2时，y有最小值－．∴(2－k 2－k－1＝－，解得ｋ1＝3，32123232123232ｋ2＝3．
2∵k＞1，∴ｋ＝3． 综上，k的值为1或3 ． 27．（2018·南通市，27，13）
思路分析：（1）可以通过证明△ADE≌△CDF得到AE＝CF．

（2）过点F作BC的垂线，通过构造相似三角形求出有关线段的长度，再用勾股定理求出OF的长；
（3）由题意，点O为定点，点F为动点，要求线段OF长的最小值，就需要弄清点F的运动规律．当点E绕着O旋转时，点F也随之运动，因为将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，所以类似的将点O也绕点D逆时针旋转90°，得到点O的对应点I，然后再通过OF，OI，FI的位置发现OF≥OI－FI，从而求出线段OF长的最小值．
解析：（1）∵正方形ABCD．∴OC＝OA，∠ADC＝90°．
∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，∴DE＝DF，∠EAF＝90°．∴∠ADE＝∠CDF． ∴△ADE≌△CDF．∴AE＝CF．
（2）如图，作FH⊥BC，交BC的延长线于点H．
A
D
E B
O
C
F H

∵正方形ABCD．∴∠B＝90°，BC＝AB＝25．又∵O是BC边的中点，∴OC＝OB＝5． ∵A，E，O三点共线，∴点E在线段BC上．
在Rt△ABO中，OA＝AB2BO2＝5．又∵OE＝2，∴CF＝AE＝3．
∵△ADE≌△CDF．∴∠DAE＝∠DCF．又∵∠DAB＝∠DCH＝90°，∴∠BAO＝∠HCF． 又∵∠H＝∠B＝90°．∴△BAO∽△HCF．∴∴FH＝36115，CH＝5．∴OH＝5． 5552555ABBOAO．∴． CHHF3CHHFCF∴OF＝OH2FH2＝26．

（3）如图，连接OD，将△ODE绕点D逆时针旋转90°得到△IDF，连接OI，OF．
A
D
I
E B
O
C
F

在Rt△OCD中，OD＝OC2CD2＝5．在Rt△ODI中，OI＝OD2DI2＝52． ∵OF≥OI－FI，又∵FI＝OE＝2．∴OF≤52－2． ∴线段OF长的最小值为52－2． 28．（2018·南通市，28，13）

思路分析：（1）根据“等角点”的定义，过点A作直线x＝4的对称点A′，连接A′B交直线x＝4于点P，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”，根据点A′，B的坐标求出直线A′B解析式，进而求出“等角点”的坐标；
（2）方法①：类比（1），根据“等角点”的定义，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”，根据点A′，B的坐标求出直线A′B解析式，进而求出直线A′B与x轴的交点坐标；由对称性和两直线平行可以得到直线A′B与x轴所夹锐角等于；然后用正切函数的定义得出结论．
2方法②：易证直线A′B与x轴的交点为A′B的中点，求出直线A′B与x轴的交点坐标，再由对称性和两直线平行可以得到直线A′B与x轴所夹锐角等于定义得出结论．
（3）由题意可知，点P在以AB为弦，所对的圆心角为60°，且圆心在AB下方的圆上，直线y＝ax＋b（a≠0）经过该圆上的一个定点，求出该点坐标后，进而找到直线y＝ax＋b（a≠0）的临界位置，求出b的取值范围．
；然后用正切函数的2
解析：（1）如下图，过点A作直线x＝4的对称点A′，连接A′B交直线x＝4于点P，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
y
· A
P
O · B

∵A(2，3，∴A′(6，3．设直线A′B解析式为：y＝kx＋b，又∵B(－2，－3，∴3k,3336kb3,4解得∴直线A′B解析式为：y＝x．当x＝4时，y＝．∴422b3.2kb3.2A′ x
点C(4，3是点A，B关于直线x＝4的等角点．
2（2）方法①：如下图，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，交x轴于点Q，连接AP，设直线l交A A′于点G，交x轴于点H．
y
A
·G P H
A′ M x
N
O · B
Q

∵A′与点A关于直线x＝m对称，∴A′P＝AP．∴∠A＝∠A′＝A′QH＝∠A′＝． 2．又∵A A′∥x轴，∴∠2
∵点P(m，n，∴H（m，0），PH＝n．∵A(2，3，A′与点A关于直线x＝m对称，∴A′(2m－2，3．
k(2m2b3,设直线A′B解析式为：y＝kx＋b，又∵B(－2，－3，∴解得2kb3.3,k323323m∴直线A′B解析式为：y＝x 3．当y＝0时，x 3＝mmmmb323.m0．解得x＝m－2．∴Q(m－2，0．又∵H（m，0）∴QH＝2．又∵PH＝n． ∴在Rt△PQH中，tan∠A′QH ＝tanPHn＝＝． QH22方法②：如上图，易证△NBQ≌△MAQ，∴Q为A′B的中点．∵A′(2m－2，3，B(－2，－3，∴∴Q(m－2，0．又∵H（m，0）∴QH＝2．又∵PH＝n． ∴在Rt△PQH中，tan∠A′QH ＝tanPHn＝＝． QH22（3）如图，当且点P位于直线AB的右下方，∠APB＝60°时，点P在以AB为弦，所对的圆心角为60°，且圆心在AB下方的圆上．若直线y＝ax＋b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y＝ax＋b（a≠0）的另一个交点为Q．由对称性可知，∠APQ＝∠A′PQ，又∠APB＝60°，∴∠APQ＝∠A′PQ＝60°．∴∠ABQ＝∠APQ＝60°，∠AQB＝∠APB＝60°．∴∠BAQ＝60°＝∠AQB＝∠ABQ．∴△ABQ是等边三角形．∵线段AB为定线段，∴点Q为定点．若直线y＝ax＋b（a≠0）与圆相切，易得点P与Q重合．∴直线y＝ax＋b（a≠0）经过定点Q．
连接OQ，过点A，Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂直分别为M，N． ∵A(2，3，B(－2，－3，∴OA＝OB＝7．
∵△ABQ是等边三角形，∴∠AOQ＝∠BOQ＝90°，OQ＝3OB＝21．∴∠AOM＋∠NOQ＝90°，又∵∠AOM＋∠MAO＝90°，∴∠NOQ＝∠MAO． 又∵∠AMO＝∠ONQ＝90°，∴△AMO∽∠ONQ．

∴237AMMOAO．∴．∴ON＝23，NQ＝3．∴Q(3，－23． ONNQONNQOQ21373x－，直线AQ解析式为：y＝－33x＋73．
5573；
5∴直线BQ解析式为：y＝－若点P与B重合，则直线PQ与直线BQ重合， b＝－又∵直线y＝ax＋b（a≠0），且点P位于直线AB的右下方， ∴b的取值范围为：b＜－73且b≠－23或b＞73．
5

江苏省南通市中考数学试卷真题解析版-

推荐内容

相关推荐