第一部分 数与代数

（一）数的认识

知识点一：数的意义和分类

自然数、整数、正数和负数、分数、百分数、小数

（一）整数

1 、整数的意义

自然数和0都是整数。 像-1，-2，-3……这样的数也叫整数。

2 、自然数

我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

3、计数单位

一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。无论是整数还是小数，相邻两个计数单位之间的进率都是10。

4、 数位及数位顺序表

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5、数的整除

整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的因数）。倍数和因数是相互依存的。

因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

能被2整除的数叫做偶数。

不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

最小的质数是2

一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。最小的合数是4.

1既不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如把28分解质因数 28=2×2×7

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。

公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：

1和任何自然数互质。

相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。

当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 例如：15和7互质，14和7不互质。

两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。

如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……

3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数 。

求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

（二）小数

1 小数的意义

把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

2小数的分类

有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。

无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：π

循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。

写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写作 。

（三）分数

1 分数的意义

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。表示其中的一份的数，叫做分数单位。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

2 分数的分类

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。

3 约分和通分

把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。

分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

（四）百分数

表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数表示的两个数量间的关系，而不是表示一种数量，所以不带单位名称。

（五）正数和负数

二 方法

（一）数的读法和写法

1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。3000600（读成“三百万六百”或“三百万零六百”都对

2. 整数的写法：（略）

（二）数的改写

一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。

1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。

2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。

3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。

（三）数的互化

1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。

7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

（四） 约分和通分

约分的方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

三 性质和规律

（一）商不变的规律

商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。

（二）小数的性质

小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……

2. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小……

3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。

（四）分数的基本性质

分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

（五）分数与除法的关系

1. 被除数÷除数= 被除数/除数 被除数 相当于分子，除数相当于分母。

2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。

知识点三：数的大小比较

知识点四：数的性质

知识点五：因数、倍数、质数、合数

（二）数的运算

知识点一：四则运算的意义

1、加法的意义：把两个数合并成一个数的运算。

2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

3、整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算。

4、小数乘法的意义：

小数乘整数 与整数乘法的意义相同，也是求几个相同加数的和的简便运算；

一个数乘小数 求这个数的十分之几、百分之几……是多少。

5、分数乘法的意义：

分数乘整数 与整数乘法的意义相同，也是求几个相同加数的和的简便运算；

一个数乘分数 就是求这个数的几分之几是多少。

6、除法的意义：已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。

知识点二：四则运算的法则

整数加减法，小数加减法，分数加减法，整数乘法，分数乘法，整数除法，小数除法，分数除法

知识点三：四则混合运算

加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。

在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算。

在一个有括号的算式里，要先算小括号里面，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。

知识点四：运用 定律，使计算简便

加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

知识点五：通过运算解决问题

（三）式与方程

知识点一：用字母表示数、运算定律和计算公式

知识点二：方程和等式

1、等式：表示相等关系的式子叫等式。

2、方程：含有未知数的等式叫方程。

3、等式和方程的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。

4、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。

5、解方程：求方程的解的过程，叫解方程。

知识点三：列方程解应用题的一般步骤

1、弄清题意，找出未知数并用x表示。

2、找出题中数量间的相等关系，并根据等量关系列出方程。

3、解方程，求出未知数的值。

4、检验并作答。

（四）常见的量

知识点：常见的计量单位及其进率

1、长度单位：

常见长度单位：

千米（km） 米（m） 分米（dm） 厘米（cm） 毫米（mm）

1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米

2、面积单位：

常见的面积单位：

平方千米（km²） 公顷（hm²） 平方米（m²） 平方分米（dm²） 平方厘米（cm²）

1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米

1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米

3、体积单位：

常见的体积单位：

立方米（m³） 立方分米（dm³） 立方厘米（cm³） 升(L) 毫升（ml）

1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1立方毫米

1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升

4、质量单位：

常见的质量单位：

吨（t） 千克（kg） 克（g）

1吨=1000千克 1千克=1000克

5、时间单位：

常见的时间单位：

世纪 年 月 日 时 分 秒

1世纪=100年 1年=12个月

28天（平年二月）

1个月= 29天（闰年二月）

30天（四、六、九、十一月）

31天（一、三、五、七、八、十、十二月）

1天=24小时

1小时=60分

1分=60秒

6、人民币的单位：

常用的人民币：

元 角 分 1元=10角 1角=10分

知识点一：比和比例的联系与区别

第二部分 空间与图形

（一）图形的认识与测量

知识点一：平面图形的认识

1、直线、射线和线段

（1）联系与区别

（2）垂直与平行

a、垂直和垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

b、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的距离相等。

同一平面内的两条直线不是平行，就是相交。

c、点到直线的距离：从直线外的一点向该直线引垂线，从这点到垂足的线段的长，叫做这个点到直线的距离。

2、角的认识

（1）角的意义：

从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。

（2）角的分类：

锐角、直角、钝角、平角、周角

3、三角形

（1）三角形的意义：

三角形是由三条线段首尾相接围成的图形。

（2）三角形的特性：

三角形具有稳定性。

（3）三角形的分类：

按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形（正三角形）

1、 四边形的分类

5、圆

（1）圆的意义：

圆是平面上的一种曲线图形。圆上任意一点到圆心的距离都相等。

（2）圆的各部分名称：

圆心(o)、直径(d)、半径（r）

（3）圆的特征：

a、在同圆或等圆中，d=2r或r=。

b、圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。

知识点二：平面图形的周长和面积

1、周长的意义：围成一个图形的所有边长的总和，叫做这个图形的周长。

2、平面图形的周长计算公式：

3、圆周率：

圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用“π”表示。圆周率是一个无限不循环小数，π=3.14159……,在计算时一般只取它的两位小数，即π≈3.14.

4、面积的意义：

物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。

5、平面图形面积的计算公式：

知识点三：立体图形的认识

1、长方体和正方体的特点：

相同点：长方体和正方体都有6个面，8个顶点和12条棱。

不同点：长方体至少有4个面是长方形，而正方体6个面都是正方形。

联系：正方体可以看作是特殊的长方体。

2、圆柱和圆锥的特点：

（1）圆柱：

圆柱的两个圆面叫底面，周围的面叫侧面。上、下两底面之间的距离叫圆柱的高。圆柱有无数条高。

（2）圆锥：

圆锥的圆面叫底面，周围的曲面叫侧面。顶点到底面圆心的距离叫圆锥的高。圆锥只有一条高。

3、从不同方向看到的立体图形的形状：

（1）长方体：从上、下、前、后、左、右看一般会看到长方形，特殊情况下可能看到正方形。

（2）正方体：从上、下、前、后、左、右看，都会看到一个正方形。

（3）圆柱：

从上或下看，会看到一个圆。

从侧面看，会看到一个长方形或正方形。

（4）圆锥：

从上面看，会看到： 从下面看，会看到：

从侧面看，会看到：

知识点四：立体图形的表面积和体积

1、表面积的意义：

一个立体图形所有面的面积总和，叫做它的表面积。

2、体积的意义：

一个立体图形所占空间的大小，叫做它的体积。

2、 立体图形的表面积和体积的计算公式：

（二）图形与变换

知识点一：轴对称图形

轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。

这条折痕所在的直线叫做对称轴。

知识点二：平移和旋转

1、平移：物体或图形在同一平面内沿直线移动，而本身没有发生方向上的改变，像这样的物体或图形所做的直线运动叫做平移。

平移的两个要素：一是移动的方向，二是移动的距离。

2、旋转：物体或图形以一个点或一个轴为中心进行圆周运动，像这样的物体或图形所做的运动叫做旋转。

旋转的三个要素：一是围绕的定点或轴，二是旋转方向（逆时针方向或顺时针方向），三是旋转角度。

利用图形的平移和旋转，可以设计出美丽的图案。

知识点三：图形的扩大与缩小

图形按照一定的比例扩大或缩小后，大小改变，形状不变。

知识点四：设计图案

（三）图形与位置

知识点一：辨认方向

知识点二：绘制示意图

在绘制某地点的示意图时，需要把实际距离按一定比例缩小，再画在图纸上，还要确定图上距离和相对应的实际距离的比。

图上距离：实际距离=比例尺

知识点三：确定物体的位置

1、根据行、列用数对表示物体的位置。

竖排叫做列，横排叫做行，确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后（从下往上）数。数对：（列数，行数）

2、根据物体的方向和距离可以确定物体的位置。

第三部分 统计与可能性

知识点一：统计

1、统计表

统计表分为单式统计表和复式统计表。

2、统计图：

常用的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。

（1）条形统计图能清楚地看出各数量的多少。

（2）折线统计图不但能看出数量的多少，还能清楚地看出数量的增减变化的情况，

（3）扇形统计图能清楚地看出各部分数量与总数之间的关系。（能清楚地看出各部分占总数的百分比，以及部分与部分之间的关系。）

3.统计的作用

（1）统计是分析问题和解决问题的有效工具

（2）用统计的方法可以对数据进行描述和分析。

（3）根据数据分析的结果可以进行解释、判断和预测。（97页）

知识点二：平均数

平均数是个常见的统计量。

（4） 平均数：求平均数的实质就是将几个数量，在总量（和）不变的情况下，通过移多补少，使它们变为相等。

总数量÷总份数=平均数。

知识点三：可能性

第四部分综合与实践（见平时的复习题目）

数学思想与方法

转化法：

在学习数学时，运用转化思想可以将未知问题转化为已知问题，从而充分调动已有的数学知识经验解决新问题；也可以将复杂的问题转化成比较简单的问题，使问题更加容易解决。转化是一种广泛适用的解决问题的方法。

计算时：小数乘法可以转化成整数乘法来计算。

小数除法可以转化成除数是整数的除法来计算。

异分母分数加法可以转化成

分数除法可以转化成

推导平面图形的面积计算公式：平行四边形 三角形 梯形 圆形

推导立体图形的体积计算公式：圆柱体

在解决问题时，有时也会遇到转化

求不规则物体的体积

数形结合法：

1、统计图是借助图形描述数据的一种直观、有效地形式

2、借助画图的方法可以帮助我们理解计算方法

3、借助线段图可以帮助我们直观地理解数量关系。

4、正比例图像也是用图形描述成正比例关系的两种量的直观形式。

5、在平面内确定物体的位置时，也是把数与形结合起来思考。

青岛版五四制五年级数学下册总复习知识点归纳