高中数学谈安培力和动生电动势中的有效长度

在利用F＝BIL计算安培力和利用E＝BLv计算动生电动势时，许多同学弄不清公式中的L为多少，现把公式中的有效长度举例分析如下：

一、安培力F＝BIL中的有效长度。

在利用F＝BIL计算安培力时，式中L为导体的有效长度，它的具体含义为磁场中的导体首尾相连的有向线段沿垂直于磁场方向上的投影。

例1. 如图1所示，用粗细均匀的电阻丝折成平面三角形框架，三边的长度分别为3L、4L和5L，电阻丝L的长度的电阻为r，框架与一电动势为E、内阻为r的电源相连，垂直于框架平面有磁感应强度为B的匀强磁场，求框架所受安培力的大小和方向。

图1

解析：由于电阻丝L长度的电阻为r，所以三边的电阻分别为3r、4r、5r，其中ab部分与bc部分串联，然后与ac并联，所以三角形框架的电阻为，因此电路中的总电流为，通过abc和ac中的电流分别为

，由于abc的等效长度为有向线段ac的长度，所以abc所受的安培力为，方向垂直于ac向上；ac所受的安培力为，方向垂直于ac向上，因此线框所受的安培力的大小为，方向垂直于ac向上。

例2. 半径为R的半圆导体框放在如图2所示的磁场中，电流大小为I，磁感应强度为B，则导体框所受的安培力为多大？

图2

解析：由于线框的首尾相连的有向线段的长度为2R，且有向线段沿垂直于磁场方向上的投影为，所以线框所受的安培力为。

二、动生电动势E=BLv中的有效长度。

在利用计算动生电动势时，式中L为导体的有效长度，它的具体含义为磁场中的导体首尾相连的线段沿垂直于速度方向上的投影。（注意：此种只适用于磁场垂直于导线和速度所决定的平面的情况，磁场不垂直于导线和速度所决定的平面的情况高中很少见）。

例3. 如图3所示的几种情况中，金属导体中产生的感应电动势为的是（ ）

甲 乙 丙 丁

图3

解析：在甲图中，磁场中的导体沿垂直于速度方向上的投影为，所以感应电动势为。

在乙、丙、丁图中，磁场中的导体沿垂直于速度方向上的投影为均L，所以感应电动势均为E＝BLv。

所以正确答案为乙、丙、丁。

三、两者有效长度的区别与联系：

1. 相同点：有些时候两者的有效长度是相同的。

例4. 如图4所示，在光滑绝缘的水平面上，有一半径，电阻R＝0.01，质量的金属圆环以的速度向一足够大的磁感应强度B＝0.3T的匀强磁场滑去。当圆环刚好有一半进入磁场时，圆环的加速度为。求此过程中圆环增加的内能。

图4

解析：在金属环进入磁场的过程中，由于有效长度不断变化，所以感应电流和安培力也不断变化。当圆环刚好有一半进入磁场时，切割磁感线的有效长度为2r，所以感应电动势满足：E＝2Brv感应电流满足：，所受安培力的有效长度也为2r，与感应电动势的有效长度相同，安培力满足：F＝BIL＝2BIr，由牛顿第二定律得：代入数据，解以上方程得，由能量守恒得：，代入数据解得Q＝0.23J，即圆环增加的内能

2. 不同点：两者的有效长度往往是不同的。

例5. 如图5所示，平行金属导轨间距为d，一端接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于金属导轨所在的平面，一根长金属棒与导轨成角放置，金属棒与导轨的电阻均不计，当金属棒在拉力作用下沿如图所示的方向以恒定的速度v在导轨上运动时，拉力的机械功率为多少？

图5

解析：导体棒切割磁感线的有效长度为d，所以感应电动势为，；安培力的有效长度为，所以安培力的大小为，方向与金属棒垂直，拉力与安培力大小相等，方向相反，因此拉力的机械功率为：。

可见拉力的机械功率与角度无关。

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