课 题

直线的倾斜角与斜率

教学目标

掌握倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角和斜率的关系。

教学内容

一、 目标认知

1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；

2．理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率；

3．已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；

4．掌握经过两点和的直线的斜率公式：()；

5．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.

二、知识要点梳理

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.

规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．

要点诠释：

1.要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.

2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

3.倾斜角的范围是.当时，直线与轴平行或与轴重合.

4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应.

5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线

的位置.

知识点二：直线的斜率

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

要点诠释：

1.当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；

2.直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.

由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

知识点三：斜率公式

已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.

要点诠释：

1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

(1)由、点的坐标求的值；

(2)已知及中的三个量可求第四个量；

(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；

(4)证明三点共线.

知识点四：两直线平行

设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.

要点诠释：

1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；

2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.

知识点五：两直线垂直

设两条直线的斜率分别为.若，则.

例1．如图，直线的倾斜角，直线，求、的斜率。

解：的斜率，

∵的倾斜角，

∴的斜率．

例2．（1）已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；

（2）已知直线的斜率，求该直线的倾斜角的范围.

解：（1）∵，∴．

（2）∵，

∴．

例3．已知和分别是的倾斜角和斜率，当（1）；（2）；（3）时，分别求直线的斜率．

解：当时，∵，∴．

当时，∵，∴，∴．

当时，∵，∴，∴．

要点诠释：

1.公式成立的 前提条件是两条直线的斜率都存在；

2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.

三、规律方法指导

1．由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，

直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜

率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变

化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．

2．直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小的判断、求解及直线方程的求解等．

3．我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断；

4．判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意；

5．平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意.

三：经典例题透析

类型一：倾斜角与斜率的关系

已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；

类型二：斜率定义

已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率

类型三：斜率公式的应用

求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．

直线与方程：

一、知识要点:

1. 倾斜角与斜率

2. 直线方程式的5种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其它形式转化的条件）

3．两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系)

4．距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式

练习

1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（ ）

A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在

2．过点且平行于直线的直线方程为（ ）

A．　 B．　　C．　　D．

3. 在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（　 　）

A B C D

4．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=（ ）

A． B． C． D．

5.过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线的方程是( )

L3

6、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则（ ）

L2

A、K1﹤K2﹤K3

B、K2﹤K1﹤K3

o

x

C、K3﹤K2﹤K1

L1

D、K1﹤K3﹤K2

7、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为（ ）

A、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0

C、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=0

8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）

A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0

C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0

9、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（ ）

A.a=2,b=5; B.a=2,b=; C.a=,b=5; D.a=,b=.

10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）

A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)

11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）

A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0

C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0

二填空题（共20分，每题5分）

12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _ __________；

13两直线2x+3y－k=0和x－ky+12=0的交点在y轴上，则k的值是　　　　　

14、两平行直线的距离是 。

课后作业

一、选择题

1. 设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）

A. B.

C. D.

2. 过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）

A. B.

C. D.

3. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为（　　）

A. B. C. D.

4. 已知，则直线通过（ ）

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

5. 直线的倾斜角和斜率分别是（ ）

A. B.

C. ，不存在 D. ，不存在

6. 若方程表示一条直线，则实数满足（ ）A. B.

C. D. ，，

课后检测：

一、选择题

1.若直线过点，,则此直线的倾斜角是（　　）

Ａ　　　Ｂ　　　Ｃ　　　　Ｄ　　

2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=

A、 -3 B、-6 C、 D、

3.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）

A 2 B C 1 D

4. 点Ｍ（４，m）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（　　　）

Ａ　m＝－３，n＝１０　　　　　　　Ｂ　m＝３，n＝１０

Ｃ　m＝－３，n＝５　　　　　　　　Ｄ　m＝３，n＝５

5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（　　　　）

Ａ　3x-y-8=0 B 3x+y+4=0

C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0

6.过点Ｍ（２,１）的直线与x轴，y轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,

则l的方程是（　　　　　）

Ａ　x-2y+3=0 B 2x-y-3=0

C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0

7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是

A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）

8. 直线的位置关系是

（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定

9. 如图1，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，

则必有

A. k132 B. k312

C. k123 D. k321

10.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（ ）

（A）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0

11．下列说法的正确的是 （ ）

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．经过定点的直线都可以用方程表示

C．不经过原点的直线都可以用方程表示

D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程

表示

12．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．过点Ｐ（１，２）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是 .

14．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .

三、解答题

16. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;

②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程.

17.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m的值.

18. 已知点，，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。