高等数学科学出版社答案

【篇一：第一章 习题答案科学教育出版社 高数答案(惠院)】

txt>习题1-1

1．求下列函数的自然定义域：

x3

(1)

y?? 2

1?x

x?1arccos

； (3) y?

解：(1)解不等式组?

(2) y?arctan

1

x

?3

x?1?

(4) y??. ?3 , x?1?

?x?3?0

得函数定义域为[?3,?1)?(?1,1)?(1,??); 2

?1?x?0

?3?x2?0

(2)解不等式组?得函数定义域为[?;

?

x?0

x?1??1??1?

(3)解不等式组?得函数定义域为[?5,?2)?(3,6]; 5

2??x?x?6?0

(4)解不等式x?1?0得函数定义域为[1,??).

2．已知函数f(x)定义域为[0,1]

，求ff(cosx),f(x?c)?f(x?c) (c?0)义域．

解：因为f(x)定义域为[0,1]

22

?0?x?c?11当?时，得函数f(x?c)?f(x?c)定义域为：（1）若c?，x??c,1?c?；（2）

0?x?c?12?若c?

3．设f(x)?

1?x?a?

1???,a?0,求函数值f(2a),f(1)． x2?|x?a|?

1?a?x?1???，则 x2?|x?a|?

的定

??

111，x?；（3）若c?，x??． 222

解：因为f(x)?

f(2a)?

1?a?1??0 ,a1,1??a?1

f(1)?1??1??，??????2 ,0a1． 12?a?14a2?a?2a2

???

4. 证明下列不等式:

(1) 对任何x?r有 |x?1|?|x?2|?1;

1

(2) 对任何n?z?有 (1?1)n?1?(1?1)n;

n?1

n

(3) 对任何n?z?及实数a?1有 an?1?a?1.

n

证明：（1）由三角不等式得

|x?1|?|x?2|?|x?1?(x?2)|?1 （2）要证(1?1)n?1?(1?1)n，即要证1?1?

n?

1

n

1

n?1

(1?

?

得证。

111)?(??)????)1

1 ?1?

n?1n?1

（3）令h?a?1，则h?0，由bernouli不等式，有

a?(1?h)?1?nh?1?n(a?1)

n

1

n

1n

所以

a?1。 n

5. 试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直角坐标方程:

22

(1) ??4; (2) x?y?1;(3) x?8y2;(4) ???.

254

解：(1) x2?y2?16；(2) ?2(5?7sin2?)?10；(3) 8?sin2??cos??0；(4) y?x (x?0)

a?1?

1n

6．判断下列各组函数中的f(x)与g(x)是否为同一函数？说明理由！

(1) f(x)?ln

2

x,g(x)??ln

?x ；

?

(2) f(x)?1,g(x)?sec2x?tan2x； (3) f(x)?2lgx,g(x)?lgx2 ;

3

x?x(4) f(x)?1?x,g(x)? ； x

解：(1) 是； (2) 是； (3) 不是，因为定义域不同；(4) 不是，因为定义域不同．

7．试确定下列函数的单调区间：

3?x

(1) y??ln(?x)； (2) y?； (3) y?1?sinx.

x1?x

3

解：(1) 函数的定义域为(??,0)，此时，函数y1?单调递减，y2?ln(?x)也是单调递

x

减，则y?y1?y2在(??,0)内也是递减的．

?x(1?x)?11

(2)y?，当x?(??时，函数y1?x?1单调递增，则,1)??1?

1?x1?xx?1

2

y2?

11?x

是单调递减的，故原函数y?是单调递减的． ?

y1x?11?x

(3) 函数的定义域为(??,??)，在(2k??(2k??

?

2

,k2??

?

2

函)数是单调递增的，在

?

2

,k2??

3?

函数是单调递增的. )2

8. 判定下列函数的奇偶性： (1)y?x2?2cosx?1；

(2) y

?tan1；

ex?e?x

(3) y?； (4) y?.

2

解：(1)因为f(?x)?x2?2cosx?1?f(x)，所以是偶函数．

1

(2) 因为f(?x)??tan??f(x)，所以是奇函数．

x?x

e?ex

(3) 因为

f

(?x)??f(x)，所以是偶函数．

(4) 因为f(?x)??lg(x?1??lg(x?，

所以是非奇非偶函数．

9．设f(x)是定义在[?l,l]上的任意函数，证明：

(1) f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数； (2) f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令g(x)?f(x)?f(?x),h(x)?f(x)?f(?x)，则

g(?x)?f(?x)?f(x)?g(x),h(?x)?f(?x)?f(x)??h(x)，所以f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数．

（2）任意函数f(x)?

f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)

，由（1）可知是偶函数，?

222

f(x)?f(?x)

是奇函数，所以命题得证．

2

10．证明：函数在区间i上有界的充分必要条件是函数在i上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数f(x)在区间i上有界，则存在正数m，使得x?i，都有f(x)?m成立，显然?m?f(x)?m，即证得函数f(x)在区间i上既有上界又有下界 （充分性）设函数f(x)在区间i上既有上界m2，又有下界m1，即有f(x)?m1且f(x)?m2，取m?max{m1,m2}，则有f(x)?m，即函数f(x)在区间i上有界．

(4) y?sin2x.

2

(3)周期函数，周期为；

3

12．求下列函数的反函数：

2x

(1) y?x； (2)

y?lnx．

2?1

yy

解：(1) 依题意，2x?，则x?log2，所以反函数为

y?1y?1

x

f?1(x)?log2,x?(??,0)?(1,??)．

x?1

ey?e?yex?e?x?1

(2) 依题意， x?，所以反函数为f(x)?, x?r

22

?1 |x|1 ,?

13．设f(x)??0 |x|=1,g(x)?ex，求f(g(x))与g(f(x))，并作出函数图形．

??1 |x|1,?

??e |x|1 ,?1 x0 ,

??

解：g[f(x)]??0 x=0, f[g(x)]??1 |x|=1,图略。

??1 x0,??1??e |x|1,

14．试判断下列函数由哪些基本初等函数复合而成：

(1) y?e(1?x)； (2)y?(arcsinx2)4；(3) y?3cosx；

(4) y?ln(1?．

u

解：(1) 由y?e,u?v20,v?1?x复合而成；

20

2

(2) 由y?u4,u?arcsinv,v?x2复合而成； (3) 由y?3u,u?v2,v?cosx复合而成； (4)

由y?lnu,u?1v?1?x2复合而成；

15．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为h．当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为v．试把h表示为v的函数，并指出其定义区间．

v

16．收音机每台售价为90元，成本为60元．厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1元，但最低价为每台75元．

(1) 将每台的实际售价p表示为订购量x的函数； (2) 将厂方所获的利润l表示成订购量x的函数； (3) 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ ?90, x?100?

解：依题意有(1) p??190?x, 100?x?115；

?75, x?115?

4

?30x, x?100?

(2) l??(130?x)x, 100?x?115；

?15x, x?115?

(3) l?15000元

习题1-2

1．设xn?

2n?3

(n?1,2,3,?)， 3n?1222

(1) 求|x1?|,|x20?|,|x1000?|的值；

333

2

(2) 求n，使当n?n时，不等式|xn?|?10?6成立；

3

2

(3) 对实数??0，求n，使当n?n时，不等式|xn?|??成立．

3

21211237211

解：(1) |a1?|?|??|?, |a10?|?|?|?,

34312361318321997211

|a1000?|?|． ?|?

3300139003

2111

（2） 要使 |an?|?10?4, 即 ?4，则只要n?12222, 取n＝?12222,

33（3n+1）10

2

故当n12222时，不等式|an?|?10?4成立．

3211?3??11?3??

（3）要使|an?|??成立，n?，那么当n?n时， , 取n???9?39???2

|an?|??成立.

3

2．当x?1时，y?x2?2?3．问?等于多少，使当|x?1|??时，|y?3|?0.01？

135

解：令 |x?1|?，则?|x?1|?，要使

222

5

|y?3|?|x2?2?3|?|x2?1|?|x?1||x?1|?|x?1|?0.01，

2

只要|x?1|?0.004，所以取??0.004，使当 |x?1|?? 时，|y?4|?0.01成立．

2x2?1

3．当x??时，y?2?2．问x等于多少，使当|x|?x时，|y?2|?0.001？

x?22x2?15

?2|?2解：要使|y?2|?|20.001, 只要|x2?3|?5000, 即x2?3?5000. 因x?2|x?3|此,

只要|x|?,

所以取x?．

5

【篇二：《高等数学》 详细上册答案(一--七)】

lass=txt>《高等数学》 上册 （一----七）

第一单元、函数极限连续

使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版； 同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版； 核心掌握知识点：

1. 函数的概念及表示方法；

2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念； 4. 基本初等函数的性质及其图形；

5. 极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系； 6. 极限的性质及四则运算法则；

7. 极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；

8. 无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9. 函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；

10. 连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最

小值定理、介值定理），会用这些性质.

学习任务巩固练习阶段： （本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）

第二单、元函数微分学

计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编 高等教育出版社第六版 本单元中我们应当学习——

1. 导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法

线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；

2. 导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微

分形式的不变性；

3. 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；

4. 会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；

5. 罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、泰勒(taylor)定理、柯西(cauchy)中值定

理，会用这四个定理证明；

6. 会用洛必达法则求未定式的极限；

7. 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值

和最小值；

8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐

近线；

9. 曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

【篇三：柴俊,丁大公,陈咸平 等 编 科学出版社 华东师范大学 高等数学 作业集 答案ch_7】

>参考解答

1、求由抛物线y2?x和y2??x?4所围图形的面积。

21

x2??

3、求三叶玫瑰线r?asin3?的面积s。

1

解：v1?

?

1

20

??4x?2dx??，v2?1???2dx??，v?v1?v2??

632?x?2

2

2

?1?313

2

5、求由曲线y?3?x?1与x轴所围封闭图形绕直线y?3旋转所成旋转体的体积。

1

2

解：v1?2??9?3?2?x

?

??

?

254

dx?? ????15

2

219422?v2?2???9?3?4?xdx?? ????1??15

448

v?v1?v2??

15

2

xdx

?2???2?x?

1

?

?t?1?x?

10

?2???1?t?

1

t?1??dt??2??t2?1dt

??31??112?12

?2???1????1?t2?2???2??

233423?0???

3

2

7、求曲线y?ln1?x上相应于0?x?

??

1

的一段弧的弧长。

2

12

解：s?

1?x1?x11 ??ln??ln3?2?1?x1?x0221

20

2

4

????x?acost?

0?t?8、求曲线???的弧长。 4

2???y?asint?

s?

?

?

??24asintcos

?

?22asin2 0?

?

??

22asin20

?

2

?2sin2 ?

??

?x?cos2t?

1

?

?（利用分部积分或换元法）

1

?? ?lnx?

???

0?

??

ln1?

?2?9、求曲线r?

1??????????的弧长。

1?cos??22?

解：

s?

?

?? 4

2cos

1cos

3?

?

2

?

?2?2

?1?cos??

d???2

d?

2

?40

?

?411

?2?4sec3xdx?2?secxtanx?lnsecx?tanx

0?220

?

??? ??

?ln

1

?

10、一条原 长100cm的弹簧，每压缩1cm需力5n，求该弹簧从80cm的长度压缩到60cm

的长度时外力作的功。 解：由f=kx，得k=500n/m。w?

?

0.4

0.2

kxdx?

3

120.4kx?30j

0.22

11、一个半径为r=3米，密度??2?10千克/米3的实心球完全浸没在水中，球顶部到水

面的距离为16米，求把球提高到球底部与水面相齐需作的功。 解：dw1???g?r?x

?

?

22

???

22

g?r?x???水??16?r?x?dx

dw2??g??r2?x2??r?x?dx

w??

3

?3

?dw1?dw2?

5

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