湖南省永州市2018年中考数学试题（附五套中考模拟试卷）

发布时间：2019-03-19 20:11:51

湖南省永州市2018年中考数学试题

一、选择题（本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分

1．（4分）﹣2018的相反数是（　　）

A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣

2．（4分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（4分）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3

4．（4分）如图几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

5．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．m2+2m3=3m5 B．m2•m3=m6 C．（﹣m）3=﹣m3 D．（mn）3=mn3

6．（4分）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（　　）

A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53

7．（4分）下列命题是真命题的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．任意多边形的内角和为360°

D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

8．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

9．（4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

10．（4分）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　）

A．商贩A的单价大于商贩B的单价

B．商贩A的单价等于商贩B的单价

C．商版A的单价小于商贩B的单价

D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）截止2017年年底，我国60岁以上老龄人口达2.4亿，占总人口比重达17.3%．将2.4亿用科学记数法表示为　　．

12．（4分）因式分解：x2﹣1=　　．

13．（4分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=　　．

14．（4分）化简：（1+）÷=　　．

15．（4分）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是　　．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为　　．

17．（4分）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x•y）=log2x+log2y，若log22=1，则log216=　　．

18．（4分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　　种．

三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）

19．（8分）计算：2﹣1﹣sin60°+|1﹣|．

20．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

21．（8分）永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．

（1）参观的学生总人数为　　人；

（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为　　；

（3）补全条形统计图；

（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为　　．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．

（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；

（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．

23．（10分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．

24．（10分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．

（1）求证：CF=BF；

（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．

25．（12分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

26．（12分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．

（1）求正方形DFGI的边长；

（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分

1．（4分）﹣2018的相反数是（　　）

A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

【解答】解：﹣2018的相反数是2018．

故选：A．

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

A． B． C． D．[来源:学科网ZXXK]

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项正确；

D、是轴对称图形，故此选项错误；

故选：C．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3．（4分）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3

【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，

解得：x≠3．

故选：C．

【点评】考查了函数自变量的范围，注意：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

4．（4分）如图几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．

【解答】解：由图可得，几何体的主视图是：

故选：B．

【点评】本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

5．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．m2+2m3=3m5 B．m2•m3=m6 C．（﹣m）3=﹣m3 D．（mn）3=mn3

【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可得．

【解答】解：A、m2与2m3不是同类项，不能合并，此选项错误；[来源:学科网]

B、m2•m3=m5，此选项错误；

C、（﹣m）3=﹣m3，此选项正确；

D、（mn）3=m3n3，此选项错误；

故选：C．

【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方．

6．（4分）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（　　）

A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53

【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．

【解答】解：数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，

所以这组数据的众数为45，中位数为（45+51）=48．

故选：A．

【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．

7．（4分）下列命题是真命题的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．任意多边形的内角和为360°

D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断．

【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；

C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；

D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题．

故选：D．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

8．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；

【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB，

∴=，

∴AC2=AD•AB=2×8=16，

∵AC＞0，

∴AC=4，

故选：B．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

9．（4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．

【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；

B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；

C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；

D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；

故选：D．

【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．

A．商贩A的单价大于商贩B的单价

B．商贩A的单价等于商贩B的单价

C．商版A的单价小于商贩B的单价

D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关

【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

【解答】解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0

∴0.5b﹣0.5a＜0，

∴a＞b．

故选：A．

【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）截止2017年年底，我国60岁以上老龄人口达2.4亿，占总人口比重达17.3%．将2.4亿用科学记数法表示为　2.4×108　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：2.4亿=2.4×108．

故答案为：2.4×108

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（4分）因式分解：x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　．

【分析】方程利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．

故答案为：（x+1）（x﹣1）．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

13．（4分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=　75°　．

【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可；

【解答】解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，

∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，

∴∠BDC=∠ADE=75°，

故答案为75°．

【点评】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

14．（4分）化简：（1+）÷=　　．

【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．

【解答】解：（1+）÷

=，

故答案为：．

【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．

15．（4分）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是　100　．

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．

【解答】解：由题意可得，=0.03，

解得，n=100．

故估计n大约是100．

故答案为：100．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为　　．

【分析】由点A（1，1），可得OA==，点A在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算即可．

【解答】解：∵点A（1，1），

∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，

∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，

∴∠AOB=45°，

∴的长为=．

故答案为．

【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了坐标与图形变化﹣旋转，求出OA=以及∠AOB=45°是解题的关键．

17．（4分）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x•y）=log2x+log2y，若log22=1，则log216=　4　．

【分析】利用log2（x•y）=log2x+log2y得到log216=log22+log22+log22+log22，然后根据log22=1进行计算．

【解答】解：log216=log2（2•2•2•2）=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4．

故答案为4．

【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．

18．（4分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　4　种．

【分析】根据点A、B的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可；

【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；

故答案为4．

【点评】本题考查整体﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）

19．（8分）计算：2﹣1﹣sin60°+|1﹣|．

【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．

【解答】解：原式=﹣×+2=1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】分别解不等式组的两个不等式，即可得到其公共部分，依据解集即可在数轴上表示出来．

【解答】解：，

解不等式①，可得

x＜3，

解不等式②，可得

x＞﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，

在数轴上表示出来为：

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

（1）参观的学生总人数为　40　人；

（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为　15%　；

（3）补全条形统计图；

（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为　　．

【分析】（1）依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生总人数；

（2）依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比；

（3）依据“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，即可补全条形统计图；

（4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率．

【解答】解：（1）参观的学生总人数为12÷30%=40（人）；

（2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为×100%=15%；

（3）“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，条形统计图如下：

（4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，甲同学被选中的有6种情况，

∴甲同学被选中的概率是：=．

故答案为：40；15%；．

【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．

（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；

（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．

【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．

（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；

【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等边△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E为AB的中点，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴CE=AB，BE=AB．[来源:学科网]

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四边形BCFD是平行四边形．

（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，

∴BC=AB=3，AC=BC=3，

∴S平行四边形BCFD=3×=9．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，根据“男生人数+女生人数=55、男生人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答．

【解答】解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，

依题意得：，

解得，

答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．

【点评】考查了二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

24．（10分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．

（1）求证：CF=BF；

（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．

【分析】（1）延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到=，则可证明=，然后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得到CF=BF；

（2）连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH=，OH=，接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM=∠OHB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．

【解答】证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，

∵CD⊥AB，

∴=，

∵=，

∴=，

∴∠CBE=∠GCB，

∴CF=BF；

（2）连接OC交BE于H，如图，

∵=，

∴OC⊥BE，

在Rt△OBH中，cos∠OBH==，

∴BH=×6=，

∴OH==，

∵==，==，

∴=，

而∠HOB=∠COM，

∴△OHB∽△OCM，

∴∠OCM=∠OHB=90°，

∴OC⊥CM，

∴直线CM是⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．

25．（12分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；

（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；

（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，

把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，

a=﹣1，

∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；

（2）存在，

如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，

∵E（0，3），

∴E'（2，3），

易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，

当x=1时，y=3×1﹣3=0，

∴G（1，0）

（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），

易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，

设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），

∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3，

∵AD∥NH，

∴∠DAB=∠NQM，

∵∠ADB=∠QMN=90°，

∴△QMN∽△ADB，

∴，

∴MN=﹣（m﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴当m=2时，MN有最大值；

过N作NG⊥y轴于G，

∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，

∴△NGP∽△ADB，

∴==，

∴PG=NG=m，

∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3，

∴S△PON=OP•GN=（﹣m2+m+3）•m，

当m=2时，S△PON=×2（﹣4+3+3）=2．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题（3）的关键．

26．（12分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．

（1）求正方形DFGI的边长；

【分析】（1）由HI∥AD，得到=，求出AD即可解决问题；

（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；

（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1中，

∵HI∥AD，

∴=，

∴AD=6，

∴ID=CD﹣CI=2，

∴正方形的边长为2．

（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．

∵CA=CP，CD⊥PA，[来源:学&科&网]

∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P，

∵HG′∥PA，

∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P，

∴∠CHG′=∠CG′H，

∴CH=CG′，

∴IH=IG′=DF′=3，

∵IG∥DB，

∴=，

∴DB=3，

∴DB=DF′=3，

∴点B与点F′重合，

∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，

∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．

（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．

∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，

∵DN=DN，DM=DR，

∴△NDM≌△NDR，

∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，

∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．

【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

中考数学模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

1、选择题（每小题3分，满分30分）

1. 下列四个数中，最大的一个数是（ A ）

A. 2 B. C. 0 D. -2

2. 节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学计数法表示为（ C ）

A. B. C. D.

3. 下列运算正确的是（ B ）

A. B. C. D.

4. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ A ）

A、	B、	C、	D、

5. 某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下：

锻炼时间（小时）	5	6	7	8
人数	2	6	5	2

则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（ D )

A. 6,7 B. 7,7 C. 7,6 D. 6,6

6. 如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P=40°，则∠ABC的度数为（ B ）

A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°

7. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6,6），B（8,2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ A ）

A. （3,3） B. （4,3） C. 3,1） D. （4,1）

8. 在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2,4），B（4,2），直线与线段AB有交点，则k的值不可能是（ B ）

A. -5 B. -2 C. 2 D. 5

9. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ C ）

A. （-3,0） B. （-6,0） C. （，0） D. （，0）

10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点A（-3，）、点B（-，）、点C（，）在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则.其中正确的结论有（ B ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

第6题图第7题图第9题图第10题图

2、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11. 在函数中，自变量想取值范围是且 .

12. 若，且，则 3 .

13. 已知A（3,0），B（-1,0）是抛物线上两点，该抛物线的对称轴是 .

14. 关于的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数的取值范围是 .

15. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，则∠BOD= 70° .

16. 如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1= 45 度.

17. 任取不等式组的一个整数解，则能使关于的方程：的解为非负数的概率为

18. 如图，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则的取值是 .

第15题图第16题图第18题图

3、解答题（本题共8个小题，共66分）

19. （满分6分）计算：.

20. （满分6分）先化简，再求值：，其中.

解：原式=

21. （满分8分）为配合我市创建省级文明城市，某校对八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况，并制作如下两幅不完整的统计图.

（1）求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？

（2）将条形图补充完整；

（3）该校决定本周开展主题实践活动，从八年级只有2名文明行为劝导志愿者的班级中任选2名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率.

解：（1）

（2）略

（3）

22. （满分8分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.

（1）求证：DE=AB

（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求弧长BG.

解：（1）证明：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=90°=∠B，

在△ABF和△DEA中

∠AFB=∠DAE

∠B=∠DEA

AF=AD

，

∴△ABF≌△DEA（AAS），

∴DE=AB；

（2）BG=

23. （满分8分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高6米，坡面BC的坡度为1:1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：.

（1）求新坡面的坡角a；

（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由.

解：（1）∵

∴a=30°

(2)∵

∴

∴AE=

∴AB=<8

∴不需要拆桥

24.（满分8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，，OB=4，OE=2.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F连接OD、BF，如果，求点D的坐标.

（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．

∵CE⊥x轴，∴∠CEB=90°．

在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=，∴CE=BE•tan∠ABO=6×=3，结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．

∵点C在反比例函数的图象上，∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为．

（2）∵点D在反比例函数第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=，∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2．

∵S△BAF=AF•OB=（OA+OF）•OB=（2+）×4=4+．

∵点D在反比例函数第四象限的图象上，∴S△DFO=×|﹣6|=3．

∵S△BAF=4S△DFO，∴4+=4×3，解得：n=，经验证，n=是分式方程4+=4×3的解，∴点D的坐标为（，﹣4）．

25. （满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.

（1）求证：AE=BF；

（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；

（3）若AE=1，EB=2，求DG的长.

【解答】（1）证明：连接BD，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠A=∠C=45°，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，

∴∠A=∠FBD，

∵DF⊥DG，

∴∠FDG=90°，

∴∠FDB+∠BDG=90°，

∵∠EDA+∠BDG=90°，

∴∠EDA=∠FDB，

在△AED和△BFD中，

，

∴△AED≌△BFD（ASA），

∴AE=BF；

（2）证明：连接EF，BG，

∵△AED≌△BFD，

∴DE=DF，

∵∠EDF=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∵∠G=∠A=45°，

∴∠G=∠DEF，

∴GB∥EF；

（3）∵AE=BF，AE=1，

∴BF=1，

在Rt△EBF中，∠EBF=90°，

∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，

∵EB=2，BF=1，

∴EF==，

∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，

∴cos∠DEF=，

∵EF=，

∴DE=×=，

∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，

∴△GEB∽△AED，

∴=，即GE•ED=AE•EB，

∴•GE=2，即GE=，

则GD=GE+ED=．

26. (满分12分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC.抛物线经过点A、B、C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t：

①设抛物线对称轴L与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由.

解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，，∴OB=3OA=3．。

∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB。∴OC=OB=3，OD=OA=1。

∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式得，解得：。

∴抛物线的解析式为。

（2）①∵，∴对称轴l为x=﹣1。

∴E点的坐标为（﹣1，0）。

当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）。

当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP。

∴。∴MP=3EM．。

∵P的横坐标为t，∴P（t，）。

∵P在二象限，∴PM=，EM=，

∴，解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去）。

∴t=﹣2时，。

∴P（﹣2，3）。

综上所述，当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）。

②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得

，解得：。

∴直线CD的解析式为：y=x+1。

设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∴NM=t+1。

∴。

∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，

∴。

∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为。

中考数学模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：（共24分，每小题3分）

1．在中，°,°，AB=5，则BC的长为 (　　)

A． 5tan40° B． 5cos40° C．5sin40° D．

2.在中，，若cosB=，则sinA的值为 (　　)

A. B. C. D.

3. 对于函数，下列结论正确的是 (　　)

A．随的增大而增大 B．图象开口向下

C．图象关于轴对称 D．无论取何值，的值总是正的

4. 如图，、分别是、的中点，则（）

A． 1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D． 2∶3

5. 在中，都是锐角，tanA=1,sinB=, 你认为最确切的判断是（）

A. 等腰三角形 B.等腰直角三角形 C. 直角三角形 D.锐角三角形

6. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；

④，则的大小关系为 ( )

A. B. C. D.

7. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 (　　)

A．1 B．2 C. D．1＋

8. 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中：

①DE=3cm； ②EB=1cm； ③．正确的个数为（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

第7题第8题第12题

二、填空：（共18分，每小题3分）

9. 若是二次函数，则的值是 ________.

10. 已知点A(－3，)，B(－1，)，C(2，)在抛物线上，则，，的大小关系是 ________________.（用“”连接）

11. 中，，，则 _________.

12. 如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝35°，则∠PFE的度数是 _________°.

13. 如果某人沿坡度=4：3的斜坡前进50米后，他所在的位置比原来的位置升高

了_______米．

14. 已知在中，BC=6，AC=，A=30°，则AB的长是________________.

三、解答题：（共78分）

15. 计算：（8分）

（1）（2）.

16.（6分）如图，在边长均为1的小正方形格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在轴上．

(1)以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后

的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1

(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；

(2)直接写出点A1、B1的坐标______________________.

（3）直接写出____________.

17.（6分）如图,一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坡角和坝底宽AD.（结果保留根号）

18.（7分）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.

(1)求证：BN＝DN；

(2)直接写出△ABC的周长是______________.

19.（7分）如图，直线过轴上的点A(2，0)，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为(1，1)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)连结OC，求出的面积.

20.（8分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，，AB＝3，

（1）求AD的值.

（2）直接写出的值是_____________.

21. （8分）如图，在中，AD是BC边上的高，。

（1）求证：AC＝BD

（2）若，直接写出AD的长是__________.

22.（8分）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，

小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为，底部B点的俯角为，

小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为

（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的

高度．（结果精确到0.1米，参考数据）．

23.（8分）在矩形ABCD中,AD=3，CD=4,点E在边CD上,且 DE=1.

(1)感知:如图①,连接AE,过点E作,交BC于点F,连接AF,易证: (不需要证明);

（2）探究:如图②,点P在矩形ABCD的边AD上(点P不与点A、D重合),连接PE,过点E作 ,交BC于点F,连接PF.求证:相似;

（3）应用:如图③,若EF交AB边于点F,,其他条件不变,且的面积是6,则AP的长为_____________.

24.（12分）如图,在四边形ABCD中,AD//BC, ,BC=4,DC=3,AD=6.动点P从点D出发,沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).

(1)设的面积为,直接写出与之间的函数关系式是_______________________（不写取值范围）.

(2)当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.

(3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2OA=OB时,直接写出=_____________.

(4)是否存在时刻,使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.