2018南通一模(四)数学-

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2018南通一模(四数学
D









答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分 如图，在三棱锥PABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点．点N在棱PC上，D是BN的中点．
求证：(1 MD∥平面PAC； (2 平面ABN⊥平面PMC.


16. (本小题满分14分
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是15a，b，c，且a＝b＋c－bc，a＝b. 2222(1 求sinB的值；
π(2 求cosC＋的值．
12






17. (本小题满分14分
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2y22，两条准线之间2＋2＝1(a>b>0的离心率为ab2的距离为42. (1 求椭圆的标准方程； (2 已知椭圆的左顶点为A，点8M在圆x＋y＝上，直线AM与922椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．





18. (本小题满分16分
如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.(道路宽度忽略不计
(1 若PB经过圆心，求点P到AD的距离：
π(2 设∠POD＝θ，θ∈0，. 2①试用θ表示EF的长度；
②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．





19. (本小题满分16分
已知函数g(x＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R有极值，且函数f(x＝(x＋aex的极值点是g(x的极值点，其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值
(1 求b关于a的函数关系式；
(2 当a>0时，若函数F(x＝f(x－g(x的最7小值为M(a，证明：M(a<－. 3



20. (本小题满分16分
若数列{an}同时满足：①对于任意的正整数n，an＋1≥an恒成立；②若对于给定的正整数k，an－k＋an＋k＝2an对于任意的正整数n(n>k恒成立，则称数列{an}是“R(k数列”．
2n－1，n为奇数，(1 已知an＝判断数列2n， n为偶数，{an}是否为“R(2数列”，并说明理由；
(2 已知数列{bn}是“R(3数列”，且存在整数p(p>1，使得b3p－3，b3p－1，b3p＋1，b3p＋3成等差数列，证明：{bn}是等差数列．





2018届高三年级第一次模拟考试(四 数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟 21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分
如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O2的半径为1，两圆外切于点T.点P为⊙O1上一点，PM与⊙O2切于点M.若PM＝3，求PT的长．





B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分
01x的属于已知x∈R，向量是矩阵A＝102特征值λ的一个特征向量，求λ与A.

C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分
在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与曲x＝t－1，线(t为参数相交于A，B两点，求线2y＝t－1－1段AB的长．




D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分 b2a2已知a>1，b>1，求＋的最小值．
a－1b－1

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分
如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2. (1 求二面角PCDA的余弦值；
(2 已知点H为线段PC上异于C的点，且PHDC＝DH，求的值．
PC






23. (本小题满分10分
(1 用数学归纳法证明：当n∈N*时，cosx1sinn＋2x1＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝－122sinx2(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z；
π2π3π4π(2 求sin＋2sin＋3sin＋4sin66662 018π＋…＋2 018sin的值. 6

2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
311. 1 2. － 3. 25 4. 10 5. 6. 5
7. 226 58. 3 9. －4 5－113. 32 14. ，1∪(1，＋∞
2π6 10. e 11. 210 12. 42－215. 解析：(1 在△ABN中，M是AB的中点，
D是BN的中点， 所以MD∥AN.(3分
因为AN⊂平面PAC，MD⊄平面PAC， 所以MD∥平面PAC.(6分
(2 在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，
所以AB⊥MC.(8分
因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平

面PMC，PC∩MC＝C，
所以AB⊥平面PMC.(11分 因为AB⊂平面ABN，
所以平面ABN⊥平面PMC.(14分 16. 解析：(1 在△ABC中，根据余弦定理222b＋c－a1222及a＝b＋c－bc得，cosA＝＝. 2bc2因为A∈(0，π，所以A＝π3.(3分
ab在△ABC中，由正弦定理＝得
sinAsinBb235sinB＝sinA＝×＝.(6分
a515215(2 因为a＝b>b，
2所以A>B，即0. 35又sinB＝，所以cosB＝1－sin2B＝525.(9分
5在△ABC中，A＋B＋C＝π，
π

ππ所以cosC＋＝cosπ－A－B＋
1212π＝－cosB＋(12分
4ππ＝－cosBcos－sinBsin
442510252＝－×－×＝－10.(14分
252517. 解析：(1 设椭圆的焦距为2c，由题意c22a2得＝，＝42，(2分 a2c解得a＝2，c＝2，所以b＝2. x2y2所以椭圆的方程为＋＝1.(4分
42(2 方法一：因为S△AOB＝2S△AOM， 所以AB＝2AM，
所以M为AB的中点．(6分 x2y2因为椭圆的方程为＋＝1，
42所以A(－2，0．
设M(x0，y0，则B(2x0＋2，2y0．


所以2x0＋y20＝8， ①
9（2x0＋2）2（2y0）2＋＝1, ②(10分 422由①②得9x0－18x0－16＝0，
28解得x0＝－，x0＝(舍去．
3322把x0＝－代入①，得y0＝±，(12分
331所以kAB＝±，
21因此，直线AB的方程为y＝±(x＋2，
2即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.(14分 方法二：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，
所以M为AB的中点．(6分
设直线AB的方程为y＝k(x＋2．
22xy＋＝1，由42得(1＋2k2x2＋8k2x＋8k2y＝k（x＋2）－4＝0，


所以(x＋2[(1＋2k2x＋4k2－2]＝0， 2－4k2解得xB＝2.(8分 1＋2kxB＋（－2）－4k2所以xM＝＝，yM＝k(xM221＋2k2k＋2＝2，(10分 1＋2k8代入x＋y＝得，
922－4k22k82＋1＋2k2＝9， 1＋2k22化简得28k4＋k2－2＝0，(12分 1即(7k＋2(4k－1＝0，解得k＝±，
2221所以直线AB的方程为y＝±(x＋2，
2即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.(14分 18. 解析：以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．
(1 直线PB的方程为y＝2x，
半圆O的方程为x2＋y2＝402(y≥0，(2分


y＝2x，由2得y＝165. 22x＋y＝40，y≥0所以点P到AD的距离为165 m．(4分

(2 ①由题意得P(40cosθ，40sinθ． 直线PB的方程为
sinθ＋2y＋80＝(x＋40，令y＝0，得
cosθ＋180cosθ＋8080cosθ－40sinθxE＝－40＝.(6sinθ＋2sinθ＋2分
sinθ＋2直线PC的方程为y＋80＝(x－40，
cosθ－180cosθ－80令y＝0，得xF＝＋40＝sinθ＋280cosθ＋40sinθ，(8分
sinθ＋2所以EF的长度为


80sinθπf(θ＝xF－xE＝，θ∈0，.(10分
2sinθ＋2②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为
80sinθ16 400×80＝S1＝×80－，
2sinθ＋2sinθ＋2区域Ⅱ的面积为
1180sinθS2＝×EF×40sinθ＝××
22sinθ＋21 600sin2θ40sinθ＝，
sinθ＋2所以S1＋S21 600sin2θ＋6 400＝sinθ＋2π0<θ<.(3分
2设sinθ＋2＝t，则2， 1 600（t－2）2＋6 400则S1＋S2＝
t8＝1 600t＋t－4≥1 600(28－4＝6 400(2－1，
当且仅当t＝22，即sinθ＝22－2时等号成立．


所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S1＋S2的最小值为6 400(2－1m2. 故当sinθ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分
19. 解析：(1 因为f′(x＝ex＋(x＋aex＝(x＋a＋1ex.令f′(x＝0，解得x＝－a－1. f(x，f′(x随x的变化列表如下：


所以当x＝－a－1时，f(x取得极小值．(2分
因为g′(x＝3x2＋2ax＋b，由题意可知 g′(－a－1＝0，且Δ＝4a2－12b>0， 所以3(－a－12＋2a(－a－1＋b＝0， 化简得b＝－a2－4a－3.(4分
由Δ＝4a2－12b＝4a2＋12(a＋1(a＋3>0得3a≠－，
232所以b＝－a－4a－3a≠－2.(6分


(2 因为F(x＝f(x－g(x＝(x＋aex－(x3＋ax2＋bx，
所以F′(x＝f′(x－g′(x＝(x＋a＋1ex－[3x2＋2ax－(a＋1(a＋3] ＝(x＋a＋1ex－(x＋a＋1(3x－a－3 ＝(x＋a＋1(ex－3x＋a＋3．(8分 记h(x＝ex－3x＋a＋3，则h′(x＝ex－3， 令h′(x＝0，解得x＝ln 3. h(x，h′(x随x的变化列表如下：


所以当x＝ln3时，h(x取得极小值，也是最小值，
此时h(ln3＝eln 3－3ln3＋a＋3＝6－3ln3＋a e2＝3(2－ln3＋a＝3ln＋a>a>0.(10分
3令F′(x＝0，解得x＝－a－1. F(x，F′(x随x的变化列表如下：




所以当x＝－a－1时，F(x取得极小值，也是最小值，
所以M(a＝F(－a－1＝(－a－1＋ae[(－a－13＋a(－a－12＋b(－a－1] ＝－e－a－1－a－1－－(a＋12(a＋2．(12分
令t＝－a－1，则t<－1，
记m(t＝－et－t2(1－t＝－et＋t3－t2，t<－1，
则m′(t＝－et＋3t2－2t，t<－1. 因为－e<－et<0，3t2－2t>5，
所以m′(t>0，所以m(t单调递增．(14分 17所以m(t<－e－2<－－2＝－，
33－t－17所以M(a<－.(16分
320. 解析：(1 当n为奇数时，an＋1－an＝2(n＋1－1－(2n－1＝2>0，所以an＋1≥an.(2分
an－2＋an＋2＝2(n－2－1＋2(n＋2－1＝2(2n－1＝2an；(4分
当n为偶数时，an＋1－an＝2(n＋1－2n＝2>0，所以an＋1≥an.

an－2＋an＋2＝2(n－2＋2(n＋2＝4n＝2an. 所以数列{an}是“R(2数列”．(6分 (2 由题意可得bn－3＋bn＋3＝2bn， 则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，
数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，
数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3.(8分
因为bn≤bn＋1，所以b3n＋1≤b3n＋2≤b3n＋4， 所以b1＋nd1≤b2＋nd2≤b1＋(n＋1d1， 所以n(d2－d1≥b1－b2，① n(d2－d1≤b1－b2＋d1.②
b1－b2若d2－d1<0，则当n>时，①不成立；
d2－d1b1－b2＋d1若d2－d1>0，则当n>时，②不成d2－d1立．
若d2－d1＝0，则①和②都成立，所以d1＝d2. 同理得d1＝d3，所以d1＝d2＝d3，记d1＝d2＝d3＝d.(12分


设b3p－1－b3p－3＝b3p＋1－b3p－1＝b3p＋3－b3p＋1＝λ，
则b3n－1－b3n－2＝b3p－1＋(n－pd－[b3p＋1＋(n－p－1d] ＝b3p－1－b3p＋1＋d＝d－λ.(14分
同理可得b3n－b3n－1＝b3n＋1－b3n＝d－λ，所以bn＋1－bn＝d－λ.
所以{bn}是等差数列．(6分
另解：λ＝b3p－1－b3p－3＝b2＋(p－1d－[b3＋(p－2d]＝b2－b3＋d，
λ＝b3p＋1－b3p－1＝b1＋pd－[b2＋(p－1d]＝b1－b2＋d，
λ＝b3p＋3－b3p＋1＝b3＋pd－(b1＋pd＝b3－b1，
2以上三式相加可得3λ＝2d，所以λ＝d，(123分
所以b3n－2＝b1＋(n－1d＝b1＋(3n－2－d1，
3b3n－1＝b2＋(n－1d＝b1＋d－λ＋(n－1d＝

db1＋(3n－1－1，
3b3n＝b3＋(n－1d＝b1＋λ＋(n－1d＝b1＋d(3n－1，
3dd所以bn＝b1＋(n－1，所以bn＋1－bn＝，
33所以数列{bn}是等差数列．(16分 21. A. 解析：延长PT交⊙O2于点C， 连结O1P，O2C，O1O2，则O1O2过点T. 由切割线定理得PM2＝PC·PT＝3. 因为∠O1TP＝∠O2TC，
△O1TP与△O2TC均为等腰三角形，(5分 PTPO1所以△O1TP∽△O2TC，所以＝＝2，
CTCO2PT23所以＝，即PC＝PT. PC323因为PC·PT＝PT·PT＝3，所以PT＝2.(102分
1x0x0＝＝λ， B. 解析：由已知得02121

λ＝2，10.(4分 所以所以A＝02x＝0，ab， 设A＝cd－110ab10＝， 则AA＝02cd01－1ab10＝， 即2c2d011所以a＝1，b＝c＝0，d＝，
210－1所以λ＝2，A＝1.(10分
02x＝t－1，C. 解析：曲线的普通方程为y＝2y＝t－1x2＋2x.(4分
y＝x，x＝0，x＝－1，联立解得或2y＝x＋2x，y＝0y＝－1，(8分
所以A(0，0，B(－1，－1，
所以AB＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝2.(10分


D. 解析：因为a>1，b>1，
b2a2所以＋4(a－1≥4b，＋4(b－1≥a－1b－14a.(4分
b2a2两式相加＋4(a－1＋＋4(b－1≥a－1b－14b＋4a，
b2a2所以＋≥8.(8分
a－1b－1b2a2当且仅当＝4(a－1且＝4(b－1时，a－1b－1等号成立，
b2a2即当a＝b＝2时，＋取得最小值为a－1b－18.(10分
22. 解析：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0，0，0，B(4，0，0，C(4，2，0，D(0，4，0，P(0，0，4．
(1 由题意可知，＝(0，－4，4，＝(4，－2，0．
设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z，


－4y＋4z＝0，则即
4x－2y＝0.令x＝1，则y＝2，z＝2. 所以n1＝(1，2，2．(3分
平面ACD的法向量为n2＝(0，0，1， |n1·n2|2所以|cos〈n1，n2〉|＝＝，
|n1||n2|32所以二面角PCDA的余弦值为.(5分
3
(2 由题意可知，＝(4，2，－4，＝(4，－2，0．
设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ，
则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ．(7分 因为DC＝DH，
所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，
1化简得3λ－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝. 32

1因为点H异于点C，所以λ＝.(10分
323. 解析：①当n＝1时，等式右边＝1111＋1－sin1＋2xsinx－sinx221－＝＝ 1212sinx2sinx22111×[(sinxcosx＋cosxsinx－(sinxcos12222sinx21x－cosxsinx]

2＝cosx＝等式左边，等式成立．(2分 ②假设当n＝k时等式成立，
即cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＝1sink＋2x1－. 122sinx21那么，当n＝k＋1时，有
cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＋cos(k＋1x

1sink＋2x1＝－＋cos(k＋1x 122sinx211＝×{sin（k＋1）x－2x＋2sin122sinx211x·cos(k＋1x}－
21＝×[sin(k＋1xcosx－cos(k＋122sinx21111xsinx＋2sinxcos(k＋1x]－
22211sin（k＋1）xcosx＋cos（k＋1）xsinx22＝12sinx21－
21sink＋1＋2x1＝－. 122sinx21

这就是说，当n＝k＋1时等式也成立． 根据①和②可知，对任何n∈N*等式都成立．(6分
(2 由(2可知，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋1sin2 018＋2x1cos2 018x＝－，
122sinx2两边同时求导，得－sinx－2sin2x－3sin3x－…－2 018sin2 018x
111＝×[(2 018＋cos(2 018＋xsinx222212sinx2111－sin2 018＋2xcosx]，(8分 221π2π3π所以－sin－2sin－3sin－…－2 6662 018π018sin

6ππ11＝×[2 018＋2cos2 018＋2sin12π62sin2121ππ11－sin2 018＋2cos]＝ 2126

2 015－3，
2π2π3π4π所以sin＋2sin＋3sin＋4sin66662 018π2 015＋…＋2 018sin＝3－.(10分
62


2018南通一模(四)数学-

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