浙江省绍兴市诸暨市2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)-

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诸暨市2018－2019学年高二下学期期末考试
数学试卷
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U{1,2,3,4}，A{1,2}，B{2,3}，则ðUAIB等于（） A. 4 【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用补集与交集的运算法则求解即可．
【详解】解：∵集合A{1,2}，B{2,3}，AB{2}， 由全集U{1,2,3,4}，ðUAIB{1,3,4}． 故选：B．
【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．

2.已知i是虚数单位，i21，则计算A. 1i 【答案】A 【解析】 【分析】
根据虚数单位i的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值． 【详解】解：Qi21，
B. 1i B. 1,3,4
C. 2,4
D. 3,4
2i的结果是（） 1iC. 1i
D. 1i
2i2i(1i22i1i， 1i(1i(1i2故选：A．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

- 1 -

x2y23.椭圆1的焦点坐标是（ ）
45A. 1,0 B. 3,0 C. 0,1 D. 0,3
【答案】C 【解析】 【分析】
从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据c2a2b2求c的值. 【详解】由椭圆方程得：a25,b24，所以c21，又椭圆的焦点在y上，
所以焦点坐标是0,1. 【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是x轴型还是y轴型，防止坐标写错.
4.函数f(xx2lnxsinx1的导函数是（）
A. 2x1xcosx1 B. 2x1xcosx C. 2x1xcosx
D. 2x1xcosx
【答案】D 【解析】 【分析】
根据导数的公式即可得到结论．
【详解】解：由f(xx2lnxsinx1，得f(x2x1xcosx 故选：D．
【点睛】本题考查了导数的基本运算，属基础题．

5.设x是实数，则“|x1|2”是“|x-2|<1”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
- 2 -
【解析】 【分析】
求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】解：设x是实数，若“|x1|2”则：2x12， 即：3x21，不能推出“|x-2|<1”
若：“|x-2|<1”则：1x21，即：0x12，能推出“|x1|2” 由充要条件的定义可知：x是实数，则“|x1|2”是“|x-2|<1”的必要不充分条件； 故选：B．
【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.用数学归纳法证明：“1(12(123L(123Ln由nk到nk1时，等式左边需要添加的项是（） A. n(n1(n2”，6k(k1 2k(k1(k1(k21L 22B. k(k11 2(k1(k2
2C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
写出nk时，左边最后一项，nk1时，左边最后一项，由此即可得到结论
k(k1，
2(k1(k2， nk1时，左边最后一项为123..(k12(k1(k2∴从nk到nk1，等式左边需要添加的项为一项为
2【详解】解：∵nk时，左边最后一项为123k故选：D．
【点睛】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

7.将函数ysin2x
23的图形向左平移个单位后得到的图像关于y轴对称，则正数- 3 -
的最小正值是（） A. 3B. 12 C. 5 6D. 5
12【答案】D 【解析】 【分析】
由题意利用函数yAsin(x的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】解：将函数ysin2x23的图形向左平移个单位后，
可得函数ysin2x223的图象，
再根据得到的图象关于y轴对称，可得2令k1，可得正数的最小值是故选：D．
2kk,kZ，即， 322125，
12【点睛】本题主要考查函数yAsin(x的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．

8.某几何体的三视图如图所示，当ab4时，这个几何体的体积为（）

A. 1 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 1
2C. 4
3D. 2
3- 4 -
三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值． 【详解】解：如图所示，可知AC6,BD1,BCb,ABa．

设CDx,ADy，
则xy6,x1b,y1a，
222222(ab2消去x,y得ab8，
22222所以ab4，
当且仅当ab2时等号成立，此时x3,y3， 所以V111133． 322故选：B．
【点睛】本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是中档题．

ruruururuururuurruurru9.已知e1，e2是单位向量，且e1e20，向量a与e1，e2共面，ae1e21，则数量积rruruuraa2e12e2=（ ）
A. 定值－1 C. 最大值1，最小值－1 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 定值1 D. 最大值0，最小值－1 uruurr由题意可设e1(1,0,e2(0,1，a(x,y，再表示向量的模长与数量积，
ruruururuurruruur【详解】由题意设e1(1,0,e2(0,1，则向量axe1ye2(x,y，且ae1e21，

- 5 -
ruruur所以ae1e2(x1,y1，
所以(x1(y11，
22ruruur又a2e12e2(x2,y2，
rruruur22所以数量积aa2e12e2x(x2y(y2(x1(y12121，
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。

10.已知三棱锥PABC的底面ABC是等边三角形，点P在平面ABC上的射影在ABC内（不包括边界），PAPBPC.记PA，PB与底面所成角为，；二面角PBCA，PACB的平面角为，，则，，，之间的大小关系等确定的是（）
A.
C. 是最小角，是最大角 【答案】C 【解析】 【分析】
过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过O作OD⊥AB，交AB于D，过O作OE⊥BC，交BC于E，过O作OF⊥AC，交AC于F，推导出OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，由此得到结论．
【详解】解：如图，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O， 过O作OD⊥AB，交AB于D， 过O作OE⊥BC，交BC于E， 过O作OF⊥AC，交AC于F， 连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，
B. D. 只能确定，

- 6 -

∵△ABC为正三角形，PA＜PB＜PC，
二面角P−BC−A，二面角P−AC−B的大小分别为，，
PA，PB与底面所成角为，，
∴＝∠PAO，＝∠PBO，γ＝∠PEO，＝∠PFO，
OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，
在直角三角形OAF中，OFOAsinOAF， 在直角三角形OBE中，OEOBsinOBE，
OA＜OB，∠OAF＜∠OBE，
则OF＜OE，同理可得OD＜OF， ∴OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA， ∴＜，＜，＞，＜， 可得是最小角，是最大角， 故选：C．
【点睛】本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.4129log22________；lg5lg255________. 【答案】 (1. 【解析】 【分析】

3 (2. －3 2- 7 -
利用分数指数幂与对数的运算规则进行计算即可。 【详解】412993， 42lg5lg225log52lg5lg22lg5lg22lg(522123
故答案为：(1. 3 (2. －3 2【点睛】本题考查分数指数幂与对数的运算规则，是基础题。

x212.双曲线y21的离心率________；焦点到渐近线的距离________. 3【答案】 (1. 【解析】 【分析】
23 (2. 1 3x2由双曲线y21得a3,b1，再求出c，根据公式进行计算就可得出题目所求。
3x2【详解】由双曲线y21得，a3,b1，
3c312， 一个焦点坐标为(2,0， 离心率c223， a331x，即x3y0，
3又其中一条渐近线方程为：y焦点到渐近线的距离故答案为：(1. 21 1323 (2. 1 3【点睛】本题考查双曲线的相关性质的计算，是基础题。


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xy013.若x，y满足不等式2xy100，则2xy的取值范围是________. xy50【答案】【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
15,30 2xy0【详解】解：由x，y满足不等式2xy100作出可行域如图，
xy50
令z2xy，
目标函数经过A点时取的最小值， 联立xy01555，解得A,时z得最小值，z．
222xy5目标函数经过B点时取的最大值，
xy联立，解得B(10,10，此时z取得最大值，z30．
2xy100
- 9 -
所以，z＝2x＋y的取值范围是15,30． 2故答案为：15,30 2【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

14.若2sin3cos，则tan________；cos2________ 6【答案】 (1. 【解析】 【分析】
213 (2. ， 37用两角和的正弦公式将2sin3cos展开，即可求出tan，再结合同角三角函数6的基本关系及倍角公式，可求出cos2。
Q2sin3cos，2（sincoscossin3cos， 【详解】6663sincos3cos,3sin2cos23tan3又Qsin2.
cos21,sin2,
4741cos212sin212
77故答案为：(1. 213 (2. ， 37【点睛】本题考查三角恒等变形及同角三角函数的基本关系，是基础题。

15.函数f(xxx1e（其中e2.718…是自然对数的底数）的极值点是________；极大值________. 2x
- 10 -
【答案】 (1. 1或－2 (2. 【解析】 【分析】
5 e2'对f(x求导，令f(x0，解得零点，验证各区间的单调性，得出极大值和极小值．
【详解】解：由已知得
f'(xx2x12x1exx2x2ex(x 2 (x1ex，
Qex0，令f'(x0，可得x2或x1，
当x2时f'(x0，即函数f(x在(,1上单调递增；
当2x1时，f(x0，即函数f(x在区间(1,0上单调递减；
当x1时，f'(x0，即函数f(x在区间(0,上单调递增．
故f(x的极值点为2或1，且极大值为f(25e2． 故答案为：(1. 1或－2 (2. 5e2． 【点睛】本题考查了利用导函数求函数极值问题，是基础题．

16.已知a,b0，则ba4aab的最小值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】
b4abaaba141b1，利用基本不等式求解即可． a【详解】解：Qa,b0,ba4aabba14b41b12a1b13，a1ab当且仅当a141b，即ab1时取等号。
a故答案为：3．

- 11 -
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键要变形凑出积为定值的形式，属基础题．

17.设函数f(x的定义域为R，满足f(x12f(x，且当x(0,1]时，f(xx(x1.若对任意的x(,m]，都有f(x3，则m的取值范围是________. 213,【答案】 4【解析】 【分析】
由f(x12f(x，得f(x2f(x1，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围． 【详解】解：Qf(x12f(x，f(x2f(x1，
1Qx(0,1]时，f(xx(x1[,0]，
4
1x(1,2]时，x1(0,1],f(x2f(x12(x1(x2,0；
2x(2,3]时，x1(1,2],f(x2f(x14(x2(x3[1,0]； x(3,4]时，x1(2,3],f(x2f(x18(x3(x4[2,0]；
当x(3,4]时，由8(x3(x431315，解得x或x，
442
- 12 -
若对任意x(,m]，都有f(x故答案为：,313，则m。
4213。 4【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数f(xsin2x(0的最小正周期为. 3x0,时，求函数f(x的值域； （1）当2（2）已知ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f3A，且a4，22bc5，求ABC的面积. 33,1（Ⅱ）3 【答案】（Ⅰ）42【解析】 【分析】
（1）利用周期公式求出ω，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数f（x）的值域； （2）求出A，利用余弦定理求出bc，然后求解三角形的面积． 【详解】解：（1）f(x的最小正周期是，得当x0,2，1
42x 时，33323,1 2所以，此时f(x的值域为（2）因为f23AAA，所以， sinA333322∴a2 b2c22bccosAb2c2bc

- 13 -
16 (bc23bc253bc，bc3
133 ABC的面积SABCbcsinA24【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．

19.如图，在三棱锥DABC中，DADBDC，D在底面ABC上的射影E在AC上，DFAB于F.
（1）求证：BC平行平面DEF，平面DAB平面DEF； （2）若BACADC3，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析（2）【解析】 【分析】
15
5（1）证明EF∥BC，从而BC∥平面DEF，结合AB⊥DF，AB⊥DE，推出AB⊥平面DEF，即可证明平面DAB⊥平面DEF．
（2）在△DEF中过E作DF的垂线，垂足H，说明∠EBH即所求线面角，通过求解三角形推出结果．
【详解】解：（1）证明：因为DADBDC，所以E，F分别是AB，AC的中点 所以EF∥BC，从而BC∥平面DEF
又ABDF，ABDE，所以AB平面DEF 从而平面DAB平面DEF
（2）在DEF中过E作DF的垂线，垂足H 由（1）知EH平面DAB，EBH即所求线面角 由F是AB中点，ABEF得EAEB

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设AC2，则BE1，因为BACADC3，
则DE3，EF31515，DF，EH 225EH15
EB5所以所求线面角的正弦值为sinEBF【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题。

*20.已知数列an满足a11，且an12an1nN. （1）设bnan1nN*，求证数列b是等比数列；
n（2）设cnan2n，求数列cn的前n项和Tn. n22n22n1【答案】（1）详见解析（2）Tnn1
22n2n2【解析】 【分析】
2an1）（1）由已知数列递推式可得an1+1（，又bnan1，得bn12bn，从而可得数列bn是等比数列；
（2）由（1）求得数列bn的通项公式，得到数列an的通项公式，进一步得到cn，然后分类分组求数列cn的前n项和Tn．
*【详解】（1）由已知得anbn1代入an12an1nN得
bn112bn11 bn12bnnN*
又b1a1120，所以数列bn是等比数列
nnn（2）由（1）得bn2，an21，cn22n1
Sn21222n2(12nn


- 15 -
2n1n22n2
n因为c10，c20，c30，且n3时，cn1cn220 2n1所以当n2时，TnSnn2n22
当n3时，
Tnc1c2c3Lcnc1c2c3Lcn2c1c2 Sn42n1n22n2. n22n22n1所以Tnn1
22n2n2【点睛】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了数列的分组求和，属中档题．

21.已知F是抛物线C:y2px(p02焦点，点P(1,t(t0是抛物线C上一点，且|PF|2. （1）求t，p的值；
（2）过点P作两条互相垂直的直线，与抛物线C的另一交点分别是A，B. ①若直线AB的斜率为2，求AB的方程；
5②若ABC的面积为12，求AB的斜率. 【答案】（1）p2，t2（2）①2x5y0②-2-【解析】 分析】
（1）直接利用抛物线方程，结合定义求p的值；然后求解t； （2）①直线AB的斜率为2，设出方程，A、B坐标，与抛物线联立，然后求AB的方程；
5p2，p2
2②求出三角形的面积的表达式，结合△ABC的面积为12，求出m，然后求AB的斜率． 【详解】解：（1）由抛物线定义得1的2或22
- 16 - t24，t2
（2）设PA方程为x1m(y2，Ax1,y1，Bx2,y2


与抛物线方程联立得y4my8m40 由韦达定理得：2y18m4，即y14m2 类似可得y2242
m12y2y1411①直线AB的斜率为，m2或m， 5x2x1y2y1m12m当m2时，PA方程为x12(y2，A25,10,B(0,0 此时直线AB方程是2x5y0。同理，当m1时，直线AB的方程也是2x5y0，
2综上所述：直线AB的方程是2x5y0 ②SPAB41m111412 |PA||PB|1m2|4m4|12482m22mm2m22或m1
2kAB1221或22 m1m【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力.
22.已知函数f(xaxln(1x，其中aR. （1）讨论f(x的单调性；
（2）当x1时，f(x0恒成立，求a的值；
（3）确定a的所有可能取值，使得对任意的x0，f(x的1ex恒成立. 1x【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）a1（3）a1 【解析】 【分析】
（1）求出导函数，通过当a0时，当a0时，判断函数的单调性即可． （2）由（1）及f(00知a0所以f用导数求出极值点，转化求解a1．
111alna0，令g(a1alna，利a
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111xxh(xaee，则 （3）记h(xaxln(1x，说明a1，1x(1x21x由（2）a1lna，aln(1a，所以ea1(aR利用放缩法，转化求解即可．．
a【详解】解：（1）f(xa1ax(a1 1x1x当a0时，函数f(x在(1,上单调递减 当a0时，函数f(x在1,111上单调递减，在1,上单调递增 aa（2）由（1）及f(00知a0
1f所以11alna0 a令g(a1alna，则g(a11，g(ag(10
a所以1alna0，且等号当且仅当a1时成立 若当x1时，f(x0恒成立，则a1 （3）记h(xaxln(1x则h(xa1ex 1x11xe 1x(1x2又h(00，故h(x在x0的右侧递增，h(00，a1
由（2）a1lna(a0，aln(1a(a1，所以ea1(aR 当a1时，h(xa2a11111xe1 1x(1x21x(1x21x110
1x综上a取值范围是a1
【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意放缩法的应用．


- 18 -

浙江省绍兴市诸暨市2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)-

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