中小学教师教学能力水平考核

初中数学试卷

应考教师须知：

1.本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟.

2.答题前，请在密封区内填写市(县)名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称.

3.答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁.

4.加*号的试题, 申报高级职称者必做, 申报中级职称者不做.

第一部分（30分）

1．《数学课程标准》在课程的目标中, 不仅使用 “了解, 理解, 掌握和灵活运用” 等刻画知识技能的目标动词, 而且使用了 “经历(感受), 体验(体会), 探索” 等刻画数学活动水平的过程性目标动词. 请结合你的具体教学, 谈谈你在教学中如何实施这些过程性的目标.

根据《基础教育课程改革纲要（试行）》，结合数学教育的特点，《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面作出了进一步的阐述.

..《标准》中不仅使用了"了解（认识）、理解、掌握、灵活运用"等刻画知识技能的目标动词，而且使用了"经历（感受）、体验（体会）、探索"等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了《标准》对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求.

知识技能目标了解(认识)能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征(或意义)；能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象.

理解能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系..

掌握能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中.

灵活运用能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。

过程性目标经历(感受)在特定的数学活动中，获得一些初步的经验.

体验(体会)参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些经验.

探索主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系.

2.目前我们已经进入了信息时代, 计算机在人类生产生活中起到了举足轻重的作用. 请说明数学与计算机的结合有着哪些重要意义? 数学课程的设计应如何重视现代信息技术的运用?

数学与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的发展，使得数学可以更好地帮助我们探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为我们交流信息提供了一种有效而简捷的手段。在数学课程的设计中，应充分考虑计算器对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的，探索性的数学活动中.

第二部分（30分）

3. 同一个数学问题, 由于观察的角度不同, 对问题的分析, 理解的层次不同, 就可以导致转化目标与方法的不同. 但共同的目的都是为了做到化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体……

请说明在利用化归思想解决思想问题时, 重点要注意的问题是什么? 并举出一个你印象最为深刻的利用化归思想解题的例子.

参考答案：

一、方程思想的运用

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便.

用方程思想的核心是揭示题目中隐含的数量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与未知的联系，从而使问题得到解决.

二、数形结合的思想运用

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。也就是说教师、学生都要投入到教学活动中来。学生的参与尤其重要，如果没有学生的积极参与，这样的教学活动绝不会是成功的.如定理教学是数学教学的重点.如何使学生发现定理的形成过程、定理证明思维来历，特别是辅助线的添加方法一直是教学中研究的重点.

在《三角形中位线定理》一节课的教学中，我们运用计算机辅助教学手段，采用《几何面板》软件，给学生创设了一个理想的情境，所画的三角形可以任意变化，（体现定理对于任意三角形都成立）可测算出一组同位角始终相等，中位线的长是第三边长的一半.学生经过对图形的观察很容易得到定理的结论.定理的证明实质是经过平移变换或旋转变换，将三角形图形转化为平行四边形而证明的.（几何画板）能很好地演示上述过程。所以，定理的证明思路、辅助线的添加方法都显得十分自然.在教师的引导下，学生积极地参与，整个教学过程是学生的思维步步深入的过程，达到了理想的教学效果.

数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。在解题方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的。数形结合思想的应用分为两种情形:一种是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数论形”；另一种是借助于形的几何直观性来表示数之间的某些关系，即“以形促数”。运用数形结合思想解题，易于寻找解题途径，可避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

三、分类讨论思想运用

分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想。正确应用分类思想，是完整解题的基础。例如，在学了角的比较大小后，对于小于平角的角分为锐角、直角、钝角三类，就是分类思想的体现。同一类事物按不同标准可进行不同的分类，但在同一标准下必须做到不重、不漏.

把一个数学问题的研究对象按一定的标准分成几个部分或几种情况，化整为零，一一解决，实际上是一种“分而治之，各个击破”的策略。其步骤为:

1.确定分类对象—理解分类概念；

2.恰当合理分类—掌握分类原则；

3.逐步逐级讨论—学会分类方法；

4.综合概括叙述—培养逻辑思维。

分类讨论的原则是:对象确定，标准统一；分层次，不越级；不重复,不遗漏.

有关分类讨论思想的数学问题在数学学习过程中之所以占有重要位置，原因是它具有明显的逻辑性特点，能很好地训练一个人的思维的条理性和概括性。

四、转化化归思想的运用

复杂的问题转化为简单的问题来解，未知的问题转化为已知的问题来解……数学问题往往是在不断的转化中达到解决目的。同一个数学问题，由于观察的角度不同，对问题的分析、理解的层次不同，可以导致目标的不同与解题方法的不同，但目的只有一个—尽量做到化繁为简、化难为易、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体。

转化包括等价转化和非等价转化两种。等价转化要求转化过程中的前因后果是互相可推的。但事实上并不是所有的转化都是等价的，因此，在转化过程中，一定要注意转化前后的等价性，如出现不等价转化，则需附加约束条件。

总之，数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。任何数学难题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想是教材体系的灵魂，是教学设计的指导，是课堂教学的统帅，是解题思维的指南。把数学知识的精髓—数学思想方法纳入基础知识的范畴，是加强数学素质教育的一个重要举措。随着对数学思想方法教学研究的深入，在教学中渗透数学思想方法的实施，必将进一步提高数学教学质量.

4．“等腰三角形”是一种特殊而重要的三角形, 是学习几何图形的基础，也是图形变换和演绎推理的重要元素之一. 请你针对“等腰三角形的判定”这一教学内容(老教材浙教版第三册9.13节“等腰三角形的判定定理”; 新教材华师大版七年级下9.3-2“等腰三角形的识别”), 写出教学设计过程中的教学目标, 重点难点和注意事项. (请说明自己的教学设计根据的教材版本, 不需整堂课的设计）.

参考答案：

目标：

⑴.增加识别等腰三角形的方法；

⑵.与等腰三角形的性质作比较；

⑶.引申到等边三角形的判定.

重点难点：

第一次利用辅助线证明或折叠对称合情说理.

注意事项：

⑴.添辅助线的意义，表述和要求；

⑵.合情说理和演绎证明的关系；

⑶.等边对等角和等角对等边的互逆关系；

⑷.等边三角形和等腰直角三角形两个特例；

⑸.与实际问题联系.

5、(此题为申报高级职称的教师加试题) 有人认为数学是教会的，即数学是通过教师的教，从而转化为学生的数学；也有人认为数学是学会的，即数学是通过学生自己的学，才能转化为学生的数学. 对以上两种教学指导观你的看法怎么样？你在数学教学中遵循的是什么样的指导观？请作简单介绍.

参考答案：

含义：发现学习是教师启发学生独立发现事物意义的学习；接受学习是教师引导学生接受事物意义的学习.

看法应包括两种学习方式的优势及限制，两种学习方式的综合运用，指出两种学习方式是课堂教学，可以共存的互补的.

第三部分（40分）

6. 当为整数时, 关于的方程

是否有有理根? 如果有,求出的值; 如果没有, 请说明理由.

略解：

当为整数时，当为整数时, 关于的方程

没有有理根.理由如下：

①. 当为整数时，若原方程有有理根，则要△=为完全平方数，否则开方不尽，则有根则为无理根.而△=

设△=，即（为整数）

故有.

∵与的奇偶性相同 并且都是整数.

∴或

解得：或（都不合题意，舍去）

②.当时，（不合题意，舍去）

∴所以当关于的方程没有有理根.

7. 如图, 两圆同心, 半径分别为6与8, 又矩形的边和分别为小大两圆的弦. 矩形面积最大时, 求此矩形的周长.

略解：

作于点,于点,于点,则四边形是矩形.

∴△=△.同理：△=△

∵∴，则.

∴△≌△∴△=矩形

∴△=矩形

又△

当,△的面积最大，此时矩形的面积最大.

在△中，

∴,则.

∵△

∴

∴

则矩形的周长是：.

8.在一个抛物线型的隧道模型中，用了三种正方形的钢筋支架，画设计图时，如果在直角坐标系中，抛物线的解析式为，正方形的边长和正方形边长之比为5：1，求正方形的边长.

略解：

⑴.因各点坐标都关于轴对称，可以设特殊坐

点的标；由抛物线的函数解析式.

∵设，则

又∵抛物线关于轴对称

故可得代入建立方程组

解得：

故抛物线的解析式中的值为

⑵.

∵正方形的边长与正方形边长之比为5：1.且.

∴

∴根据对称性等可知，即

设，则

代入整理：

解得:,负根舍去.则

所以正方形的边长为.

9.某单位化50万元买回一台高科技设备. 根据对这种型号设备的跟踪调查显示, 该设备投入使用后, 若将养护和维修的费用均摊到每一天, 则有结论: 第天应付的养护和维修费为元.

⑴.如果将该设备从开始投入使用到报废所付的养护费, 维修费及设备购买费之和均摊到每一天, 叫做日平均损耗. 请你将日平均损耗(元)表示为(天)的函数;

⑵.按照此行业的技术和安全管理要求, 当此设备的日平均损耗达到最小值时, 就应当报废. 问该设备投入使用多少天应当报废?

注: 在解本题时可能要用到以下两个知识点, 如果需要可直接引用结论.

①.对于任意正整数, 有;

②.对于任意正数和正实数, 有：

, 当时, 函数可取到最小值.

略解：

⑴.由题意知从第一天到第天所付的养护费，维修费用的总和为（单位：元）：

所以日平均损耗函数：.

⑵.由

即 解得：

故设备投入使用2000天应当报废.

答：该设备投入使用应当报废.

教师职称考试（初中数学试卷）