2017年山东省潍坊市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分）

1．（3分）下列算式，正确的是（　　）

A．a3×a2=a6 B．a3÷a=a3 C．a2+a2=a4 D．（a2）2=a4

2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（　　）

A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014

4．（3分）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）

5．（3分）用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．

A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B

6．（3分）如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β=180° B．∠β﹣∠α=90° C．∠β=3∠α D．∠α+∠β=90°

7．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中，每人射击了10次，甲、乙两人的成绩如表所示．丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均数与方差两个因素分析，应选（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8．（3分）一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2

10．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．80° D．90°

11．（3分）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]=x2的解为（　　）

A．0或 B．0或2 C．1或 D．或﹣

12．（3分）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　）

A．或2 B．或2 C．或2 D．或2

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分。只要求填写最后结果，每小题全对得3分）

13．（3分）计算：（1﹣）÷=　 　．

14．（3分）因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）

16．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是　 　．

17．（3分）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为　 　个．

18．（3分）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE=BC．则矩形纸片ABCD的面积为　 　．

三、解答题（共7小题，满分66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．

（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；

（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？

（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？

20．（8分）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）

21．（8分）某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜苔共用去16万元．

（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？

（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？

22．（8分）如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．

（1）求证：EF为半圆O的切线；

（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）

23．（9分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

24．（12分）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2

（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．

（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．

①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；

②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）

25．（13分）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

2017年山东省潍坊市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分）

1．（3分）（2017•潍坊）下列算式，正确的是（　　）

A．a3×a2=a6 B．a3÷a=a3 C．a2+a2=a4 D．（a2）2=a4

【分析】根据整式运算法则即可求出答案．

【解答】解：（A）原式=a5，故A错误；

（B）原式=a2，故B错误；

（C）原式=2a2，故C错误；

故选（D）

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

2．（3分）（2017•潍坊）如图所示的几何体，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上边看是一个同心圆，內圆是虚线，

故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，注意看得到的线用虚线．

3．（3分）（2017•潍坊）可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（　　）

A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将1000亿用科学记数法表示为：1×1011．

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2017•潍坊）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）

【分析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．

【解答】解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．

故选B．

【点评】本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定，正确确定x轴、y轴的位置是关键．

5．（3分）（2017•潍坊）用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．

A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B

【分析】此题实际是求﹣的值．

【解答】解：在计算器上依次按键转化为算式为﹣=；

计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．

故选A．

【点评】本题主要考查了利用计算器计算结果，要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．

6．（3分）（2017•潍坊）如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β=180° B．∠β﹣∠α=90° C．∠β=3∠α D．∠α+∠β=90°

【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠α，∠2=180°﹣∠β，于是得到结论．

【解答】解：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠1=∠α，∠2=180°﹣∠β，

∵∠BCD=90°，

∴∠1+∠2=∠α+180°﹣∠β=90°，

∴∠β﹣∠α=90°，

故选B．

【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．

7．（3分）（2017•潍坊）甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中，每人射击了10次，甲、乙两人的成绩如表所示．丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均数与方差两个因素分析，应选（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【分析】求出丙的平均数、方差，乙的平均数，即可判断．

【解答】解：丙的平均数==9，丙的方差=[1+1+1=1]=0.4，

乙的平均数==8.2，

由题意可知，丙的成绩最好，

故选C．

【点评】本题考查方差、平均数、折线图等知识，解题的关键是记住平均数、方差的公式，属于基础题．

8．（3分）（2017•潍坊）一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab＜0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置．

【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，

满足ab＜0，

∴a﹣b＞0，

∴反比例函数y=的图象过一、三象限，

所以此选项不正确；

B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，

满足ab＜0，

∴a﹣b＜0，

∴反比例函数y=的图象过二、四象限，

所以此选项不正确；

C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，

满足ab＜0，

∴a﹣b＞0，

∴反比例函数y=的图象过一、三象限，

所以此选项正确；

D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，

满足ab＞0，与已知相矛盾

所以此选项不正确；

故选C．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键．

9．（3分）（2017•潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围；

【解答】解：由题意可知：

∴解得：x≥2

故选（B）

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

10．（3分）（2017•潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．80° D．90°

【分析】根据四点共圆的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：，则∠DBC=2∠EAD=80°．

【解答】解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，

∴∠GBC=∠ADC=50°，

∵AE⊥CD，

∴∠AED=90°，

∴∠EAD=90°﹣50°=40°，

延长AE交⊙O于点M，

∵AO⊥CD，

∴，

∴∠DBC=2∠EAD=80°．

故选C．

【点评】本题考查了四点共圆的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题．

11．（3分）（2017•潍坊）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]=x2的解为（　　）

A．0或 B．0或2 C．1或 D．或﹣

【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x≤2时，则x2=1；当﹣1≤x≤0时，则x2=0，当﹣2≤x＜﹣1时，则x2=﹣1，然后分别解关于x的一元二次方程即可．

【解答】解：当1≤x＜2时，x2=1，解得x1=，x2=﹣；

当x=0，x2=0，x=0；

当﹣1≤x＜0时，x2=﹣1，方程没有实数解；

当﹣2≤x＜﹣1时，x2=﹣1，方程没有实数解；

所以方程[x]=x2的解为0或．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的大小比较．

12．（3分）（2017•潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　）

A．或2 B．或2 C．或2 D．或2

【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，①如图①，根据已知条件得到BD=×2×3=2，如图②，BD=×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，连接OD，根据勾股定理得到结论，

【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，

∵点B为的中点，

∴BD⊥AC，

①如图①，

∵点D恰在该圆直径的三等分点上，

∴BD=×2×3=2，

∴OD=OB﹣BD=1，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DE=BD=1，

∴OE=2，

连接OD，

∵CE==，

∴边CD==；

如图②，BD=×2×3=4，

同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，

连接OD，

∵CE===2，

∴边CD===2，

故选D．

【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分。只要求填写最后结果，每小题全对得3分）

13．（3分）（2017•潍坊）计算：（1﹣）÷=　x+1　．

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．

【解答】解：（1﹣）÷

=

=

=x+1，

故答案为：x+1．

【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．

14．（3分）（2017•潍坊）因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　（x+1）（x﹣2）　．

【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解．

【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．

故答案是：（x+1）（x﹣2）．

【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

15．（3分）（2017•潍坊）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　DF∥AC，或∠BFD=∠A　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）

【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．

【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．

理由：∵∠A=∠A，==，

∴△ADE∽△ACB，

∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，

∴△BDF∽△EAD．

②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，

∴△FBD∽△AED．

故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

16．（3分）（2017•潍坊）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是　k≤1且k≠0　．

【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，

∴△=b2﹣4ac≥0，

即：4﹣4k≥0，

解得：k≤1，

∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，

故答案为：k≤1且k≠0．

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．

17．（3分）（2017•潍坊）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为　9n+3　个．

【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．

【解答】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，

∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；

∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，

∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；

∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，

∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，

…，

∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．

故答案为：9n+3．

【点评】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．

18．（3分）（2017•潍坊）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE=BC．则矩形纸片ABCD的面积为　15　．

【分析】根据翻折变化的性质和勾股定理可以求得BC和AB的长，然后根据矩形的面积公式即可解答本题．

【解答】解：设BE=a，则BC=3a，

由题意可得，

CB=CB′，CD=CD′，BE=B′E=a，

∵B′D′=2，

∴CD′=3a﹣2，

∴CD=3a﹣2，

∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2，

∴DB′===2，

∴AB′=3a﹣2，

∵AB′2+AE2=B′E2，

∴，

解得，a=或a=，

当a=时，BC=2，

∵B′D′=2，CB=CB′，

∴a=时不符合题意，舍去；

当a=时，BC=5，AB=CD=3a﹣2=3，

∴矩形纸片ABCD的面积为：5×3=15，

故答案为：15．

【点评】本题考查翻折变化、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用翻折的性质和矩形的面积公式解答．

三、解答题（共7小题，满分66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）（2017•潍坊）本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．

（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；

（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？

（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？

【分析】（1）利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然后计算出合格的人数和合格人数所占百分比，再计算出优秀人数，然后画图即可；

（2）计算出成绩未达到良好的男生所占比例，再利用样本代表总体的方法得出答案；

（3）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率．

【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%=40（人）；

抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2=10，

合格所占百分比：10÷40=25%，

优秀人数：12÷40=30%，

如图所示：

；

（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：25%+5%=30%，

所以600名九年级男生中有600×30%=180（名）；

（3）如图：

，

可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，

所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率P==．

【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图的应用，由图形获取正确信息是解题关键．

20．（8分）（2017•潍坊）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）

【分析】设每层楼高为x米，由MC﹣CC′求出MC′的长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中，利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′，由C′B′﹣C′A′求出AB 的长即可．

【解答】解：设每层楼高为x米，

由题意得：MC′=MC﹣CC′=2.5﹣1.5=1米，

∴DC′=5x+1，EC′=4x+1，

在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60°，

∴C′A′==（5x+1），

在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30°，

∴C′B′==（4x+1），

∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB，

∴（4x+1）﹣（5x+1）=14，

解得：x≈3.17，

则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米．

【点评】此题属于解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

21．（8分）（2017•潍坊）某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜苔共用去16万元．

（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？

（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？

【分析】（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．构建方程组即可解决问题．

（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工（100﹣m）吨．由m≤3（100﹣m），解得m≤75，利润w=1000m+400（100﹣m）=600m+40000，构建一次函数的性质即可解决问题．

【解答】解：（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．

由题意，

解得，

答：第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．

（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工（100﹣m）吨．

由m≤3（100﹣m），解得m≤75，

利润w=1000m+400（100﹣m）=600m+40000，

∵600＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴m=75时，w有最大值为85000元．

【点评】本题考查了二元一次方程组，一次函数的应用，不等式等知识，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．

22．（8分）（2017•潍坊）如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．

（1）求证：EF为半圆O的切线；

（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）

【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；

（2）直接利用得出S△ACD=S△COD，再利用S阴影=S△AED﹣S扇形COD，求出答案．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵D为的中点，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∵DE⊥AC，

∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，

∴OD⊥EF，

∴EF为半圆O的切线；

（2）解：连接OC与CD，

∵DA=DF，

∴∠BAD=∠F，

∴∠BAD=∠F=∠CAD，

又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，

∴∠F=30°，∠BAC=60°，

∵OC=OA，

∴△AOC为等边三角形，

∴∠AOC=60°，∠COB=120°，

∵OD⊥EF，∠F=30°，

∴∠DOF=60°，

在Rt△ODF中，DF=6，

∴OD=DF•tan30°=6，

在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，

∴DE=DA•sin30，EA=DA•cos30°=9，

∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，

∴CD∥AB，

故S△ACD=S△COD，

∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．

【点评】此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出S△ACD=S△COD是解题关键．

23．（9分）（2017•潍坊）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

【分析】（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；

（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．

【解答】解：

（1）如图所示：

设裁掉的正方形的边长为xdm，

由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，

即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），

答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；

（2）∵长不大于宽的五倍，

∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，

设总费用为w元，由题意可知

w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，

∵对称轴为x=6，开口向上，

∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，

∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，

答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．

【点评】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键．

24．（12分）（2017•潍坊）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2

（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．

（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．

①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；

②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）

【分析】（1）先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM，即可求出CC'；

（2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论；

②先判断出点A，C，P三点共线，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论．

【解答】解：（1）当CC'=时，四边形MCND'是菱形．

理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°，

∵CN是∠ACC'的角平分线，

∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B，

∴∠D'E'C'=∠NCC'，

∴D'E'∥CN，

∴四边形MCND'是平行四边形，

∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，

∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，

∴MC=CE'，NC=CC'，

∵E'C'=2，

∵四边形MCND'是菱形，

∴CN=CM，

∴CC'=E'C'=；

（2）①AD'=BE'，

理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，

由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，

∴△ACD'≌△BCE'，

∴AD'=BE'，

当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，

即：AD'=BE'，

综上可知：AD'=BE'．

②如图连接CP，

在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，

∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，

如图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'=，

∴CP=3，

∴AP=6+3=9，

在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'==2．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（2）的关键是判断出点A，C，P三点共线时，AP最大．

25．（13分）（2017•潍坊）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

【解答】解：

（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴BC=AD=2，

∵B（﹣1，0），

∴C（1，0），

∴线段AC的中点为（，），

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，

∴直线l过平行四边形的对称中心，

∵A、D关于对称轴对称，

∴抛物线对称轴为x=1，

∴E（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+，

联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，

∴F（﹣，），

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，

∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

∴最大值的立方根为=；

（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，

①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴PG=AG，

∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），

②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，

∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，

∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，

∴△PKE∽△AQP，

∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），

综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数示的应用，在（2）中用t表示出△PEF的面积是解题的关键，在（3）中分两种情况，分别利用等腰直角三角形和相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．

2017年山东省潍坊市中考数学试卷（含答案解析）