平方和数列求和

S=12 + 22 + 32 + 42 + ∙∙∙∙∙ + n2 =？

<法一>利用立方差公式:

n3-(n-1)3 = 1∙[n2+(n-1)2+n(n-1)]

=2n2+(n-1)2-n

则n=2时，23 - 13 =2∙22 + 12 - 2

n=3时，33 - 23 =2∙32 + 22 - 3

n=4时，43 - 33 =2∙42 + 32 - 4

∙∙∙∙∙

n3-(n-1)3=2∙n2+(n-1)2-n

将上式累加，

n3-13=2∙ (22+32+...+n2)+[12+22+...+(n-1)2]-(2+3+4+...+n)

=3∙ (12+22+32+...+n2)-2-n2-(1+2+3+...+n)+1

∴3S =n3+n2+n(n+1)

= n(2n+1) (n+1)

∴S= n(2n+1) (n+1)

<法二>由n2=n(n+1)-n，

S=(1x2-1)+(2x3-2)+....+[n(n+1)-n]
=[1x2+2x3+...+n(n+1)]-(1+2+...+n)

设S’=1x2+2x3+...+n(n+1)，则S=S’-n（n+1）

∵n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
∴S’= [1x2x3-0+2x3x4-1x2x3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]

=n(n+1)(n+2)
∴S=n(n+1)(n+2)-n（n+1）

=n(n+1)(n+)

=n(2n+1) (n+1)

<法三>图像法

... ... ...

S=圆圈内所有数字和

将这个正三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个正三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，所有圈内的数字都变成了2n+1

∴S=(2n+1)(1+2+3+...+n)

=n(2n+1) (n+1)

<法四>待定系数法

求和之后的表达式会升一次幂，所以求和的函数最高是三次项。

设f(n)=an3+bn2+cn+d(n是正整数)

n=1, f(1)=1

n=2. f(2) =12 + 22 =5

n=3. f(3) =12 + 22 + 32=14

n=4. f(4) =12 + 22 + 32 + 42 =30

∴ a+b+c+d=1

8a+4b+2c+d=5

27a+9b+3c+d=14

64a+16a+4c+d=30

解得 a=

b=

c=

d=0

∴f(n)= n3+n2+n

延伸：13+ 23+ 33+ 43 + ∙∙∙∙∙ + n3=n2(n+1)2

14+ 24+ 34+ 44 + ∙∙∙∙∙ + n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)

平方和数列求和