高考数学原创试题命题方向分析

浙江省衢州市教育局教研室 324002 李世杰

近年来，高考数学试卷中出现了不少新颖的高质量原创试题.随着高中新课程的实施，《高中数学课程标准》(下面简称《标准》)引领高中数学教学和评价方式的转变，也会渐渐地影响高考数学的命题方向.为了体现课程改革新理念，遵循试题“相对稳定，重点突出，稳中有变，变中求新，适度创新”的基本思路，高考数学命题将会与时俱进，创造性地融《标准》倡导的新思想、新观点、新理念于高考命题之中，努力开发一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的原创题型，使数学的文化性、应用性与理论性能有机结合，并相互渗透， 真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况.

笔者通过研究近几年高考的原创试题，结合新课标学习的体会，下面对高考数学原创试题命题方向作一些归类分析：

一、考查数学本质的试题

《高中数学课程标准》中有这样一段话：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”.让学生体会蕴涵在数学知识中的数学思想方法，感悟存在于其中的数学本质，领会数学概念、法则、结论的发展过程，是 “能力立意”的具体体现之一，有助于改变脱离数学本质的机械式的复习与训练.

典型题1: (上海市2004年高考题)教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .

本题考察学生对解析几何本质的了解，学生解了那么多的解析几何题目，能正确表达“用代数的方法研究图形的几何性质”的有多少呢？

评注：让学生谈学习体验的试题在我国高考试卷中前所未有 ，是贯彻高考新理念的好题，它引导学生进行解题后反思：想一想方法，理一理思路，从数学思想方法的高度，提升数学解题的价值和能力，将会成为今后高考命题的一个方向.下面提供一个类似的问题，考察函数的本质:

典型题2:函数y=f(x)的图像与直线x=2005的交点个数是 个（答案:0或1）

二、考查“数学理解”的试题

典型题3: (2004年浙江省高考题)设f '(x)是函数f(x)的导函数，

y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是 ( )

(A) (B) (C) (D)

解 根据已知图形，知时，， 由导数几何意义，知f(x)的图象在时单调下降，分析四个选择支，可排除(A)(B)(D)，故选(C).

评注：这道题出得比较有趣，考的是对“导数几何意义的理解”和思辨能力，很好地体现了“新题不难，难题不怪”的高考命题原则.“多考一点想，少考一点算”，是近几年来的高考命题改革方向之一，今后还会在强调少算多想的背景下，增加这一类思考型试题，这将大大提高对推理的抽象程度和理性思维考查层次的要求.

典型题4: (韩国高考数学题改编)全体实数中所定义的函数y=f(x)的图象如右:

当g (x)=sinx时，复合函数y=g [f(x)]的图象的大概形状是（ ）

这是一道考察逻辑思维能力的题目，解这道题，无需计算，只需在思维活动中调动已有的函数的周期性、奇偶性、定义域及复合函数的有关知识即可获解.

评注：不需要“解”而需要“理解”的题，考的是“数学思想”和思辨能力，这对那些只知道做题、不明白为何做题的考生，有一种“点化”的意味.在复习备考中一定要改变“重结论轻过程”的倾向，要注重思路分析，重视数学思想方法的形成过程.

三、考查知识交汇综合能力的试题

加强综合性考查是高考命题内容的改革方向，高考数学试题将会继续在突出能力考查方面做文章，增加在知识网络交汇点上设计情景新颖、综合性强的能力型试题，以考查学生动态的知识结构水平，在知识网络的交叉点上设计代数与几何等不同知识融于一体的题目.

典型题5:集合A=｛y|y=k1x+1｝与B=｛y|y=k2x+1｝，当k1≠k2时，A∩B的元素个数为 (答案:1个或无数多个).

典型题6:已知集合A={（x，y）|y=cosx，x∈（0，2π）}，B={（x，y）|y=a，a∈R}，则集合A∩B的子集个数最多有 （ ）

A．1个 B．2个 C．4个 D．8个

（答案:C）

评注：这二个题都要用数形结合的方法通过图形运动变化求解.在运动中发现规律，找出解题的策略，这方面的试题近年来逐渐增加.

特别要关注把代数与几何自然而巧妙的结合起来，用来解决实际问题的题目，如：

典型题7: (韩国高考数学题)一只小船以10ｍ/秒的速度，由南向北等速驶过湖面.在离湖面20ｍ高处的桥上，一辆汽车由西向东以20ｍ/秒的速度等速前进.如下图，现在小船在水面Ｐ点以南的40ｍ处，汽车在桥上Ｑ点以西的30ｍ处.求:小船与汽车间的最短距离.(可以不考虑汽车和小船本身的大小.线段ＰＱ分别垂直于小船和汽车的路线)

评注：此题要用到立体几何的三垂线定理，建立一个变化的函数模型来表示图中已知量与未知量之间的关系，然后根据函数求最值的方法求出最小值.这一数学问题把代数与几何自然而巧妙地融为一体，使得思维的细胞在代数与几何的关联中活跃起来.如果我们的高考试题中多出几个这样的数学问题，我们的数学教师在平时多给学生一些这样的数学问题，有利于新课标中倡导的学生的创新意识与创造能力的培养.

四、考查构造性思维能力的试题

典型题8: (2004年全国普通高等学校统一招生考试数学上海卷)

如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点， 截面DEF∥底面ABC， 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)证明：P-ABC为正四面体；

(2)若PD=PA， 求二面角D-BC-A的大小(结果用反三角函数值表示)

(3)设棱台DEF-ABC的体积为V， 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.

解 (3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V.

设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α， 则该六面体棱长和为6， 体积为sinα=V. ∵正四面体P-ABC的体积是，∴0，0<8V<1.可知α=arcsim(8V)

故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.

评注：此题打破了立体几何试题常见的模式，以(1)(2)作为辅垫，然后渐入佳境，考察学生综合应用数学知识，构造性解决问题的能力.这是2004年最精彩的一道立体几何试题， 作为全国高考单独命题试验区的上海，已进行了十几年的探索，高考命题理论和实践都很有特色，这一发展动向值得引起关注.

五、考查对数学学习过程进行评价的试题

典型题9: (解法正误评价题，2004年上海市高考题)直线经过点，它在轴上的截距等于它在轴上截距的2倍，求直线的方程.某学生作出了以下解答：

设直线的方程为， 则（1）， ∵点在直线上，∴（2），

解由（1）、（2）组成的方程组，得，∴直线的方程为.

判断上述解法是否正确，如不正确，给出你的答案 .

(答案:)

评注：评价题就是要求学生利用所学知识，对数学概念、数学规律、数学模型的理解的正确性，对数学问题的推理过程的合理性做出评价，以获得正确感知与理解的一类题目.常见类型有:数学概念评价题，数学规律评价题，数学模型评价题， 解法正误评价题，推理评价题， 方法评价题， 模型评价题等，符合重视过程学习的新理念，今后会逐渐成为命题热点.

六、考查联系高等数学背景的试题

根据新课程标准中倡导的理念，数学教育不仅仅是学习的一种专业工具，而是一种人的理性的思维品质和思辩能力的培育，是聪明智慧的启迪，是潜在能动性和创造性的开发.而联系高等数学背景的试题，能宽角度、多观点地考查数学素养，有层次地深入考查数学理性思维.这方面可能出原创试题的主要题型有：

1．类比研究题

典型题10: （2003年普通高等学校招生全国统一考试上海卷）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)=ax（a>0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈M；

（3）若函数f(x)=sinkx∈M ，求实数k的取值范围.

评注：本题类比函数周期性给出集合中元素性质，以研究探索三个函数与集合的关系为目标，综合考查函数概念、性质、图像等基础知识和代数推理、演绎推理、分析抽象及推广研究命题的能力.特别是通过解题过程，对理性思维能力进行了深层次的考查.

2．即时性学习的试题

典型题11: (2004年广东省高考第21题)设函数 其中常数m为整数.

(1) 当m为何值时， (2) 定理: 若函数g(x) 在[a， b ]上连续，且g(a) 与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a，b)，使g(x0)=0.

试用上述定理证明:当整数m>1时，方程f (x)= 0，在[e-ｍ-m ，e2ｍ-m ]内有两个实根.

评注：第一小题利用导数来研究函数的性质，是新教材注入中学数学的又一亮点.第二小题要求学生利用高等数学中的介值定理，证明方程在某区间有两个根，是考察学生数学素养的好题.类似地考查学习能力的题还有很多,不一一列出..

3．历史上著名数学问题的简化或引申题

典型题12: （2003年全国高考数学理科试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

（答案+= 24+48=72种方法）.

典型题13: （2002年上海市普通高等学校春季招生考试）如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 种.

评注：数学史上许多生动有趣、引人入胜的名题，经过适当处理后（比如简化情形、或借用其思路、方法等）进行高考试卷.

典型题12的背景是四色问题；典型题13 的背景是“七桥问题” ，

在求解时需借鉴其抽象化的思维方法，把四个小岛看成是平面上的四个点，则修3座桥变成从6条线段中选3条线段的问题，结果好象是，其实不对，因为题目要求将这四个岛都连接起来，其中一个小岛不连，余下的3个岛仍可连3座桥，排除这种情况，正确答案是：.

4.高等数学问题初等化试题

典型题14：（2004年浙江省高考数学卷第12题）若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程xf[g(x)]=0有实数解，则g[f(x)]不可能是（ ）

(A)x2+x (B)x2+x+ (C)x2 (D)x2+

评注：以函数方程的形式考查了抽象复合函数的不动点理论，是浙江试题中最出彩的题目，充分体现了能力立意的方向.

笔者认为用高等数学派生知识求解的试题将不断增加.为考查考生的学习潜能而设计的一些以高等数学的基本知识为背景，用初等数学语言表述的“再发现型”问题最值得关注，这类问题是学生学习方式转变的纽带.

七、考查体现新增数学知识中的新思想新方法的试题

数学思想方法是数学的精髓，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的全过程.对它的灵活运用，是数学能力的集中体现.新教材中新增数学知识丰富和完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间，将会是原创试题的重要来源.主要类型有:

1.以向量等新增数学知识为载体的试题

新增数学知识中，通过向量运算，可有效揭示空间（或平面）图形的位置或数量关系，由定性研究变为定量研究，是数形结合思想的深化与提高；通过求导数，可简捷地解决曲线的切线问题、瞬时速度、加速度等问题；概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，评价、决策现实问题，提供了强有力的工具.这些新增内容能有效促进学生综合文化素质的形成和提高，是今后高考的命题点和增长点，在高考中的分值会有所增加.

典型题15：（2003 年天津、山东高考试题）已知常数a>0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以－2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

评注：本题注重知识的整体性和综合性，在直线、平面向量、轨迹方程、圆锥曲线等知识网络的交汇点上设计试题，综合考查有关基础知识与等价转化、分类讨论、数形结合、向量方法、求轨迹方程的交轨法以及运算求解等基本数学思想方法.

2.考查与计算机程序有关的试题

典型题16：这是一个计算机程序的操作说明：

（1）初始值x=1，y=1，z=0，n=0；

（2）n=n+1（将当前n+1的值赋予新的n）；

（3）x=x+2（将当前x+2的值赋予新的x）；

（4）y=2y（将当前2y的值赋予新的y）；

（5）z=z+xy（将当前z+xy的值赋予新的z）；

（6）如果z＞7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；

（7）打印n，z；

（8）程序终止.

由语句（7）打印出的数值为 ， .

(答案： n=8，z=7682)

评注：算法是有步骤地解决某一类问题的程序.新的数学课程十分重视算法的教学，已把计算机算法融入各个相关的部分.数学问题与计算机科学相结合，渗透信息技术与算法思想的试题正成为高考试题的新亮点.这方面上海（2001年第22题，计算机逻辑框图表达的工作原理、数学过程）、北京（2002年第20题，按问题要求设计计算机算法）已做了成功的探索.

3.隐性考查数学思想方法的的试题

对数学思想方法的考查分两个层次：第一层次是显性的，如考查数形结合思想:（1）给出形象化的原型，要求从图象中找出精确的解答；（2）由数学表达式的几何意义，将其表征为图形，通过图形变换，得出正确结论；（3）经过推理，将问题刻画成直观化的图形，再从图形上得到解决.第二层次是隐性的，在学生现有的知识范围内，“是不能通过语言进行逻辑说明，不能以规则的形式加以传递，不能加以批判性的反思”.即学生在面对陌生的背景、以现有方法无法解决问题时，需要用高屋建瓴的数学思想方法将未知情景纳入或转换成可解决的通道.

典型题17：(2004年上海高考数学理科试题第20题)已知二次函数的的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8，.

(1)求函数的解析式.

(2)证明:当时，关于x的方程有三个实数根.

评注: 第（2）小题按照学生已有的解方程知识，是无法求得方程即三次方程的实数根的，需要从条件体会出方程有实数根，从而认识到需要用对方程降次的思想方法. 隐性考查学生对重要概念和数学思想方法的深层次理解与灵活运用，并体现研究性学习和自主探究精神，体现新课程的新思想、新理念.

限于篇幅,考查数学交流评价、体现数学文化、数学价值、人文关怀和研究性学习等方面的试题,将在另文中再叙.相信灵活新颖、立意深刻又富有启迪性和探索性，又能联系时代脉搏的具有较高思维品位的原创试题会大量出现。从某种角度看， 原创试题的新颖性对学生是一种难度.这就要求平时复习时要注意改变学习方式，提高学生的数学素质，让学生体验学习过程，加深对知识的内涵和基本方法的理解，把握数学的本质，善于从数学角度发现问题，主动积极地分析、探究、交流、实践，以提高分析问题和解决问题的能力.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制订， 普通高中数学课程标准（实验），人民教育出版社，2003年4月版.

[2] 柏仕坤，杨慧娟， 中韩两国数学高考试题的比较研究， 　数学通讯， 2001年第11期

[3]陈嘉驹，为素质教育当好铺路石，上海中学数学，2004年第3期..

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