2020-2021学年安徽省淮南二中高三（上）第一次月考

数学（文科）试题

一、选择题（每题5分，共12题60分）

1．（5分）设复数Z满足Z（1﹣i）=3﹣i，i为虚数单位，则Z=（　　）

A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i

2．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（　　）

A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R

3．（5分）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（　　）

A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．1

4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（　　）

A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4

5．（5分）曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，则实数a=（　　）

A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7

6．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（　　）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

7．（5分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（　　）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

8．（5分）函数y=的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

9．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]

10．（5分）已知f（x）是奇函数，满足f（x+2）=﹣f（x），f（1）=2，则f（2015）+f（2016）=（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

11．（5分）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

12．（5分）已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则a实数的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）

二、填空题（每题5分，共4题20分）

13．（5分）若直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是　　．

14．（5分）已知f（x）=axlnx+1，x∈（0，+∞）（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，f′（1）=2，则a=　　．

15．（5分）幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为减函数，则m=　　．

16．（5分）若x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围是　　．

三、解答题（17-21题12分、22-23题10分）

17．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的增函数．

（1）a∈R，试比较f（a2）与f（a﹣1）的大小，并说明理由；

（2）若对任意的x∈R，不等式f（ax2）＜f（ax+1）恒成立．求实数a的取值范围．

18．（12分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为﹣4．

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数的递减区间．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

20．（12分）经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：

（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；

（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=﹣．

21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣21nx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求a的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答，并把题号填涂在答题卡上！如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．

（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C2：+y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．

（1）当a=1，解不等式f（x）＜5；

（2）对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，求实数a的取值范围．

2020-2021学年安徽省淮南二中高三（上）第一次月考

数学（文科）试题参考答案

一、选择题（每题5分，共12题60分）

1．（5分）设复数Z满足Z（1﹣i）=3﹣i，i为虚数单位，则Z=（　　）

A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i

【分析】根据复数的基本运算进行求解即可．

【解答】解：∵Z（1﹣i）=3﹣i

∴Z===，

故选：D

【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算是解决本题的关键．比较基础．

2．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（　　）

A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R

【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．

【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，

故选：B．

【点评】本题考查二次不等式和绝对值不等式的解集，以及集合的基本运算，较简单．

3．（5分）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（　　）

A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．1

【分析】先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解．

【解答】解：由题意得，y′=3x2+a，

∴k=3+a ①

∵切点为A（1，3），

∴3=k+1 ②

3=1+a+b ③

由①②③解得，a=﹣1，b=3，

∴2a+b=1，

故答案选D．

【点评】本题考查了导数的几何意义，即一点处的切线斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（　　）

A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．

【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：

K S 是否继续循环

循环前 1 0

第一圈 2 2 是

第二圈 3 7 是

第三圈 4 18 是

第四圈 5 41 是

第五圈 6 88 否

故退出循环的条件应为k＞5？

故答案选C．

【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

5．（5分）曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，则实数a=（　　）

A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7

【分析】求出函数的导数，求得f（x）在点（1，f（1））处切线斜率，由斜率公式可得k=﹣1，解方程可得a=7．

【解答】解：f（x）=的导数为

f′（x）=，

则f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为k=，

切线的倾斜角为，即有k=﹣1，

由=﹣1，解得a=7．

故选：C．

【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

6．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（　　）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．

【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，

而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，

∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是 （1，2），

故选B．

【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．

7．（5分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（　　）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：∵0＜0.312＜0.310=1，log20.31＜log21=0，20.31＞20=1，

∴b＜a＜c．

故选C．

【点评】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．

8．（5分）函数y=的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．

【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，

所以排除A，B

当x=1时，f（x）=0排除C

故选D

【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．

9．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]

【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，

由题意可得f′（x）≥0恒成立，

即为1﹣cos2x+acosx≥0，

即有﹣cos2x+acosx≥0，

设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，

当t=0时，不等式显然成立；

当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，

由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，

可得3a≥﹣1，即a≥﹣；

当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，

由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，

可得3a≤1，即a≤．

综上可得a的范围是[﹣，]．

故选：C．

【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．

10．（5分）已知f（x）是奇函数，满足f（x+2）=﹣f（x），f（1）=2，则f（2015）+f（2016）=（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【分析】利用已知条件求出函数的周期，通过函数的奇偶性求解即可．

【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+2）=f（x），得f（x）是以4为周期的函数；

又f（x）是定义域为R的奇函数，得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2；

则f（2015）+f（2016）=f（540×4﹣1）+f（504×4）=f（﹣1）+f（0）=﹣2．

故选：D．

【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的周期的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．

11．（5分）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

【分析】构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是减函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．

【解答】解：根据题意，设函数，

当x＞0时，，

所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，

又f（x）为偶函数，

所以g（x）为偶函数，

又f（1）=0，所以g（1）=0，

故g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零，

即f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零．

故选：D．

【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．

12．（5分）已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则a实数的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）

【分析】若a=0则方程f（f（x））=0有无数个实根，不满足条件，若a≠0，若f（f（x））=0，可得当x≤0时，a•ex=1无解，进而得到实数a的取值范围．

【解答】解：若a=0则方程f（f（x））=0有无数个实根，不满足条件，

若a≠0，若f（f（x））=0，

则f（x）=1，

∵x＞0时，f（）=1，

关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，

故当x≤0时，a•ex=1无解，

即在x≤0时无解，

故，

故a∈（﹣∞，0）∪（0，1），

故选：B

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析出当x≤0时，a•ex=1无解，是解答的关键．

二、填空题（每题5分，共4题20分）

13．（5分）若直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是　0＜a＜　．

【分析】先分：①0＜a＜1和a＞1时两种情况，作出函数y=|ax﹣1|图象，再由直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．

【解答】解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|ax﹣1|图象：

若直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点

由图象可知0＜2a＜1，

∴0＜a＜．

②：当a＞1时，作出函数y=|ax﹣1|图象：

若直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点

由图象可知0＜2a＜1，

此时无解．

综上：a的取值范围是0＜a＜．

故答案为：0＜a＜

【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法．

14．（5分）已知f（x）=axlnx+1，x∈（0，+∞）（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，f′（1）=2，则a=　2　．

【分析】求出f′（x），根据f′（1）=2列出方程解出a．

【解答】解：f′（x）=alnx+a，∵f′（1）=2，∴a=2．

故答案为2．

【点评】本题考查了基本函数的导数及导数运算，是基础题．

15．（5分）幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为减函数，则m=　﹣1　．

【分析】根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f（x）检验函数的单调性．

【解答】解：知m2﹣m﹣1=1，则m=2或m=﹣1．

当m=2时，f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数，不合题意，舍去；

当m=﹣1时，f（x）=x﹣3在（0，+∞）上为减函数，满足要求．

故答案为﹣1

【点评】本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．

16．（5分）若x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围是　a≥6或a≤﹣1　．

【分析】由韦达定理可得，从而可得|x1﹣x2|==；从而可得|x1﹣x2|max=3，从而化恒成立问题为a2﹣5a﹣3≥3，从而解得．

【解答】解：∵x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，

∴；

∴|x1﹣x2|==；

∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3；

故不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立可化为

a2﹣5a﹣3≥3；

解得a≥6或a≤﹣1．

故答案为：a≥6或a≤﹣1．

【点评】本题考查了函数的性质应用及恒成立问题化为函数的最值问题处理的应用，属于中档题．

三、解答题（17-21题12分、22-23题10分）

17．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的增函数．

（1）a∈R，试比较f（a2）与f（a﹣1）的大小，并说明理由；

（2）若对任意的x∈R，不等式f（ax2）＜f（ax+1）恒成立．求实数a的取值范围．

【分析】（1）f（a2）＞f（a﹣1）；运用作差法，结合函数的单调性，即可得到大小；

（2）由题意可得ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，讨论a=0，a＜0，且判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：（1）f（a2）＞f（a﹣1）；

理由：因为，

所以a2＞a﹣1，

又函数f（x）是定义在R上的增函数，

可得f（a2）＞f（a﹣1）；

（2）由函数f（x）是定义在R上的增函数，

对任意的x∈R，不等式f（ax2）＜f（ax+1）恒成立，

即为ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，

当a=0时，﹣1＜0恒成立，符合；

a≠0时，由恒成立．

综上，实数a的取值范围为（﹣4，0]．

【点评】本题考查函数的单调性的运用：比较大小和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．

18．（12分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为﹣4．

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数的递减区间．

【分析】（1）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解；

（2）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．

【解答】解：（1）由题意知f（0）=0

∴c=0

∴f（x）=x3+ax2+bx f'（x）=3x2+2ax+b

又∵f'（x）=b=0

∴f'（x）=3x2+2ax=0

故极小值点为x=﹣，

∴f（﹣）=﹣4，∴+a=﹣4，

解得：a=﹣3；

（2）令f'（x）＜0 即：3x2﹣6x＜0，

解得：0＜x＜2，

∴函数的递减区间为（0，2）．

【点评】本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间，要注意从图象中得到有价值的结论，属于基础题．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．

而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，

∴PD∥OE，

∵O是BD中点，∴E是PB中点．

取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．

∴

==．

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

20．（12分）经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：

（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；

（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=﹣．

【分析】（Ⅰ）由表中数据计算×（2+4+6+8+10）=6，×（16+13+9.5+7+4.5）=10，求出回归系数，即可写出回归直线方程；

（Ⅱ）写出利润函数z=y﹣w，利用二次函数的图象与性质求出x=3时z取得最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得，×（2+4+6+8+10）=6，

×（16+13+9.5+7+4.5）=10，

由最小二乘法求得==﹣1.45，

=10﹣（﹣1.45）×6=18.7，

所以y关于x的回归直线方程为=﹣1.45x+18.7；

（Ⅱ）z=﹣1.45x+18.7﹣（0.05x2﹣1.75x+17.2）

=﹣0.05x2+0.3x+1.5

=﹣0.05（x﹣3）2+1.95，

所以预测当x=3时，销售利润z取得最大值．

【点评】本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．

21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣21nx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）将a=1代入，求出函数的导数，从而得到函数的单调区间；

（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性，求出函数的极值，从而得到a的范围．

【解答】解：（Ⅰ）a=1时，函数f（x）=x﹣1﹣2lnx，定义域是（0，+∞），

f′（x）=1﹣=，

由f′（x）＞0解得：x＞2，由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，

∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；

（Ⅱ）（1）当a≤0时，由x∈（0，1），得x﹣1＜0，﹣2lnx＞0，

∴f（x）＞0恒成立，即a≤0符合题意；

（2）当a＞0时，f′（x）=a﹣=（x﹣），

①当a≤2时，即≥1时，由f′（x）＜0得0＜x＜，

即f（x）在区间（0，1）单调递减，故f（x）＞f（1）=0，

满足对∀x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，

故此时f（x）在区间（0，1）上无零点，符合题意；

②当a＞2时，即0＜＜1时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜，

即f（x）在（0，）递减，在（，1）递增，

此时f（）＜f（1）=0，

令g（a）=ea﹣a，当a＞2时，g′（a）=ea﹣1＞e2﹣1＞0恒成立，

故函数g（a）=ea﹣a在区间（2，+∞）递增，

∴g（a）＞g（2）=e2﹣2＞0；

即ea＞a＞2，

∴0＜＜＜＜1，

而f（）=a（﹣1）﹣2ln=+a＞0，

故当a＞2时，f（）•f（）＜0，

即∃x0∈（，），使得f（x0）=0成立，

∴a＞2时，f（x）在区间（0，1）上有零点，不合题意，

综上，a的范围是{a|a≤2}．

【点评】本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．

请考生在第22、23题中任选一题作答，并把题号填涂在答题卡上！如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．

（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C2：+y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．

【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；

（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．

【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，

即C1：x2+y2﹣4x=0，（2分）

将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，（4分）

所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（5分）

（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，

所以C3的方程为x2+y2=1．（7分）

C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．

又|OA|=4cos=2，

所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．（10分）

【点评】本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．

（1）当a=1，解不等式f（x）＜5；

（2）对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，求实数a的取值范围．

【分析】（1）把不等式f（x）≤5等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

（2）由题意可得函数f（x）的图象不能在y=3a﹣2的图象的下方，数形结合求得a的范围．

【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣l|+|x+|=，

f（x）＜5，可得2x+＜5（x≥1）或3＜5（﹣2＜x＜1）或﹣2x﹣1＜5（x≤﹣2）

解得﹣3＜x＜2．不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜2}．

（2）若不等式f（x）≥|x﹣a=x﹣2|=|a+2|，由题意，对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，

可得：|a+2|≥3a﹣2．在坐标系中画出y=|a+2|与y=3a﹣2的图象如图．

可得得：a≤2．

【点评】本题主要考查分段函数的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．

2020-2021学年安徽省淮南二中高三（上）第一次月考数学（文科）试题Word版含解析