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2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0

2．（5分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）

A．至多有一次中靶 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都不中靶

3．（5分）“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）

A．4 B．5 C．7 D．8

6．（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（　　）

A．8 B．15 C．16 D．32

7．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（　　）

A．2 B． C．3 D．6

8．（5分）在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（　　）

A． B． C． D．

9．（5分）程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

10．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）=（　　）

A． B． C． D．

11．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）

12．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，，则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上，则此抛物线的标准方程是　　．

14．（5分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：

则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为　　．

15．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P（﹣1，3，2），则点P到平面OAB的距离d等于　　．

16．（5分）已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为　　．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[，2]}，B={x|x+m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．

19．（12分）从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．

（Ⅰ）求轨迹E的方程；

（Ⅱ）已知直线l：y=k（x﹣2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长．

20．（12分）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．

（1）求此椭圆的方程；

（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．

21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．

（1）求证：CE∥平面A1BD；

（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．

22．（12分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．

2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．

【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．

故选C

【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．

2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）

A．至多有一次中靶 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都不中靶

【考点】互斥事件与对立事件．

【分析】利用互斥事件的概念求解．

【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误；

“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；

“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；

“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确．

故选：D．

【点评】本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要熟练掌握互斥事件的概念．

3．“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可．

【解答】解：若方程+=1表示双曲线，

则k（1﹣k）＜0，

即k（k﹣1）＞0，解得k＞1或k＜0，

即“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件，

故选：A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义和方程是解决本题的关键．

4．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果．

【解答】解：∵袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，

其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．

从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，

∴由题意知：，解得n=2．

故选：A．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

5．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）

A．4 B．5 C．7 D．8

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．

【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，

显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，

，解得m=8

故选D

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．

6．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（　　）

A．8 B．15 C．16 D．32

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．

【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，

∴=8，即DX=64，

数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，

则对应的标准差为==16，

故选：C．

【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．

7．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（　　）

A．2 B． C．3 D．6

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求得圆的圆心和半径r，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到所求值．

【解答】解：圆（x﹣3）2+y2=r2的圆心为（3，0），半径为r，

双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，

由直线和圆相切的条件：d=r，

可得r==2．

故选：A．

【点评】本题考查直线和圆相切的条件：d=r，同时考查双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．

8．在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】几何概型．

【分析】函数f（x）=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．

【解答】解：∵a，b是区间[0，1]上的两个数，

∴a，b对应区域面积为1×1=1

若函数f（x）=x2+ax+b2无零点，

则△=a2﹣4b2＜0，对应的区域为直线a﹣2b=0的上方，

面积为1﹣=，

则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为．

故选：B．

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键．

9．程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序的运行可得程序框图的功能，用裂项法可求S的值，进而解不等式可求k的值．

【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…≥时k的值，

由于：S=+++…=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=，

所以：由≥，解得：k≥12，

所以：当时，输出的k的值为12．

故选：B．

【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．

10．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）=（　　）

A． B． C． D．

【考点】互斥事件的概率加法公式．

【分析】P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），由此能求出结果．

【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，

记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，

∴P（A）=，P（B）=，P（AB）=，

P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）==．

故选：C．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

11．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）

【考点】椭圆的应用．

【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．

【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，

∵•=0，

∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．

又M点总在椭圆内部，

∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．

∴e2=＜，∴0＜e＜．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．

12．在三棱锥P﹣ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，，则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为（　　）

A． B． C． D．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，进一步得到△ADM与△ABC面积的关系得答案．

【解答】解：如图，

设三棱锥P﹣ABC的底面三角形ABC的面积为S，高为h，

∵，，

∴AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，

∴=．

∴=．

故选：D．

【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上，则此抛物线的标准方程是　y2=16x或x2=﹣8y　．

【考点】抛物线的标准方程．

【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．

【解答】解：当焦点在x轴上时，根据y=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（4，0）

∴抛物线的标准方程为y2=16x

当焦点在y轴上时，根据x=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（0，﹣2）

∴抛物线的标准方程为x2=﹣8y

故答案为：y2=16x或x2=﹣8y

【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．

14．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：

则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为　=1.10x+4.60　．

【考点】线性回归方程．

【分析】根据表中数据先求出平均数，再由公式求出a，b的值，即可写出回归直线方程．

【解答】解：由题意，计算=×（2+3+5+6）=4，

=×（7+8+9+12）=9，

b==1.10，

且回归直线过样本中心点（，），

∴a=9﹣1.10×4=4.60，

故所求的回归直线方程为： =1.10x+4.60．

故答案为： =1.10x+4.60．

【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题，是基础题目．

15．在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P（﹣1，3，2），则点P到平面OAB的距离d等于　2　．

【考点】点、线、面间的距离计算；空间两点间的距离公式．

【分析】直接利用空间点到平面的距离公式求解即可．

【解答】解：平面OAB的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P（﹣1，3，2），

则点P到平面OAB的距离d===2．

故答案为：2．

【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，公式的应用，是基础题．

16．已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为　　．

【考点】特称命题；命题的真假判断与应用．

【分析】由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．

【解答】解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：

f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0

或

⇒．

故答案为：

【点评】本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2016秋•惠州期末）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[，2]}，B={x|x+m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

【考点】充分条件．

【分析】先求二次函数在区间[，2]上的值域，从而解出集合A，在解出集合B，根据“x∈A”是“x∈B”的充分条件即可得到关于m的不等式，从而解不等式即得实数m的取值范围．

【解答】解：y=；

该函数在[]上单调递增，x=2时，y=2；

∴，B={x|x≥1﹣m2}；

∵x∈A是x∈B的充分条件；

∴；

解得m，或m；

∴实数m的取值范围为．

【点评】考查二次函数在闭区间上的值域的求法，描述法表示集合，以及充分条件的概念，解一元二次不等式．

18．（12分）（2016秋•惠州期末）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．

【考点】频率分布直方图．

【分析】（Ⅰ）根据频率和为1列出方程即可求出a的值；

（Ⅱ）利用表中数据计算数学成绩在[50，90）内的人数，再求在[50，90）之外的人数．

【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，

10×（2a+0.02+0.03+0.04）=1，

解得a=0.005，

所以图中a的值为0.005；

（Ⅱ）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05×1=5（人）；

数学成绩在[60，70）的人数为：100×0.4×=20（人）；

数学成绩在[70，80）的人数为：100×0.3×=40（人）；

数学成绩在[80，90）的人数为：100×0.2×=25（人）；

所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10（人）．

【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题，也考查了识图、用图的能力，是基础题目．

19．（12分）（2016秋•惠州期末）从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．

（Ⅰ）求轨迹E的方程；

（Ⅱ）已知直线l：y=k（x﹣2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长．

【考点】轨迹方程．

【分析】（Ⅰ）先设出垂线段的中点为M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；

（Ⅱ）根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出弦AB的长．

【解答】解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D（x0，0），

因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0，

有x0=x，y0=2y，

因为点P在抛物线上，所以y02=32x，即4y2=32x，

所以y2=8x，所求点M轨迹方程为：y2=8x．

（Ⅱ）抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为x=﹣2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），∴x1=2x2+1

∵|y1|=2|y2|，∴x1=4x2，∴x1=2，x2=，

∴|AB|=x1+x2+p=+4=．

【点评】本题主要考查求轨迹方程的方法，考查学生分析解决问题的能力，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，属于中档题．

20．（12分）（2016秋•惠州期末）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．

（1）求此椭圆的方程；

（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用．

【分析】（1）根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；

（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF1F2的面积．

【解答】解：（1）依题意得|F1F2|=2，

又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，

∴|PF1|+|PF2|=4=2a，

∴a=2，

∵c=1，

∴b2=3．

∴所求椭圆的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）设P点坐标为（x，y），

∵∠F2F1P=120°，

∴PF1所在直线的方程为y=（x+1）•tan 120°，

即y=﹣（x+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解方程组

并注意到x＜0，y＞0，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

∴S△PF1F2=|F1F2|•=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．

21．（12分）（2013•广州一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．

（1）求证：CE∥平面A1BD；

（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

【分析】（1）通过补形，延长延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF，从而可证明CE∥BF，然后由线面平行的判定定理得证；

（2）由已知找出C点在平面A1AB上的射影CE，CE为定值，要使直线CH与平面A1AB所成最大角的正切值为，则点H到E点的距离应最小，由此得到H的位置，进一步求出EH的长度，则在直角三角EHB中可得到BH的长度，利用已知条件证出BF⊥平面A1AB，从而得到∠EBH为平面A1BD与平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值．

本题也可以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决．

【解答】法一、

（1）证明：如图，

延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF．

∵CD∥AA1，且CD=AA1，

∴C为AF的中点．

∵E为AB的中点，

∴CE∥BF．

∵BF⊂平面A1BD，CE⊄平面A1BD，

∴CE∥平面A1BD．

（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，

∴AA1⊥CE．

∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，

∴CE⊥AB，．

∵AB⊂平面A1AB，AA1⊂平面A1AB，AB∩AA1=A，

∴CE⊥平面A1AB．

∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．

∵，

在Rt△CEH中，tan，

∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．

∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan=．

∴．

∵CE∥BF，CE⊥平面A1AB，

∴BF⊥平面A1AB．

∵AB⊂平面A1AB，A1B⊂平面A1AB，

∴BF⊥AB，BF⊥A1B．

∴∠ABA1为平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）．

在Rt△EHB中， =，cos∠ABA1=．

∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为．

法二、

（1）证明：如图，

取A1B的中点F，连接DF、EF．

∵E为AB的中点，

∴EF∥AA1，且．

∵CD∥AA1，且CD=AA1，

∴EF∥CD，EF=CD．

∴四边形EFDC是平行四边形．

∴CE∥DF．

∵DF⊂平面A1BD，CE⊄平面A1BD，

∴CE∥平面A1BD．

（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，

∴AA1⊥CE．

∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，

∴CE⊥AB，．

∵AB⊂平面A1AB，AA1⊂平面A1AB，AB∩AA1=A，

∴CE⊥平面A1AB．

∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．

∵，

在Rt△CEH中，tan，

∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．

∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan=．

∴．

在Rt△EHB中，．

∵Rt△EHB～Rt△A1AB，

∴，即．

∴AA1=4．

以A为原点，与AC垂直的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，

建立空间直角坐标系A﹣xyz．

则A（0，0，0），A1（0，0，4），B，D（0，2，2）．

∴=（0，0，4），=， =（0，2，﹣2）．

设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z），

由， ，

得，令y=1，则．

∴平面A1BD的一个法向量为n=．

∵AA1⊥平面ABC，∴ =（0，0，4）是平面ABC的一个法向量．

∴cos=．

∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为．

【点评】本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法．是中档题．

22．（12分）（2007•福建）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．

【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质．

【分析】解法一：（1）我们可设出点P的坐标（x，y），由直线l：x=﹣1，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q（﹣1，y），则我们根据，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；

（2）由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求λ1+λ2的值．

解法二：（1）由得，进而可得．根据抛物线的定义，我们易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l（即准线）方程为：x=﹣1，易得抛物线方程；

（2）由已知，，得λ1•λ2＜0．根据抛物线的定义，可们可以将由已知，，转化为，进而求出λ1+λ2的值．

【解答】解：法一：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（﹣1，y），

由得：

（x+1，0）•（2，﹣y）=（x﹣1，y）•（﹣2，y），

化简得C：y2=4x．

（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），又，

联立方程组，

消去x得：y2﹣4my﹣4=0，

∴△=（﹣4m）2+16＞0，

故

由，得：

，，

整理得：，，

∴===0．

法二：（Ⅰ）由得：

，

∴，

∴，∴．

所以点P的轨迹C是抛物线，

由题意，轨迹C的方程为：y2=4x．

（Ⅱ）由已知，，

得λ1•λ2＜0．则：

．①

过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有：

．②

由①②得：，

即λ1+λ2=0．

【点评】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．

广东省惠州市高二上学期期末数学试卷（理科） Word版含解析