人教版小学六年级数学《数与代数》教材梳理

六上

主要内容：

（一）数与代数：分数乘法、分数除法、比、百分数 　　　

编写特点：

1． 改进分数乘除法的编排，体现数学教学改革的新理念，加深学生对数学知识的理解，培养学生的应用意识。

2． 改进百分数的编排，注意知识的迁移和联系实际，加强学生学习能力和应用意识的培养。

3． 提供丰富的空间与图形的教学内容，注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展。

4.有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。

5.情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣和内在动力。

主要变化：

1． 分数乘、除法的编排变化较大，充分体现新课程计算教学改革的理念。

2． 没有独立的分数应用题教学单元，结合计算安排解决问题的内容，突出数学的应用性。

3． 将原来六年级下册“比和比例”单元分两次教学，在本册分数除法单元增加了“比和比的应用”的知识，六年级下册再教学“比例”相关知识，且比例尺的知识新教材将其划分为“空间与图形”领域中的“图形与位置”。

二 各单元具体介绍

第一单元 分数乘法

一、教学内容

本单元教学内容包括三部分内容：分数乘法、解决问题。

二、教学目标

1．理解分数乘法的意义，掌握分数乘法的计算方法，会进行分数乘法计算。

2. 理解乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并会应用这些运算定律进行一些简便计算。

3．会运用分数乘法解决一些简单的实际问题，体会数学与日常生活的联系。

三、具体编排

1．分数乘法（安排了6个例题。）

分三个层次进行教学。

 第一个层次学习分数乘整数，在整数乘法和分数加法的基础上学习。

 第二个层次学习分数乘分数，在理解分数乘法意义的基础上，通过操作去理解和学习。通过这两个层次的学习帮助学生理解并掌握分数乘法的计算方法。

 第三个层次学习混合运算的内容，使学生理解整数乘法运算定律与运算顺序对分数运算同样适用，并会运用乘法运算定律进行分数的简便计算。

例1（教学分数乘整数）

从分数乘整数引入分数乘法教学，帮助学生理解分数乘整数的意义及算理，掌握计算方法。从人的步距与袋鼠步距的比较这样一个实际问题引入。分四个步骤安排教学内容。

（1）给出信息，提出问题。（重点理解“相当于”的含义）

（2）用线段图帮助学生理解题意，使学生明确：求人跑3步的距离是袋鼠跳一下的几分之几，实际上是求3个，为探究计算方法做好准备。（建议作成课件动态显示，逐步完成线段图）

（3）探究计算方法。

 加法计算（同分母分数相加，属已学内容）。

 重点讨论乘法计算×3，紧密联系乘法的意义，将乘式转化为加法算式计算：分母不变，分子相加。再根据乘法的意义，将同分子连加的形式转化为乘式，得出分数乘整数的计算方法：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。在探讨计算方法的过程中使学生理解分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。（理解，不是记忆）

（4） 讨论归纳分数乘整数的计算方法。不再出现文字叙述的计算法则，但一定要注意归纳总结，鼓励学生用比较简洁的语言表达出来。

例2（说明分数乘整数，为了计算简便能约分的要先约分再计算）

在学生掌握分数乘整数的计算方法基础上，使学生进一步了解乘得的积一般应该化成最简分数。把积化为最简分数有两种处理方法，一是将乘得的积的分子与分母约分，另一种方法是在乘的过程中将分数的分母与整数进行约分。教材突出第二种方法，说明能约分的先约分再计算可以使计算简便。

例3（教学分数乘分数）（说明：整数乘分数的教学归入到分数乘整数的教学之中）

分数乘分数的算理较难理解，所以这部分内容是本节教学的重点和难点。

本例通过直观操作，帮助学生理解算理。分两个层次教学，先解决求一个数的几分之一的问题，再解决求一个数的几分之几是多少的问题。

 解决第一个问题：小时粉刷这面墙的几分之几？分两步操作。第一步把一张长方形的纸片看作一面墙，先涂出1小时粉刷的面积，即这面墙的，第二步再涂出小时粉刷这面墙的面积，即的，直观得出的是。在此基础上，根据操作的过程和结果推导出计算方法。（建议用不同颜色表示和，教材上不是特别明显）

 第二个问题： 小时粉刷多少？让学生用前面的方法涂色、推导与计算，自主解决问题。

 在此基础上以学生讨论的形式得出分数乘分数的计算方法。

建议：

1． 在分数乘整数的基础上引入，也可以根据“工作效率×工作时间＝工作总量”直接列出算式。

2． 结合操作，紧密联系分数的意义，帮助学生理解计算方法。

♦ 先涂出这张纸的，并说说怎样涂的，涂出的1份表示什么？

♦ 涂出的，说说怎样涂的，涂出的这1份又表示什么？

♦ 独立思考×怎样计算，再小组交流。

♦ 总结归纳计算方法。

例4（说明分数乘分数应先约分再乘）

 通过计算，使学生明确分数乘分数计算也应该先约分再乘，这样计算比较简便。

例5（教学整数乘法运算定律推广到分数。）

例5通过观察计算得出“整数乘法的交换律、结合率和分配率，对于分数乘法也适用”

例6（乘法运算定律的应用。）

 结合具体计算，说明乘法运算定律在分数乘法运算中的应用。

 “做一做”安排运用运算定律进行分数乘法的简便计算。

本小节教学建议：

1．记住分数乘法的计算法则并不困难，但让学生理解分数乘法的算理，尤其是分数乘分数的算理，却是本节教学的难点，因此，一定要通过直观与操作帮助学生理解分数乘法的算理。

2．改变以往例题、示范、讲解为主的教学方式，改变以记忆法则、机械训练为主的学习方式。当然，在学生理解算理，提升算法的基础上，还是需要必要的技能训练。

2．解决问题

用分数乘法解决问题有两种类型：

（1）数据中含有分数，但数量关系与解答方法与整数相同。

（2）由分数乘法意义的扩展而新出现的，即求一个数的几分之几是多少

教材主要教学第2类问题，共安排3个例题，分2个层次教学。

例1教学解答求一个数的几分之几是多少的问题；

例2、例3 教学稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题。

例1（教学求一个数的几分之几是多少的问题。）

 以中国人均耕地面积与世界人均耕地面积这两个量的比较引入

 用线段图表示出问题的数量关系和要求的问题，用“想”提示学生根据线段图思考解决问题的思路，由于是“我国人均耕地面积”与“世界人均耕地面积”相比较，其中“世界人均耕地面积”是表示单位“1”的量，知道世界人均耕地面积为2500㎡，求我国人均耕地面积就是求2500的是多少。最后列式计算解决问题。

 最后针对计算的结果进行国情教育。

 “做一做”安排一道与例题相同类型的题目，巩固这类问题的解决思路与方法。

例2（稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题）

这是一个数量与它的部分量的比较关系，即知道一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的问题。

 教材选取了绿化造林可以降低噪音这一环保题材，出示一幅情景图：公路上汽车的噪音有80分贝，经绿化隔离带后，测试噪音降低了。提出问题：人现在听到的声音是多少分贝？

 解答一般有两种方法，一种是先求出已知是总量几分之几的部分量，再用总量减去这个部分量，求出另一个部分量。教材用线段图表示出数量关系及解题的两个步骤，并以学生叙述解决思路的方式提示出先求什么。然后列出算式，让学生求出结果。

 另一种是先求出要求的部分量占总量的几分之几，再根据分数乘法的意义求出这个部分量是多少。教材仅出示线段图，提示要找出先求什么，没有给出解答算式，意图要求学生自主探索解决问题。

 最后要求学生对两种思路进行比较，目的是通过比较，加深对两种思考方法的认识，同时培养学生比较、归纳的能力。

例3（稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题）

 这是两个数量的比较关系，即已知一个数量比另一个数量多（少）几分之几，求这个数量。重点区分出将哪个数量看作单位“1”

 教材以人心脏跳动次数为素材引入例题。

 其中“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”是解题的关键。教材由小精灵提出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多表示什么意思？”让学生理解其含义。这句话可以转化为“婴儿每分钟比青少年多跳的次数是青少年每分钟心跳次数的。”理解了这句话，就应该知道把什么看作单位“1”，就容易理解数量关系了，接着教材还是利用线段图帮助理解数量关系。

 这题也有两种解答方法，教材只出现一种，另一种方法教材没有出示，只是用“想一想，还有其他的方法吗”提示让学生结合例2的学习自己想出。

练习中注意引导学生抓住题目中关键句子分析，找到谁与谁比，谁是单位“1”的数量。尽可能鼓励学生画线段图帮助理解题意。

3．倒数的认识

这部分内容是在学习了分数乘法的基础上教学的，主要为后面学习分数除法做准备。

安排了2个例题，教学倒数的意义和求倒数的方法。

例1（教学倒数的含义）

 编排了几组乘积为1的乘法算式，通过学生观察、讨论等活动，找出它们的共同特点，导出倒数的定义。

 要让学生理解“互为倒数”的含义，即倒数是表示两个数之间的关系，这两个数是相互依存的，倒数不能单独存在。

 可以让学生根据对倒数意义的理解，说出几组倒数，理解是否真正理解和掌握。

例2（教学求倒数的方法）

 教材先安排找倒数的活动，从而初步体验找倒数的方法：调换分子、分母的位置。

 总结求倒数的方法，分三种情况：

• 一般求一个分数的倒数是交换分数的分子、分母的位置；

• 求整数的倒数是把整数看作分子是1的分数，再交换分子和分母的位置。

• 1和0的倒数的问题，教材提出让学生思考讨论得到结论。

（在讨论的基础上归纳：根据倒数的意义，因为1×1=1，所以1的倒数是1；因为0与任何数相乘都是0，所以0没有倒数。）

四、教学建议

1. 注意相关的已有知识的复习。

本单元各部分知识都与前面的知识有密切的联系。

2．加强分数乘法的意义的教学。

对分数乘法的意义理解不仅是理解分数乘分数算理的关键，而且是求一个数的几分之几是多少的基础。因此一定要重视分数乘法意义的教学。

3． 教材虽不出现文字叙述形式的计算法则，但一定要注意对计算方法的总结与提升。

4． 借助多种方式帮助学生学会分析数量关系的方法。

本单元的解决问题是由于分数乘法意义的扩展的产生的，数量关系比较特殊，要教给学生学会借助多种方式（特别是线段图）分析数量关系的方法。

　第三单元 分数除法

一、教学内容

主要内容包括：分数除法的意义与计算；分数除法的应用；比的意义与基本性质，求比值与化简比以及比的应用。

二、教学目标

1.理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法计算。

2.会用方程或算术方法解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的实际问题。

3.理解比的意义，知道比与分数、除法的关系，并能类推出比的基本性质。能够正确地化简比和求比值。

4.能运用比的知识解决有关的实际问题。

三、具体编排

1. 分数除法

首先明确分数除法的运算意义，在此基础上探究并掌握分数除法的计算方法。

例1（教学分数除法的意义。）

 教材采用了整数与分数对比，乘法与除法对比的方式，揭示出分数除法的意义与整数除法的意义相同。

 教学建议：

（1） 复习整数除法的意义。

（2） 两种教学安排：先分别列出乘法算式，再分别引出两道除法算式；或先教学整数乘、除法，再分别引出分数乘、除法的三道算式。

例2（教学分数除以整数）

 通过折纸帮助学生理解算理。分两个层次教学，先解决分子能被整数整除的特殊情况，即把一张纸的平均分成2份，看每份是这张纸的几分之几？再引出分子不能被整数整除的一般情况：把这张纸的平均分成3份，看每份是这张纸的几分之几？让学生经历由特殊到一般的过程，由此体会到用整数去除分数的分子的方法不是总能计算出得数，通常可以转化成乘这个整数的倒数，进一步渗透转化的数学思想。在此基础上让学生概括出分数除以整数的方法。

 教学建议：

（1） 分数乘法的口算练习。

（2） 折、涂、算、说：探讨例题第一个问题。

（3） 比较：哪种算法适应范围更广 ？为什么

（4） 独立解决第2个问题（先折再算或先算，再折加以验证）

例3（教学分数除以分数）（本节的重点和难点）

 例题以比较小明、小红两位同学“谁走得快些”引出两种情况。

 这里首先的列式依据是“路程÷时间＝速度”的数量关系，与以前不同的只是路程、时间由整数换成了分数。由于学生对解决“谁走得快些” 这类问题比较熟悉，所以由原来学习的整数除法算式，类推出分数除法算式不会感到困难。因而有利于集中精力投入计算方法的探索与理解。

其中计算小明平均每小时走的路程“”是探索的重点。教材采用画线段图的直观方式展现推算的思路：

已知小时走了2km，可以先求出小时走了1km（2的），算式是；

再求1小时即3个小时走了多少千米，算式是 ×3 。

由于数据简单，便于口算，整个推算过程处在学生思维能力的最近发展区内，加上线段图的直观效果，因此降低了学生探究算法、理解算理的难度。

找到了整数除以分数的计算方法，就可以依次类推，再来解决分数除以分数的计算，即通过，求出小红平均每小时走的路程。

最后教材以小精灵提问的方式，引导学生总结分数除法的一般方法，并启发学生用自己的方式加以表示。

教学建议：

（1） 认真观看教师用书配备的课例，领会计算教学改革理念。

（2） 重点放在计算方法的探索上，充分用好线段图帮助学生理解、探索算理。

（3） 可放开，充分让学生自主探索，鼓励方法多样化，并注意及时引导与总结。

分数出发的计算方法的推导有多种：

方法一：利用商不变性质进行推导。如：=（×）÷（×）=×

方法二：利用等式的基本性质进行推导。

方法三：利用逆运算关系和分数的基本性质进行推导。

方法四：联系实际问题进行分析、推导。（教材选用的方法）

（4）用自己的语言归纳总结计算方法（特别要抓住除法转化为乘法的要点）：

①被除数不变

②除号变乘号

③除数变成它的倒数

④结果约成最简分数

例4（分数除法的混合运算）

以小红剪彩带做花送同学为题材，通过解决实际问题，引出涉及分数除法的混合运算，使学生看到已经掌握的混合运算顺序，同样适用于分数运算。

本小节教学建议：

1．重视运算意义的教学。

2．重视算法的探索过程。（计算教学最省事的教法就是把计算方法和盘托出，直接告诉学生，然后进行大量的训练，这样教学，也能让学生熟练掌握算法，最终达到熟练计算的程度，但学生只知其然，不知其所以然，学生的学习能力和探究能力的发展就得不到发展，我们应该舍得花时间让学生经理计算方法的探索过程，这是新课程改革理念在计算教学中的具体体现。

3．注意数学思想方法的渗透。（数形结合、转化等思想）

无论是折纸、画线段，实际上都是用图形语言揭示分数除法的计算过程的几何意义，教学时都应有意识地引导学生将图与式对照起来，进行分析和说理；

转化思想在本单元的具体体现是将除法转化为乘法计算，是数学认识上的一次飞跃。在数学上，每一个新问题都是通过转化为已经解决的问题，用已有的知识、方法生成新的知识、方法。

4．适当加强口算练习。

分数四则计算的数据都得到了简化，不出现带分数，分子、分母都比较小，很多分数除法计算题都可以口算。注意口算题数据的选择应逐步递增。（不能约分到能约分，单向约分到交错约分）

2. 解决问题（本单元教学难点）

关于分数除法解决问题，主要有两种情况：

（1） 问题情境的数量关系与整数除法的实际问题相同，区别只是数据由整数变成分数。教材安排在第1节学习。

（2） 数量关系具有一定的特殊性，表现为已知一个数的几分之几是多少，求这个数。与上单元求一个数的几分之几是多少的实际问题具有紧密的联系。

（3） 本节提倡用方程解。

例1（已知一个数的几分之几是多少，求这个数。）

 “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”有两种情况：一种是是部分与整体之间的关系，可以在一条线段上表示；另一种是两个数量之间的关系，需要画出两条线段加以表示。它们是同一种数量关系，教材把它们放在同一题里，用同一个问题情境串联起来，比较自然，便于展开教学，也便于学生理解。

 教材以人体中水分与体重的关系为素材，引出问题。

教材以插图的形式给出条件，图中医生介绍人体中水分与体重的关系。小明讲出两个已知条件。进而分别提出求小明、爸爸体重的两个问题。

　　　这里“成人体内的水分约占体重的”，是一个多余条件，需要学生通过审题、分析加以识别。由于在现实生活中，解决问题所需的条件，往往需要我们从各种信息里筛选出来，所以像例1这样有多余条件的问题情境，比较接近真实情况，有利于培养学生的信息识别能力。

 为了帮助学生分析、理解数量关系，教材分别画出了线段图。

 可分步出示条件和问题。

 通过对比让学生看到用方程解的优势。

 通过对比了解解决2个问题的区别。

例2（教学稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题。）

 由学校兴趣小组为题材，引出“稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。

 以对话方式给出条件，再给出问题。

 为了帮助学生思考，教材提示“先画线段图看看”，并给出了完整的图示，为学生分析、理解等量关系提供直观支柱。然后由图得出等量关系，并据此列方程解答。

 解决这种数量关系的问题，可以列成形如的方程，也可以列成形如的方程，前者仍然要经历从“多几分之几”到“是几分之几”的转化，实际上是方程的形式，算术的思路。后者只要根据一个数加上增加部分等于增加后的数，就能列出方程。这样的等量关系，学生容易理解。因此，教材选择最简捷的思路，给出解题的全过程。

 教学例2前，可安排一些基础练习，为教学例题做准备。可供选择的基础练习有：

①与例2相对应的分数乘法实际问题。如：

学校合唱队有男生20人，女生比男生多，合唱队有女生多少人？

②写出代数式的练习。如：

学校舞蹈队有男生人，女生比男生多，女生比男生多（ ）人，女生有（ 　 ）人。

这些基础练习的情节内容，也可以改为例2的内容。即将上面的男女生人数改为航模小组人数和美术小组人数，以进一步降低新授学习的难度。但这样一来，暗示的成分多了，学习例2时的探索空间就会相应缩小。所以，教师应当根据学生的实际情况，酌情安排必要的铺垫。如果学生基础较好，跳过复习环节，直接出示例题也是可以的。

教师可以根据本班学生的实际情况选用或自行设计。

教学完例2 后，应有针对性的适当补充一些巩固练习。

本小节教学建议：

（1）正确处理解决问题方法的多样化和优化的关系。

本小节出现的实际问题，一般都有几种解法，大致可分为两类：算术方法和用方程解。小学生目前尚未认识到方程解法的优越性，甚至会觉得用方程解要写设句比较麻烦，因此喜欢用算术方法解，教师一方面要肯定学生方法的正确，一方面又要因势利导，提高学生用方程解决问题的自觉性和积极性。

（2）适当加强列方程的思维训练。

一是学会找等量关系；二是会写代数式；

（3）未使用过实验教材第9册的教师一定要去了解教材关于解方程内容的变动。

3. 比和比的应用

这部分内容过去是安排在小学最后阶段进行教学。由于比与分数有密切联系，把比的最基础知识提前安排在分数除法单元中教学，既能加强知识间的内在联系，又可以为以后学习比例知识，以及其他方面的知识打下较好的基础。有关比的应用，只讲按比例分配的问题。

本节教材分成三段。

比的意义

 传统的算术教材在讲比的意义时，只强调比的一种情况，即两个同类量的倍数关系。但在实际应用中，经常要用到比的另一种情况，如路程和时间的比（速度），质量和体积的比（密度）等。所以现在的小学数学教材，既讲同类量的比，又讲不同类量的比。当然，不同类的量相比，有关联的才行。这样，小学生进入中学后就便于理解物理等学科中经常出现的不同类量的比。

 教材选取我国第一艘载人飞船的有关内容作为引入比的载体，通过这一富有时代性的情节内容，引出同类量的比（介绍飞船里的两面长方形小旗，给出真实数据，引导学生讨论长与宽的倍数关系，得到长度相除的两个算式，由此引出同类量的比）、非同类量的比（介绍飞船的运行路程与时间，让学生用除法表示飞船进入轨道后的速度，由此引出非同类量的比）。在此基础上概括比的意义。

 接着以这几个比为例，说明比的读、写及比的各部分名称，并计算出其中一个比的比值，说明“比值通常用分数表示”。注意“比”与“比值”的区别。

 然后根据分数与除法的关系，具体说明比也可以写成分数形式。最后，由小精灵提出问题，引导学生联系比与除法、分数的关系思考比的后项可不可以为0。

比的基本性质

 在比较两个量的关系时，可以把除法、比、分数看作是形式的不同，它们可以互相转化。比的基本性质可由商不变的性质和分数的基本性质导出。

 教材先让学生回顾商不变的性质和分数的基本性质，再启发学生联系比和除法、分数关系，思考：“比中有什么样的规律？”教材结合先利用比和除法的关系进行研究，然后让学生根据比和分数的关系来研究，在此基础上概括出比的基本性质。也可先猜测后验证。　　

作为比的基本性质的直接应用，例1教学化简比。例1有两道题。第（1）题，化简整数比。仍采用“神州五号”有关旗的题材，但讨论的是两面一大一小的联合国旗。题目告诉两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简单的整数比。这里的两个答案相同，渗透了两面旗按比例缩小的相似变换思想，同时也便于学生感悟化简的必要性，即能使数量关系更加简单明了。选取这一素材，既有思想性、趣味性，且数据真实，又有数学内涵。

第（2）题化简分数、小数比。让学生结合具体例子总结：当一个比不是整数比时，如何化简比。

比的应用

在小学数学中，比的应用主要有两个内容，即比例尺和按比例分配。由于比例尺与比例的联系更多一些，且《标准》把比例尺归入空间与图形领域的图形与位置这部分内容中，因此留在后面教学，这里只教学怎样解答按比例分配的实际问题。

 教材通过例2，以清洁剂浓缩液的稀释为例，提出问题，引导学生把一个数量按照已知的比分成两部分。

 例2创设了一个日常生活中比较常见的稀释清洁剂浓缩液的问题情境。教材首先通过一段文字说明稀释瓶上用不同颜色条形标明的比的含义，使学生了解按比配制的实际意义。然后由阿姨说明稀释的配制要求，并提出问题，再由两个同学讨论算法，引导学生思考。这里介绍了两种解法。一种是先求出每份是多少，再求几份是多少。即转化为整数的除法、乘法来解决。另一种是把比转化成每种成份占总数的几分之几，变成求一个数的几分之几是多少，用分数乘法来解决。

四、教学建议

1.注意相关知识的复习。

本单元很多内容都与前面的知识有密切的联系，教学时，应当充分利用学生原有的学习基础，学习新知识。 （如，分数乘法、列方程解决问题等。）

2.让学生感悟相关知识的联系和区别。

 分数乘除法解决问题。

 求比值、化简比。

 比和除法、分数之间的关系。

3．结合操作和图形语言，帮助学生理解掌握分数除法的计算方法。

4．抓住学习的关键，组织针对性练习。

第四单元 圆

一、教学内容

本单元主要内容：认识圆、圆的周长和圆的面积。

二、教学目标

1．认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系；学会用圆规画圆。

2．理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆的周长与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。

三、具体编排

主题图

 主题图呈现了城市广场的生活场景，里面包含了很多圆形的物体，如喷水池、花坛、车轮等等，从而说明圆在生活中随处可见，应用非常广泛。

 教学时，可以把主题图作为认识圆的起点来讲授，如可把主题图制成多媒体课件，然后点击凸现其中的圆形物体，让学生利用圆的基本特性（如易滚动、外形美观等）来理解这些物体设计成圆形的道理；也可结合后面圆的周长和面积的计算穿插进行教学，如车轮、花坛的周长，喷水池的面积等，都可以作为后面相关教学内容的素材。

1．认识圆

 主要教学认识圆的各部分名称、用圆规画圆以及圆的轴对称性等内容。安排了3个例题。　　　　

例1（用一般物体画圆）

 让学生想办法在纸上画圆，直观感受圆的曲线特征，并且画出的圆可以作为认识圆的学具。

 教学时，学生也可能会提出用圆规画圆的方法，教师不用回避，说明这种方法将在后面学习。

例2（认识圆、用圆规画圆）

 认识圆（主要认识圆的各部分名称及特征。）

　　圆的各部分名称及特征不是直接告诉学生，而主要是通过操作活动来认识的。

• 首先让学生将画好的圆反复对折，发现折痕相交于一点，引出圆心。由圆心出发，定义半径和直径。

• 最后让学生探索出在同一个圆内，半径和直径的特征及关系。通过画和测量等活动，学生发现：同一个圆内，半径和直径都有无数条。同一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都相等，并且半径的长度是直径的。

 用圆规画圆：呈现了三个学生画圆的情境，以对话的形式给出了画圆的三个步骤，每个学生说出一个步骤。

例3（认识圆是轴对称图形）

 教材结合前面所学的轴对称图形，说明长方形、正方形和圆等都是对称图形，都有对称轴，引出轴对称图形的概念。

 通过例3，让学生在给出的两个圆内画对称轴，看能发现什么。认识到圆是轴对称图形，且有无数条对称轴。

 例3也可以结合圆的各部分名称的认识进行教学。

2．圆的周长

圆的周长

 引出圆的周长。

• 教材呈现了一个学生绕圆形花坛骑车的情境，提出问题：“自行车绕圆形花坛骑一圈大约有多少米？”让学生思考求的是什么？引出圆的周长概念。使学生明确：围成圆一周的长度是周长。

 测量圆的周长。

• 接着让学生思考：如何求一个圆的周长。由于三年级学生已经学过周长的概念，知道怎么测量一个一般图形的周长，可以自己完成这个任务。如用一根绳子或纸条绕圆一周，再来测量这段绳子或纸条的长度，也可以在圆形硬纸板上做个记号，与直尺的0刻度对齐，在直尺上滚动一周，直接测量出圆的周长。

 探究周长与直径的关系。

• 但是，这些方法存在一定的局限性，例如，当圆很大的时候，就不具有操作性了。因此，需要寻找一个一般化的方法来求圆的周长。

• 在此基础上，教材为学生直接指明了研究的方向，即通过测量不同大小的圆的周长和直径，计算出周长和直径的比值，发现比值是一个固定值，从而引出圆周率的概念，并总结出圆的周长计算公式。

例1（圆的周长的计算）

 圆的周长计算情况。

关于圆的周长的计算公式的应用有多种情况：已知圆的半径或直径求圆的周长，或者已知圆的周长求圆的半径或直径。教材安排例1教学知道直径求周长的情况，其他一些情况，如已知半径求周长或已知周长求直径或半径，则安排上练习中让学生计算。

 例1具体编排。

设计了两个问题，一是计算圆形花坛的周长，二是计算小自行车绕花坛一周车轮大约转动多少周。第二个问题要先计算出小自行车的周长，再用圆形花坛的周长÷小自行车的周长。都是知道直径求周长。

3．圆的面积

探索圆的面积公式

 引出圆面积。

呈现工人在圆形草坪上铺草皮的情境，提出问题“这个圆形草坪的面积是多少平方米？”一方面引出圆的面积，使学生了解圆的面积的含义，另一方面，使学生体会计算圆面积的必要性。

 推导圆的面积计算公式。

◆ 教材直接提出问题“怎样计算一个圆的面积呢？”直接提示学生思考能否把圆转化成已学的图形来计算面积。

◆ 教材采用实验的方法，指导学生把圆分割成若干等份（偶数份，如16等份、32等份），再拼成一个近似的长方形。使学生看到分的份数越多，拼得的图形就越接近于长方形。

◆ 引导学生把长方形的长与宽跟原来的圆的周长、半径进行比较，并通过填空独立完成圆面积计算公式的推导过程。最后概括出圆的面积计算公式。

例1（圆的面积计算）

利用圆的面积计算公式，计算圆形花坛的面积。这里是给出直径求面积，其他情况安排在练习中。

例2（圆环面积的计算）

以求光盘环形部分的面积为例，教学如何利用圆的面积计算公式求圆环的面积。使学生理解求圆环的面积是用外圆面积减去内圆面积。

教材给出了两种算法。两种算法可以通过乘法分配律沟通，学生能够发现这两种算法的一致性。

四、教学建议

1．结合生活实际体会圆的特征。

圆在生活中有广泛的应用，可以结合生活实际体会圆的特征。使学生感受到了圆在生活中的应用，同时加深了对圆的特征的认识，同时可以培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

2．加强动手操作，培养学生自主探索能力。

教材里安排了很多活动让学生探究圆的基本特征，故实际教学时，教师应注意让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式，帮助学生认识圆的基本特征，探讨圆的周长和面积计算公式。

比如在探索圆的面积时，教师可利用书中的附页或备好的学具，引导学生动手剪切、拼贴，从而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。

实际教学时，教师不应把学生的动手操作简单地作为活动目的，而应合理引导学生在操作的基础上，自主探索和发现圆的有关特性。

3．注意让学生感悟“化曲为直”“化圆为方”的转化思想。

 本单元除了让学生掌握圆长和面积的计算公式外，更重要的是在推导过程中要让学生了解曲线图形研究的基本方法。

 “化曲为直”“化圆为方”的方法主要体现在圆周率的计算、圆面积计算公式的推导上。

第五单元 百分数

一、教学内容

本单元教材内容主要包括百分数的意义和写法，百分数和分数、小数的互化和用百分数解决问题等内容。

二、教学目标

1．使学生理解百分数的意义，了解它在实际中的应用，会正确地读、写百分数。

2．使学生能够进行小数、分数和百分数的互化。

3．理解折扣、纳税、利息的含义，知道它们在生活中的简单应用，会进行这方面的简单计算。

4．使学生在理解、分析数量关系的基础上，能正确地解答有关百分数的问题。

三、具体编排

1.百分数的意义和写法

 主要内容：本小节包括百分数的意义和读写两部分内容。

 具体编排

• 教材首先从几个不同的角度选取了学生熟悉的几个百分数。接着通过聪聪提问：“你还在什么地方见过上面这样的数”，让学生交流课前收集的百分数.在此基础上直接说明：像上面这样的数，如18%、50%、64.2%……叫做百分数。

• 然后进一步让学生结合实例说说百分数的具体含义，并用定义的方式概括出百分数的意义：百分数表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫百分率或百分比。

• 最后说明百分数的写法。

2．百分数和分数、小数的互化

分两个层次，各安排2个例题。

（1）百分数和小数的互化。

百分数和小数的互化，主要是根据小数的含义进行的。如小数化成百分数，由于小数是表示的是十分之几、百分之几、千分之几……的数，因此小数可以直接写成分母是10、100、1000……的分数，再利用分数的基本性质写成分母是100的分数，最后改写成百分数。百分数化成小数，百分数可以写成分母是100的分数，可以直接写成小数。

由于学生已具备了这些知识，教材结合具体的数，让学生进行探究。

例1（把小数化成百分数）

教材给出3个小数让学生进行探究，最后呈现出探究的过程。即先把小数转化成分母是100的分数，再改写成百分数。

例2（把百分数化成小数）

教材给出2个百分数让学生进行探究，明确可以先把小数转化成分母是100的分数再改写成百分数。

（2）百分数和分数的互化。

例3（把百分数化成分数）

百分数化成分数的方法是先把百分数改写成分母是100的分数，再化简。如果百分数的分子是小数，要先应用分数的基本性质，把百分数改写成分子是整数的分数，然后再化简。

教材提供了2个百分数，让学生探究百分数化成分数的方法。这2个百分数是有具体含义的，既可以使学生进一步了解百分数的含义，同时对学生渗透口腔卫生的教育。

例4（把分数化成百分数）

教材提供一组科学小资料，给出3个分数，让学生把它们用百分数表示出来，由此探究分数化百分数的方法。

教材呈现了两种化法：一是根据分数与除法的关系，用分子除以分母，把分数化成小数，再化成百分数。二是利用分数的基本性质把分数化成分母是100的分数，再写成百分数。这两种方法适用于不同的情况，第一种是分数化成百分数的一般方法，适用范围广；第二种方法虽然简便，但有一定的局限性。对于第一种方法中，除不尽的情况，教材以为例，说明除的结果通常保留三位小数。

通过这个例子说明在把分数化成百分数时，应根据分数的不同特点，灵活选用方法。

　　　3．用百分数解决问题

有两种情况（如下），其中百分数的一般应用包括(如下)

　　这些问题从数量关系来看，都是“求一个数是另一个数的几分之几”以及“求一个数的几分之几是多少”的问题，这类问题前面介绍得比较多，这里不详细介绍了。

例1（求百分率的实际问题）

 设计了六年级学生体育达标率的素材。

 明确达标率的含义。

 直接给出求达标率的公式和计算过程。

 让学生独立求发芽率。

例2（稍复杂的求一个数是另一个数的百分之几）。

 设计造林的情境，引出问题。

 用线段图直观表示数量关系。

 呈现两种解答方法。

 说明百分数在生活中的应用。

例3（稍复杂的求一个数的百分之几是多少）

 以学校图书室的图书为素材，引出问题。

 由于有了相应的分数乘法实际问题的基础，没有画线段图。

 提示学生思考时把谁看作单位“1”。

 呈现两种解答方法。

例4（折扣）

 教材通过设置商场店庆，商品打折销售的情境引入“折扣”，说明打折的含义。

 通过两个小题教学计算与折扣有关的实际问题。实际上是求一个数的百分之几是多少的问题。

 由于学生在前面已经学习过这种问题的解答方法，因此教材在这里没做过多的分析和说明，而是让学生在理解“折扣”的基础上自主解决问题。

例5（纳税）

 说明依法纳税的意义。

 介绍纳税的有关概念。

 计算营业税。

要进行依法纳税有重要意义的思想教育。

利率

要对学生进行合理理财（有经济头脑）的教育。

四、教学建议

1．让学生充分理解百分数的含义，为实际应用奠定良好的基础。

 理解百分数的含义

 了解百分数的作用。

2．开放课堂，扩大学生自主探索的空间。

互化的方法没有直接给出，而是让学生自由探索；改变了原来直接给学生列举现成的出粉率、发芽率、合格率、出勤率等百分数的计算公式的做法，而是让学生积极思考，在理解其含义的基础上求生活中各种常见的百分率。

3．注意对互化的方法进行总结。

4．加强知识间的联系，培养学生迁移类推能力。

百分数与分数有密切的联系。虽然百分数的意义和实际应用与分数有所不同，但它解决问题的思路、方法与用分数基本相同。教学时，要加强知识之间的联系，不要全当新知识学习，应放手让学生在已有知识基础上类推，培养学生迁移类推能力。但有些内容应说明其意义，如纳税、利息等。

第六单元 统计

一、教学内容

主要教学扇形统计图。

有关统计图的认识，小学阶段主要是认识条形统计图、折线统计图和扇形统计图。扇形统计图原义务教材是作为选学内容，考虑到其在日常生活中的广泛应用，《标准》把它作为必学内容，本套教材将它安排在本单元。本单元是在前面学习了条形统计图和折线统计图的基础上教学的，主要通过熟悉的事例使学生体会扇形统计图的特点和作用。

二、教学目标

通过实例，认识扇形统计图的特点，知道扇形统计图可以直观地反映部分数量占总数的百分比，能从扇形统计图读出必要的信息。

三、具体编排

主题图

教材呈现了学生在校园里参加各种体育活动的情境，为引出统计的相关知识有关统计数据提供现实背景。

条形统计图和扇形统计图

 具体编排

• 根据主题图情境给出六（1）班同学喜欢体育项目情况的条形统计图，直观呈现出六（1）班最喜欢的运动项目的人数，并说明条形统计图的特点。

• 在此基础上提出：“如果要更清楚地了解各部分数量同总数之间的关系，可以用扇形统计图表示。”由此引出扇形统计图，并特别说明用整个圆表示全班学生的人数。

• 使学生看到：用扇形可以清楚地表示出喜欢各种运动项目的人数占全班总人数的百分比。从而真切地体会到扇形统计图的特点，并通过看图回答问题并提出问题，加深对扇形统计图特点的认识。

四、教学建议

1．注意与先前学习过的统计知识的联系与对比，让学生充分认识到扇形统计图的特点。

• 了解扇形统计图的具体含义。

• 对比三种统计图，加深对扇形图的认识。

2． 注意挖掘生活中的数学素材，凸现统计的使用价值。

第七单元 数学广角

一、教学内容

“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。解决这类问题有两类方法，一类是“假设法”古代民间一般是这种方法，另一类是方程解法。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。

二、教学目标

1. 了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。

2. 尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，并使学生体会代数方法的一般性。

3. 在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。

三、具体编排

情景图和例1

 引入

教材先说明“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学问题，再由生动有趣的古代课堂情境引出“鸡兔同笼”原题，并对原题给予解释，由小精灵提出“这个问题你能解答吗”，学生冥思苦想的画面激发学生解决该类问题的兴趣。

 化繁为简，探究解法

由于“鸡兔同笼”原题的数据较大，不便于学生进行探究，所以教材以化繁为简的思想为指导，先在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题让学生探索解决的方法。

教材首先呈现了学生最“朴素”的想法——猜测。先猜测鸡、兔各有几只，然后验证脚的只数是否符合条件，如果不对，再猜，这样瞎蒙有时也能找到答案，但有一定的盲目性。下面的表格用来帮助学生按顺序寻找答案，但当数据太大时，不是很合适。这时小精灵提出：还有其他方法吗？ 让学生去探究更具有逻辑性和一般性的解法。

教材中主要呈现了两种解法：一种是 “假设法”，一种是列方程的解法。

 解决原题　

在掌握上述两种基本解法的基础上，教材呼应《孙子算经》中鸡兔同笼的原题，让学生在解决该问题的过程中进一步巩固前面所学的解题方法。

四、教学建议

1．采取直观形象的方式，让学生探讨不同的方法。

2．适当把握教学要求。

解决“鸡兔同笼”问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程，即猜测、列表――假设或方程解。其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程解则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。

综合应用： 确定起跑线

【具体介绍】

综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过该活动一方面让学生了解椭圆形田径场跑道的结构，学会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。

“确定起跑线”活动由以下四个部分组成。

1、 提出研究的问题。

 教材呈现了400m椭圆形跑道的一部分，跑道上有一些同学站在起跑线上正准备起跑，教材开门见山地提出问题，引起学生对起跑线位置的关注和思考。（最里面一圈跑道是400米。）

 经过小组同学共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，如果在同一条起跑线上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应该往前移”。

 在此认知基础上，教材紧接着引申出进一步研究的问题“各条跑道的起跑线应该相差多少米”，即如何确定每条跑道的起跑线。

2．收集数据。

 教材第75页第二幅图中呈现了小组同学测量有关数据的场景，旨在帮助学生了解400m跑道的结构以及各部分的数据。

 由于不同田径场的规格可能有所不同，而且进行实地测量需要花费较多的时间，同时测量还可能会产生误差，因而实际教学时不必要求学生实际测量。只要通过该图让学生明确相关的数据是通过测量获得的即可，具体的数据则可以配合图片、投影片等相应形式给出。老师还可就半圆形跑道的直径在此是如何规定的，以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题向学生作一具体说明。

3．整理数据，确定思路。

学生对已获得的数据进行整理，通过适宜的方式呈现数据，使学生明确：（1）每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。（2）两个半圆形跑道合在一起就是一个圆。（3）各条跑道直道长度相同。要确定跑道的起跑线，只要算出每相邻两条跑道的长度差就可以了。

4．进行计算，得出结论。

在学生明确解决问题的思路和方法后，教材在第四幅图中给出了一张表格，通过让学生分别计算各条跑道的半圆形跑道的直径、两个半圆形跑道的周长以及跑道的全长，从而计算出相邻跑道长度之差，确定每条跑道的起跑线。在此，可以向学生说明：理论上相邻跑道之间的长度差是相同的2.5π，由于π的取值造成了有的相邻跑道之间的差是7.85m，有的是7.86m，。在确定起跑线时，可以根据计算结果来确定。

综合应用： 合理存款

本活动是在完成了第六单元“百分数”的教学之后安排的，旨在让学生巩固对储蓄存款的认识，了解教育储蓄以及国债利率的有关知识，并综合运用这些相关知识解决生活实际问题。通过这个活动，一方面可以使学生更多地接触实际生活中的百分数，认识到数学应用的广泛性；另一方面可以促使学生了解教育储蓄、国债等相关知识，培养学生的投资意识。

活动目的：

1. 巩固对储蓄存款的认识，了解教育储蓄以及国债利率的有关知识，并综合运用这些相关知识解决生活实际问题。

2. 使学生更多地接触实际生活中的百分数，认识到数学应用的广泛性。

“合理存款”活动共由以下四个部分组成。

1． 明确问题。

本活动主要围绕：“妈妈要存款一万元，供儿子六年后上大学用，怎样存款收益最大？”这一问题展开的。该问题中蕴含着几个很关键的信息：本金、可存款年限以及资金用途。

2． 收集信息。

明确问题后，需要收集与该问题相关的信息。教材中呈现了通过去银行咨询以及查阅相关规定的方式获得的信息：（1）人民币储蓄存款利率，包括定期整存整取、零存整取、活期利率等。（2）教育储蓄存款免征存款利息所得税，它可存的期限以及相应利率。（3）国债也是免征利息所得税，有三年期和五年期的……

3． 设计方案。

根据上述收集到的信息，让学生设计具体的储蓄存款方案。定期储蓄存款的方案可填在第111页第一张表格中。其他存款方案，如教育储蓄存款方案以及买国债的方案可填在第二张表格中。每一个具体方案都要求明确填出存期、到期利息、利息税以及到期收入等信息。

4． 选择方案。

从上述各种可行的方案中选取收益最大，即最优化的方案进行合理存款，并计算出到期后总共的收入。

教学建议：

1． 课前布置相关的调查，收集信息。

2． 以小组合作的学习方式设计方案。

人教版小学六年级数学上册教材分析