2014-2015学年江苏省宿迁市汇文中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题：（本大题共8小题，每题5分，共40分．请将答案填在答卷上）

1．抛物线y2=4x的焦点坐标为　　　　　　．

2．“x＞2”是“x＞1”的　　　　　　条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）

3．在平面直角坐标系中，若点（a，﹣1）在直线2x﹣y+1=0的上方（不含边界），则实数a的取值范围是　　　　　　．

4．已知函数f（x）=2x+1，则f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为　　　　　　．

5．双曲线的渐近线方程为　　　　　　．

6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为　　　　　　．

7．一物体做加速直线运动，假设ts时的速度为v（t）=t2+3，则t=2时物体的加速度为　　　　　　．

8．不等式在[﹣1，1]上恒成立，]则a的取值范围是 　　　　　　．

二、解答题：（本大题共4道题，满分60分．答题应有必要的步骤和推理过程）

9．已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．

10．已知函数f（x）=x2．

（1）若曲线f（x）的一条切线的斜率是2，求切点坐标；

（2）求f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程．

11．已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0和圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点，且有最小面积，求此圆的方程．

12．如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，\直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

一、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分．请将答案填在答卷上）

13．直线l：y=x﹣1被圆（x﹣3）2+y2=4截得的弦长为　　　　　　．

14．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是　　　　　　．

15．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a=　　　　　　．

16．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方部分相交于点A，则AF=　　　　　　．

17．对任意实数λ，直线l1：x+λy﹣m﹣λn=0与圆C：x2+y2=r2总相交于两不同点，则直线l2：mx+ny=r2与圆C的位置关系是　　　　　　．

18．双曲线=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e=　　　　　　．

二、解答题：（本大题共2道题，满分30分．答题应有必要的步骤和推理过程）

19．已知圆M的圆心在直线2x﹣y﹣6=0上，且过点（1，2）、（4，﹣1）．

（1）求圆M的方程；

（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O：x2+y2=1引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

20．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）过点A（0，5），B（﹣8，﹣3），C、D在该椭圆上，直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．

2014-2015学年江苏省宿迁市汇文中学高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：（本大题共8小题，每题5分，共40分．请将答案填在答卷上）

1．抛物线y2=4x的焦点坐标为　（1，0）　．

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 计算题．

分析： 先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．

解答： 解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，

p=2∴焦点坐标为：（1，0）

故答案为：（1，0）

点评： 本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．

2．“x＞2”是“x＞1”的　充分不必要　条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 规律型．

分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答： 解：当x＞2时，x＞1一定成立．

当x＞1时，x＞2不一定成立，比如当x=时，满足x＞1时，但x＞2不成立．

∴“x＞2”是“x＞1”充分不必要条件．

故答案为：充分不必要

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

3．在平面直角坐标系中，若点（a，﹣1）在直线2x﹣y+1=0的上方（不含边界），则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1）　．

考点： 二元一次不等式（组）与平面区域．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 根据二元一次不等式表示平面区域，先确定直线2x﹣y+1=0的上方（不含边界），对应的不等式，然后根据点的位置确定条件即可求a的取值范围．

解答： 解：在平面直角坐标系中，直线2x﹣y+1=0的上方（不含边界），对应的不等式为2x﹣y+1＜0，

∵点（a，﹣1）在直线2x﹣y+1=0的上方（不含边界），

∴2a﹣（﹣1）+1＜0，

即2a+2＜0，

解得a＜﹣1，

∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．

故答案为：（﹣∞，﹣1）．

点评： 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据条件确定直线2x﹣y+1=0的上方（不含边界），对应的不等式是解决本题的关键．

4．已知函数f（x）=2x+1，则f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为　2　．

考点： 变化的快慢与变化率．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 求出在区间[0，2]上的增量△y=f（2）﹣f（0），然后利用平均变化率的公式求平均变化率．

解答： 解：函数f（x）在区间[0，2]上的增量△y=f（2）﹣f（0）=2×2+1﹣1=4，

∴f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为=．

故答案为：2．

点评： 本题主要考查函数平均变化率的计算，根据定义分别求出△y与△x，即可．比较基础．

5．双曲线的渐近线方程为　y=±2x　．

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题．

分析： 本题比较简单，把双曲线中的1换成0再进行整理即可．

解答： 解：双曲线的渐近线方程为，

整理，得y=±2，

故双曲线的渐近线方程为y=±2．

点评： 本题较容易，解题时注意别和椭圆弄混了．

6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为　5　．

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得，即C（2，1），

代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=4+1=5．

即目标函数z=2x+y的最大值为5．

故答案为：5．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

7．一物体做加速直线运动，假设ts时的速度为v（t）=t2+3，则t=2时物体的加速度为　4　．

考点： 导数的几何意义．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 利用导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），然后利用导数求解即可．

解答： 解：∵v（t）=t2+3，

∴v'（t）=2t，

根据导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），

∴v'（2）=2×2=4，

故答案为：4．

点评： 本题主要考查导数的物理意义，以及导数的基本运算，比较基础．

8．不等式在[﹣1，1]上恒成立，]则a的取值范围是 　　．

考点： 不等式的综合；直线与圆的位置关系．

专题： 计算题；数形结合．

分析： 本题只要根据条件分别作函数和y=x+a的图象，利用数形结合即可解决．

解答： 解：分别作函数和y=x+a的图象如右

前者是以原点为圆心的单位圆的上半部分，后者是斜率为1的直线．

不等式的解即半圆在直线的下方的点的横坐标；

不等式恒成立即半圆都在直线的下方

由图可见，只需直线在与圆相切的位置的上方，即

则a的取值范围是

点评： 本题考查直线与圆的位置关系以及不等式的应用，主要利用数形结合思想解此类恒成立问题，属于基础题．

二、解答题：（本大题共4道题，满分60分．答题应有必要的步骤和推理过程）

9．已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．

考点： 椭圆的简单性质；复合命题的真假；函数恒成立问题．

专题： 计算题．

分析： 通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题p∧q为真命题，求出m的交集即可．

解答： 解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，

∴（x﹣）2+，

即，

解得：；

q：椭圆的焦点在x轴上，

∴m﹣1＞3﹣m＞0，

解得：2＜m＜3，

由p∧q为真知，p，q皆为真，

解得．

点评： 本题考查不等式恒成立问题，椭圆的简单性质，命题的真假的判断，是综合性比较高的问题，考查转化思想以及计算能力．

10．已知函数f（x）=x2．

（1）若曲线f（x）的一条切线的斜率是2，求切点坐标；

（2）求f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用．

分析： （1）设切点坐标，根据导数的几何意义可知切线的斜率为f′（t）=2，从而可求出切点坐标；

（2）先求出k=f′（﹣1）的值，得到切线的斜率，再求出切点坐标，最后根据点斜式求出直线方程即可．

解答： 解：（1）设切点坐标为（t，t2），

根据导数的几何意义可知切线的斜率为f′（t）=2t=2，解得t=1，

∴切点坐标为（1，1）；

（2）∵f′（x）=2x，

∴k=f′（﹣1）=﹣2，

而f（﹣1）=1，则切点为（﹣1，1），

∴切线方程为y﹣1=﹣2[x﹣（﹣1）]，即2x+y+1=0．

点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

11．已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0和圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点，且有最小面积，求此圆的方程．

考点： 圆与圆的位置关系及其判定．

专题： 计算题．

分析： 求出直线与圆的交点，判断面积最小值时AB是直径，求出圆的方程即可．

解答： 解：由直线l：2x+y+4=0和圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，

联立得交点A（﹣3，2），B（） 6’

有最小面积时，AB为直径 8’

∴圆方程为 14'

点评： 本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查计算能力．

12．如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，\直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

考点： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

专题： 计算题．

分析： （1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由已知，得出a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆C的方程即可；

（2）由=e=，得PF=PM．∴PF≠PM．下面分类讨论：①若PF=FM，②若FM=PM，结合已知条件求得第②情形存在点P（，±），使得△PFM为等腰三角形．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

由已知，得∴∴b=．

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）由=e=，得PF=PM．∴PF≠PM．

①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．[来源:学科网]

②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）．

∴=4﹣x，∴9+y2=16﹣8x+x2，又由+=1，得y2=3﹣x2．

∴9+3﹣x2=16﹣8x+x2，∴x2﹣8x+4=0．∴7x2﹣32x+16=0．[来源:Z_xx_k.Com]

∴x=或x=4．∵x∈（﹣2，2），∴x=．∴P（，±）．

综上，存在点P（，±），使得△PFM为等腰三角形．

点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题的关键是要认真审题，仔细解答，注意合理地选用反证法的思想方法证题．

一、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分．请将答案填在答卷上）

13．直线l：y=x﹣1被圆（x﹣3）2+y2=4截得的弦长为　2　．

考点： 直线与圆相交的性质．

专题： 计算题；直线与圆．

分析： 算出已知圆的圆心为C（3，0），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d=，由垂径定理加以计算，可得直线l被圆截得的弦长．

解答： 解：圆（x﹣3）2+y2=4的圆心为C（3，0），半径r=2，

∵点C到直线直线l：y=x﹣1的距离d==，

∴根据垂径定理，得直线l：y=x﹣1被圆（x﹣3）2+y2=4截得的弦长为2=2

故答案为：2

点评： 本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．

14．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是　[1，5﹚　．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；函数的零点．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 先根据直线方程可知直线恒过（0，1）点，要使直线y=kx+1与椭圆恒有公共点需（0，1）在椭圆上或椭圆内，进而求得m的范围．

解答： 解：直线y=kx+1恒过点（0，1），

直线y=kx+1与椭圆恒有公共点

所以，（0，1）在椭圆上或椭圆内

∴0+≤1

∴m≥1

又∵椭圆焦点在x轴上，

∴0＜m＜5．

∴实数m的取值范围是[1，5）．

故答案为：[1，5）

点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题可采用数形结合的方法来解决．

15．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a=　3　．

考点： 简单线性规划．

分析： 先根据约束条件（a为常数），画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求关于面积的等式求出a值即可．

解答： 解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，

如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，

故只能a≥0，

此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，

若这个三角形的面积为2，

则AB=4，即点B的坐标为（1，4），

代入y=ax+1得a=3．

故答案为：3．

点评： 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．

16．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方部分相交于点A，则AF=　4　．

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 过点A作AB⊥l于点B，作AP⊥x轴于点P．设A（m，n），可得|AF|=|AB|=m+1且|PF|=m﹣1，Rt△APF中求出∠AFP=60°，利用解直角三角形建立关于m的方程解出m=3，即可得到AF的长．

解答： 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1．

过点A作AB⊥l于点B，作AP⊥x轴于点P，

∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角∠AFP=60°，

可得Rt△APF中，|PF|=|AF|cos∠AFP=|AF|，

设A（m，n），由抛物线的定义得|AF|=|AB|=m+1，

∴|PF|=m﹣1=|AF|，即m﹣1=（m+1），解之得m=4，

由此可得|AF|=m+1=4

故答案为：4

点评： 本题给出抛物线的一条焦半径的倾斜角等于60°，求它的长度．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、解直角三角形等知识，属于中档题．

17．对任意实数λ，直线l1：x+λy﹣m﹣λn=0与圆C：x2+y2=r2总相交于两不同点，则直线l2：mx+ny=r2与圆C的位置关系是　相离　．

考点： 直线与圆相交的性质．

专题： 直线与圆．

分析： 由直线l1的方程可得它经过定点（m，n），结合条件可得点（m，n）在圆C的内部，故有 m2+n2＜r2．再求得点C到直线l2的距离为d＞半径r，

可得直线l2与圆C的位置关系是相离．

解答： 解：由直线l1：x+λy﹣m﹣λn=0 即 （x﹣m）+λ（y﹣n）=0，显然直线l1：经过定点（m，n）．

再根据l1与圆C：x2+y2=r2总相交于两不同点，可得点（m，n）在圆C的内部，∴m2+n2＜r2．

再根据点C到直线l2的距离为d==＞=r，

故直线l2：mx+ny=r2与圆C的位置关系是 相离，

故答案为 相离．

点评： 本题主要考查直线过定点问题，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判断方法，属于中档题．

18．双曲线=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e=　　．

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 根据题意，可得直线F1B1的方程为bx﹣cy+bc=0．由以A1A2为直径的圆与直线F1B1相切，可得点O到直线F1B1的距离等于a，利用点到直线的距离公式建立关于a、b、c的等式，化简整理得到关于离心率e的方程，解之即可得到

该双曲线的离心率e的值．

解答： 解：∵双曲线的虚轴两端点为B1、B2，两焦点为F1，F2．

∴F1（﹣c，0），B1（0，b），可得直线F1B1的方程为y=（x+c），即bx﹣cy+bc=0．

∵双曲线的两顶点为A1、A2，以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，

∴点O到直线F1B1的距离等于半径，即=a，化简得b2c2=a2（b2+c2），

∵b2=c2﹣a2，∴上式化简为（c2﹣a2）c2=a2（2c2﹣a2），整理得c4﹣3a2c2+a4=0．

两边都除以a4，得e4﹣3e2+1=0，解之得e2=

∵双曲线的离心率e＞1，

∴e2=，可得e==

故答案为：

点评： 本题给出以双曲线焦距与虚轴为对角线的菱形，在以实轴为直径的圆内切于该菱形的情况下求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．

二、解答题：（本大题共2道题，满分30分．答题应有必要的步骤和推理过程）

19．已知圆M的圆心在直线2x﹣y﹣6=0上，且过点（1，2）、（4，﹣1）．

（1）求圆M的方程；

（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O：x2+y2=1引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆的位置关系．

专题： 直线与圆．

分析（1）设圆心坐标为（m，2m﹣6）则利用圆过点1，2）、（4，﹣1），求出m即可；

（2）设P，R的坐标，利用直线和圆相切，建立方程关系，进行判断．

解答： 解：（1）∵圆M的圆心在直线2x﹣y﹣6=0上，且过点（1，2）、（4，﹣1）．

∴设圆心坐标为（m，2m﹣6），半径为r，

则圆的标准范围为（x﹣m）2+（y﹣2m+6）2=r2；

则（1﹣m）2+（2﹣2m+6）2=r2且（4﹣m）2+（﹣1﹣2m+6）2=r2；[来源:学&科&网]

即（m﹣1）2+（8﹣2m）2=r2且（m﹣4）2+（5﹣2m）2=r2；

解得m=4，r=3，

∴圆M：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9．

（2）设P（x，y），R（a，b），

则（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，

即x2+y2=8x+4y﹣11，

又PQ2=x2+y2﹣1，PR2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2，

故PQ2=8x+4y﹣12，

PR2=（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+a2+b2﹣11，

又设为定值，

故8x+4y﹣12=t2[（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+a2+b2﹣11]，

可得，

解得或，

综上，存在点R（2，1）或满足题意．

点评： 本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，以及直线与圆的位置关系应用，考查学生的运算能力．

20．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）过点A（0，5），B（﹣8，﹣3），C、D在该椭圆上，直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）直接把点A，B的坐标代入椭圆方程求得a，b的值，则椭圆方程可求；

（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后求出D的坐标，分别求出A，B到直线CD的距离，把四边形面积转化为两个三角形的面积和，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）将点A（0，5），B（﹣8，﹣3）代入椭圆G 的方程解得：

，解得：a2=100，b2=25．

∴椭圆G的方程为：；

（2）连结OB，

则，

其中dA，dB分别表示点A，点B 到直线CD 的距离．

设直线CD方程为y =kx，代入椭圆方程，得x2+4k2x2﹣100=0，

解得：，

∴，

又，，

则

=．

点评： 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系解题，训练了利用基本不等式求最值，是压轴题．

江苏省宿迁市汇文中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷[解析]