1.3 三角函数的诱导公式

自主广场

我夯基 我达标

1.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（ ）

A.cosα=cosβ B.cosα=-cosβ C.sinα=-sinβ D.以上都不对

思路解析：利用诱导公式β=π-α即可推导.cosα=cos(180°-β)=-cosβ.

答案：B

2.word/media/image1_1.png化简的结果是（ ）

A.sin3-cos3 B.cos3-sin3 C.±(sin3-cos3) D.以上都不对

思路解析：用诱导公式化简后，配成完全平方形式.

word/media/image2_1.png

=word/media/image3_1.png

=word/media/image4_1.png=|cos3-sin3|.

∵word/media/image5_1.png＜3＜π,∴sin3＞0,cos3＜0.

∴原式=sin3-cos3.

答案：A

3.设A、B、C是一个三角形的三个内角，则下列式子中值为常数的有（C≠word/media/image5_1.png）（ ）

①sin(A+B)-sinC ②cos(A+B)+cosC ③tan(A+B)+tanC ④cot(A+B)-cotC

A.1 B.2 C.3 D.4

思路解析：利用三角形内角和定理A+B+C=π，结合诱导公式即可推导.

∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.

∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,sin(A+B)-sinC=0.

同理cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,cos(A+B)+cosC=0;

tan(A+B)=tan(π-C)=word/media/image6_1.png-tanC,tan(A+B)+tanC=0;

cot(A+B)=cot(π-C)=word/media/image7_1.png=-cotC,cot(A+B)-cotC=2cotC.

所以结果为常数的有3个.

答案：C

4.tan300°+sin450°的值是（ ）

A.1+word/media/image8_1.png B.1-word/media/image8_1.png C.-1-word/media/image8_1.png D.-1+word/media/image8_1.png

思路解析：利用诱导公式将角化到锐角范围，由特殊角的三角函数值即可求解.

tan300°+sin450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)

=-tan60°+sin90°=1-word/media/image8_1.png.

答案：B

5.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 002)=-1，则f(2 003)=______________.

思路解析：用诱导公式寻求f(2 002)和f(2 003)的关系.

f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)

=asin［π+(2 002π+α)］+bcos［π+（2 002π+β)］

=-asin(2 002π+α)-bcos(2 002π+β)

=-［asin(2 002π+α)+bcos(2 002π+β)］

=-f(2 002)=1.

答案：1

6.已知sin(π-α)-cos(π+α)=word/media/image9_1.png(word/media/image5_1.png＜α＜π)，则sinα-cosα=________________.

思路解析：将已知平方可求sinαcosα,然后利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα求解.

易知sin(π-α)-cos(π+α)=sinα+cosα=word/media/image9_1.png.

两边平方，得1+2sinαcosα=word/media/image10_1.png,∴2sinαcosα=word/media/image11_1.png.

∵word/media/image5_1.png＜α＜π,∴sinα＞0＞cosα.

故有sinα-cosα=word/media/image12_1.png.

答案：word/media/image13_1.png

7.|cosα|=cos(π+α),则角α的集合为________________.

思路解析：由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.由已知得：|cosα|=-cosα，∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角.

∴2kπ+word/media/image5_1.png≤α≤2kπ+word/media/image14_1.png (k∈Z).

答案：2kπ+word/media/image5_1.png≤α≤2kπ+word/media/image14_1.png,k∈Z

8.已知sin(α+β)=1，求证：tan(2α+β)+tanβ=0.

思路分析：由sin(α+β)=1出发得到α+β=2kπ+word/media/image5_1.png即α=2kπ+word/media/image5_1.png-β.将其代入被证式的左边，然后利用诱导公式进行化简，直到推得右边.

证明：∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+word/media/image5_1.png (k∈Z).

∴α=2kπ+word/media/image5_1.png-β(k∈Z).

∴tan(2α+β)+tanβ=tan［2(2kπ+word/media/image5_1.png-β)+β］+tanβ

=tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ=tan(4kπ+π-β)+tanβ

=tan(π-β)+tanβ=-tanβ+tanβ=0.

∴tan(2α+β)+tanβ=0.得证.

9.化简word/media/image15_1.png+sin(-θ).

思路分析：由三角函数诱导公式，结合同角基本关系化简即可.

解：word/media/image16_1.png+sin(-θ)

=word/media/image17_1.png

=word/media/image18_1.png

=word/media/image19_1.png

我综合 我发展

10.判断函数y=Asin(word/media/image20_1.png+word/media/image21_1.png)(A≠0)的奇偶性.

思路分析：先化简，然后利用奇偶性定义作出判断.

解：y=Asin(word/media/image22_1.png+word/media/image23_1.png)=Asin(6π+word/media/image14_1.png+word/media/image23_1.png)=Asin(word/media/image14_1.png+word/media/image23_1.png)

=Asin(π+word/media/image24_1.png+word/media/image23_1.png)=-Asin(word/media/image24_1.png+word/media/image23_1.png)=-cosword/media/image23_1.png.

∴f(-x)=-Acos(-word/media/image23_1.png)=-Acosword/media/image23_1.png=f(x).

∴函数y=Asin(word/media/image22_1.png+word/media/image23_1.png)(A≠0)为偶函数.

11.已知函数f(n)=sinword/media/image25_1.png(n∈Z)，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102).

思路分析：如果将n=1,2,3,4，…,102分别代入计算，显然比较复杂，若注意到f(n)的周期性，将会使运算大大简化.

解：由诱导公式，知sin(word/media/image26_1.pngπ)=sin(word/media/image27_1.png+2π)=sinword/media/image28_1.png，

∴f(n+12)=f(n),且f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,102=12×8+6,

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)

=sinword/media/image29_1.png+sinword/media/image30_1.png+…+sinword/media/image31_1.png=2+word/media/image32_1.png.

12．求函数y=lgsin(630°-2x)的最大值.

思路分析：将sin(630°-2x)化简为-cos2x，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性,求得y=lgsin(630°-2x)的最大值.

解：sin(630°-2x)=sin(360°+180°+90°-2x)=sin(180°+90°-2x)

=-sin(90°-2x)=-cos2x,

∴y=lgsin(630°-2x)=lg(-cos2x).

其中-cos2x＞0,∴cos2x＜0.又cos2x≥-1,

∴当且仅当cos2x=-1时，ymax=lg1=0.

13．已知tanα,word/media/image33_1.png是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根，且3π＜α＜word/media/image34_1.png，求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.

思路分析：由题意知,即求-(cosα+sinα)的值，而由已知得关系式tanαword/media/image33_1.png=word/media/image35_1.png(3k2-13)=1,求出k后，代入关系式tanα+word/media/image33_1.png=k.这样，本题的关键就是由已知tanα+word/media/image33_1.png的值来求cosα+sinα值了.

解：tanα, word/media/image33_1.png是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根，

tanα·word/media/image33_1.png=word/media/image36_1.png(3k2-13)=1,

∴k2=word/media/image37_1.png〔当k2=word/media/image37_1.png时,Δ=9k2-4×3(3k2-13)＞0〕.

∵3π＜α＜word/media/image34_1.png,∴tanα＞0,sinα＜0,cosα＜0,

又tanα+word/media/image33_1.png=word/media/image38_1.png=k,∴k＞0.故取k=word/media/image39_1.png，

于是tanα+word/media/image33_1.png=word/media/image40_1.png+word/media/image41_1.png=word/media/image39_1.png,

即sinαcosα=word/media/image42_1.png.

∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=word/media/image43_1.png.

∵sinα+cosα＜0,∴sinα+cosα=word/media/image44_1.png.

于是cos(3π+α)+sin(π+α)=cos(π+α)+sin(π+α)

=-(cosα+sinα)=word/media/image45_1.png.

14．是否存在角α、β,α∈(word/media/image46_1.png,word/media/image47_1.png)、β∈(0,π)，使

word/media/image48_1.png成立？

思路分析：先利用诱导公式化简已知条件，然后利用方程的思想及同角三角函数基本关系式求出α、β，再检验.

解：将已知化为word/media/image49_1.png

①2＋②2,得sin2α+3(1-sin2α)=2，

∴sin2α=word/media/image50_1.png,sinα=±word/media/image51_1.png.∵word/media/image46_1.png＜α＜word/media/image47_1.png,∴α=word/media/image52_1.png或-word/media/image53_1.png.

当α=word/media/image53_1.png时，由②得cosβ=word/media/image54_1.png，又β∈(0,π)，∴β=word/media/image29_1.png.

当α=-word/media/image53_1.png时，由②得cosβ=word/media/image55_1.png，又β∈(0,π),

∴β=word/media/image29_1.png，但此时不满足①，应舍去.

∴存在word/media/image56_1.png使两个等式同时成立.

诗歌鉴赏（2）炼句及语言风格

李仕才

【考纲说明】

考纲要求：鉴赏文学作品的形象、语言和表达技巧。2．语言的鉴赏，侧重于领会语言的艺术特色。

【学习目标】

1．体会古典诗歌的语句之妙和把握古典诗歌语言风格。

2．学习掌握古典诗歌炼句与语言风格答题技巧，提高解题能力。

3．激发阅读古典诗歌的兴趣， 提高审美情趣。

自主学习

【学法指导】

1.熟读诗歌，识记古典诗歌的语言风格术语。

2.结合“典型剖析”及“实战真题”，掌握炼句和语言风格题作答的一般方法，学会规范答题。

【典例剖析】

（一）炼句题设问方式

1.有关语句的内容（解释含义)

2.重要语句的情感（对主旨的探讨）

3.关键语句的手法（艺术层面的鉴赏）

答题模式：

解释语句 → 指出语句的特点 → 表达效果或作用

（二）语言风格术语举隅

1.平实质朴 朴素自然 直接陈述，或用白描，显得真切深刻，平易近人。贾岛《寻隐者不遇》
2.含蓄隽永 委婉蕴藉 不把意思直接说出来，而是藏在形象之中让读者想象。李商隐《夜雨寄北》
3.清新明快 简洁雅致 用清丽的语言来营造优美的意境，表达怡然喜悦的感情。杨万里《小池》
4.诙谐幽默 讽刺批判 诗中多指诙谐、风趣或辛辣的笔调和趣味。章碣《焚书坑》

【示例1】（2012年辽宁卷）

初见嵩山 张耒
年来鞍马困尘埃，赖有青山豁我怀。
日暮北风吹雨去，数峰清瘦出云来。
  [注] 张耒,北宋诗人。苏门四学士之一，因受苏轼牵连，累遭贬谪。
（1）“数峰清瘦出云来”一句妙在何处？

【解析】第一问“妙在何处”主要考作用、主要鉴赏语言与表达技巧。鉴赏时要考虑运用了何种表现手法，再考虑语言特点或富有表现力的词，然后分析表达效果。第二问：理解诗歌的内涵，既要理解表层义，更要挖掘深层义

【答案】①高峻山峰在一片积云中突现，基于这种观感，作者运用了拟人手法，以“清瘦”形容山峰，突出山峰的高峻挺拔，造语新奇。一个“出”字，作者运用了以动写静的手法，赋予山峰动感，使山峰与云层形成了尖耸与广阔、跃动与静态相结合的画面。

【示例2】（2011年北京卷）阅读下面的诗，按要求作答。

示秬秸① 　　张耒
　　北邻卖饼儿，每五鼓未旦，即绕街呼卖，虽大寒烈风不废，而时略不少差也。因为作诗，且有所警，示秬，秸。城头月落霜如雪，楼头五更声欲绝。捧盘出户歌一声，市楼东西人未行。北风吹衣射我饼，不忧衣单忧饼冷。业无高卑志当坚，男儿有求安得闲。

注释：1秬秸：张耒二子张秬、张秸。张耒，北宋著名文学家，曾官太常寺少卿。 

（1）这首诗的写景叙事，平实而富有韵味，请结合具体诗句作简要分析。（4分） 
答案：要点一：平实，没有华丽辞藻，明白如话，通俗浅显。举例：“捧盘出户”，“市楼东西”等等，均无任何修饰之语。　　
要点二：有韵味，写景、叙事、蕴含丰富。举例：开篇两句，从视觉和听觉两个方面描画出了清冷空寂的景色，透露出作者对卖饼儿生活际遇的同情和关怀，其他如“人未行”的空寂街景、“忧饼冷”的心态表露，均语浅而意深。

2019高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式自主训练新人教A版必修43