数学建模选拔作业

《房价评估》

房价影响因素评估

摘要：自1998年我国实行住房改革以来，房地产行业已经逐渐成长为拉动中国经济增长的龙头产业。但是，房价的高低影响着国家的发展和人民生活水平的提高，因此，我们有必要了解影响我国房价的主要因素，政府才能针对性的采取措施，进一步推动房产行业的发展，发挥其龙头作用。

在问题一中，我们主要是分析影响我国房价变化的各个因素，确定其主要因素，该文通过在中国国家统计局和其他网站搜的相关数据，建立回归统计模型，确定房价和土地价值、人均可支配收入等其他因素的相关性系数，通过分析指数模型、线性模型，确定了线性模型，从而进一步确定了影响房价的最主要因素是国家土地增值税(亿元)、五年购房贷款利率、城镇居民家庭人均可支配收入(元)城市人口密度(人/平方公里)，比如，房价和五年购房贷款利率的关系为

59cd14454dc7d06d197cf102569e0c32.png其中，相关指数为0.97464，非常接近于1，这也说明，我国国家正在国家政策上控制房价。最终可知最主要的因素是国家土地增值税(亿元)，也就是我们所说的土地价值。

在问题二中，我们把房价与位置的关系定在同一个城市中，以这个条件为限制，而不去考虑东西部、南北方这样的大位置，房子的位置影响因素进一步表示为交通C1、教育C2、卫生C3、工作C4、环境C5五个相关因素，通过层次分析法，建立模型，得到了相关权重，也就是房子的价格d6cb262b82bc1cb023ba231552d95de5.png

此问题得到解决。

在问题三中，主要是对前两个模型的检验，我们利用在网上收集北京市相关数据带入检验，并且在模型二中，通过对五个位置因素的分析，检验我们所得到的模型，着重分析了天津市，发现我们建立的模型基本符合实际，因此较为可靠。

关键词：回归统计 层次分析法 模型检验

1、问题重述

1.1 问题背景

自1998年我国实行住房改革以来，房地产行业已经逐渐成长为拉动中国经济增长的龙头产业，但是房价的高低却影响着国家的发展和社会的进步，我们有必要充分了解房价与各影响因素之间的关系。

1.2 问题

影响房价的因素有很多，通过建立模型，确定影响房价的主要因素。

位置是影响房价的主要因素，建立模型分析位置与房价的关系。

以某个城市为例，检验前两个模型。

2、问题分析

1.2.1 问题一

这是一个评价模型，通过建立回归统计模型，确定各个因素对房价的影响力，影响房价的因素有很多，该问题的难点在于怎么样缩小影响因子，我们通过在网上收集大量参考文献，在中国国家统计局和其他网站收集相关数据，建立模型，得到答案。

1.2.2 问题二

这是一个动态模型，通过分析关于位置的影响因素对房价的影响来分析各个因素对房价影响力大小的高低程度，在这里，我们通过层次分析法，建立线性函数，分析各个影响因素的权重，确定位置和房价的关系。

1.2.3 问题三

这是一个检测问题，在模型一和模型二已经给出来的情况下对模型进行检测，以此为限制条件，这个问题的难点在于准确有效数据的收集和整理，并对数据做进一步加工处理。

3、模型假设

1.假设我们在网上搜集的信息有效准确；

2.假设经济性适用房的销售价格可以代表保障性住房的价格，从而进行本题的研究。

3.房地产价格受众多因素的影响，假设只考虑本文所研究的几个个因素，以外的其他因素对房产价格的影响可暂时忽略。

4.假设本文所研究的各项因素的误差是不相关的。

5.假设本文数据挖掘及处理研究过程中只出现有系统误差，无随机误差。

4、符号说明

W——我国经济住房房价

C1——交通因素影响力

B1——国家土地增值税(亿元)

C2——教育因素影响力

B3——城镇居民家庭人均可支配收入(元)

C3——卫生因素影响力

B3——城镇居民家庭人均可支配收入(元)

C4——工作因素影响力

B4——城市人口密度(人/平方公里)

C5——环境因素影响力

β1、β2、β3、β4、β5——C1、C2、C3、C4、C5的权重

A——正反比矩阵

Λ——A的最大特征值

5、模型建立与求解

5.1 问题一

5.1.1 模型分析

我们在中国统计局和其他网站搜的如下数据房价和国家土地增值税(亿元)、五年购房贷款利率、城镇居民家庭人均可支配收入(元)城市人口密度(人/平方公里)，说明一下，由于国家土地增值税的存在意义，我们在这里把国家土地增值税理解为土地价值。

相关数据如下：

因为某些原因，我们没有得到完整的数据，但可以肯定，我们得到的数据真实有效。在处理相关关系的时候，我们可以采取这样的方法，比如处理房价和五年购房贷款利率时，采取2005年到2011年的有效数据，但处理房价和城镇居民家庭人均可支配收入时，便采取2005年到2012年数据。

当然，通过中国国家统计局网站，我们还可以得到更多的影响房价的而问题，但是在翻看大量关于房价问题的参考文献的情况下，我们着重考虑这四种情况，这并不排除其他因素的不重要性。

5.1.2模型建立和求解

我们把得到的数据通过散点图表述出来，就房价和国家土地增值税来说，他们的近似关系如下：

为进一步确定其关系，我们建立两种模型：

指数模型为28bddee30fa8dd31507ce16d88954eee.png。

线性模型为88b6e636ee0f266f4151e967209e7d99.png。

在这里，其中y为房价，x为国家土地增值税，也就是土地价值。

在这两种模型中，我们分别带入国家土地增值税的真实值求房价，统计他们的相对误差，结合线性模型的相关指数为0.91544，非常接近于1，于是决定采取线性模型。

通过类似的曲线模拟，我们得如下图案：

得到如下线性关系：

房价与五年购房贷款利率的关系为59cd14454dc7d06d197cf102569e0c32.png，相关指数为0.97464

房价与国家土地增值税的线性关系为88b6e636ee0f266f4151e967209e7d99.png，相关指数为0.91544

房价和城镇居民家庭人均可支配收入关系为449a29985f7e87bd747851f77f88d794.png，相关指数为0.9607

房价和人口密度线性关系为699c80ba3373e5aaae8f827ad00c1971.png，相关指数为0.5432

由相关指数可以确定，对房价影响最大的因素为城镇居民家庭人均可支配收入，其次是土地价值和五年购房贷款利率，最后是人口密度，这就是我们考虑的四个因素与房价的相关性，其余类似。

5.2问题二

5.2.1 模型分析

确定房价问题类似地相当于一个决策问题，考虑到房价是居民购买房子的最关键、最主要的因素，我们需要建立模型分析位置对房价有什么影响和关系。因此，可以采用层次分析法进行判断。

进一步分析位置关系，考虑到社会的发展，大多购房者对住址的要求，例如，房子附近的教育环境、交通是否便利等等，良好的位置应该最大可能满足居民在教育、卫生、交通等方面的要求，我们分为五类，分别是，教育、环境、卫生、交通、工作，关系如下：

5.2.2 模型建立和求解

通过分析五个因素，我们利用层次分析法，建立正反比矩阵A，也就是在矩阵A中，64e7a85940f96e5973d4de3e8f04a059.png,得到

4fac7cf2149ff6d798abac753404ef2e.png

利用MATLAB求得A的最大特征根为 237bbb95bd1858af99d7414f24da3d6c.png，其一致性指标为

30ab8fb7f048f8305ff3b8263c355c5d.png

随机一致性指标RI的数值如下：

随机一致性指标RI的数值

可得A的一致性比率

7811e3495cfe49f8dd6c49efe6b890dc.png

即通过一致性检验，所得正反比矩阵可用。

利用MATLAB求得最大特征根对应的特征向量为

9db0d2fb0ed729b259445239a94a8658.png

数据归一化处理后得：

14c93982359ea5a3857d1aad08d3baae.png

即得房价与位置的关系为

d6cb262b82bc1cb023ba231552d95de5.png

也就是说，在位置中，对房价影响最大的是教育，其次是卫生，然后是交通、环境，最后是工作。

5.3 问题三

5.3.1 问题分析及模型检验

通过网上的数据，我们得到天津市近十年房价如下：

我们把得到的上述数据带到模型一中，得到天津市的这些数据也符合模型一建立的回归模型，因此模型可靠。

模型二中，我们在网上得到，往往一个城市的学区房是这个城市中房价最高的地方，靠近各个学校，从幼儿园到大学，只要在学区房内，房价就高于其他房价。在医院附近，房价也是很高的，其房价略低于学区房，在环境优美的地方，比如公园附近，房价较高，在市中心，虽然环境较差，但由于交通便利，其房价也高居不下。

6、 模型评价

6.1 模型优点

1.数据来自国家统计局，具有真实性和权威性； 

2.通过查阅参考文献，适当选择所要研究的影响因素，忽略次要因素，简化了模型，但是根本方法依然给出，其他因素可以按照这种模型进行评估。 

3.运用matlab软件实现数据拟合，使模型方案清晰明了； 

(4)采用抽样等数学思想，使模型简单且具有代表性；

6.2 模型缺点

1.数据采集不够精确，具有一定局限性，跟实际有所出入； 

2.没有考虑由于金融危机、大型自然灾害等意外情况以及政府调整政策等对此的影响，缺乏实际性。

3.在模型一中，没有比较其他相关性模型，例如冥属数模型等，假设所研究的因素相互无关，但在生活实际中，他们具有一定的联系。

6.2 模型改进

在问题三中，我们采用灰度预测对所建模型进行评价，可以让我们的模型更加具有说服力。

7、参考文献

[1]数学建模第八章 离散模型，高等教育出版社，第二版，姜启源，谢金星，叶俊 主编

[2]MATLAB基础及应用教程 数组和矩阵 电子工业出版社尚涛主编

数学建模-房价评估模型