2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学模拟试卷（二）

一、选择题：

1．在下列实数中，无理数是（　　）

A．2 B．3.14 C． D．

2．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a4=a6 B．2a+3b=5ab C．（a2）3=a6 D．a6÷a3=a2

3．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（　　）

A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）

5．如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

6．已知反比例函数y=的图象如图所示，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＞1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＜0

7．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

8．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（　　）

A．12个 B．16个 C．20个 D．30个

9．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　）

A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9

10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：

①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，

错误的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：

11．地球绕太阳的公转速度约110000000米/时，用科学记数法可表示为　　　　　　米/时．

12．函数y=+的自变量x的取值范围为　　　　　　．

13．不等式组的解集是　　　　　　．

14．计算： =　　　　　　．

15．分解因式：a3﹣9a=　　　　　　．

16．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=　　　　　　．

17．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，则线段AE的长为　　　　　　．

18．某小区2019年绿化面积为2000平方米，计划2019年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　　　　　　．

19．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D在直线AC上，且CD=2，连接BD，作BD的垂直平分线交三角形的两边于E、F，则EF的长为　　　　　　．

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BE=3，则△ABD的面积为　　　　　　．

三、解答题（其中21～24题各6分，25～26题各8分，27～28题各l0分，共计60分）

21．先化简再求值：（x﹣）÷（1+），其中x=tan45°+2sin45°．

22．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格我市某校对初四学年学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如图所示的统计图，已知图中从左到右的四个长方形的高的比为：14：9：6：1，评价结果为D等级的有2人，请你回答以下问题：

（1）共抽测了多少人？

（2）该校初四的毕业生共780人，综合素质”等级为A或B的学生为优秀，请你计算该校大约有多少名优秀学生？

24．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．

25．如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．

（1）求证：AC⊥AB；

（2）若点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

26．为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．

（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？

（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？

27．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣x+2交于点C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（﹣3，），点E从点O出发，沿射线OA运动，过点E作EH⊥x轴交直线CD于点H，交抛物线于点P．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E的横坐标为m，线段PH的长为d（d≠0），求d与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；

（3）是否存在点P，使∠PCH=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学模拟试卷（二）

参考答案与试题解析

一、选择题：

1．在下列实数中，无理数是（　　）

A．2 B．3.14 C． D．

【考点】无理数．

【分析】根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、2是有理数，故本选项错误；

B、3.14是有理数，故本选项错误；

C、﹣是有理数，故本选项错误；

D、是无理数，故本选项正确．

故选D．

【点评】主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a4=a6 B．2a+3b=5ab C．（a2）3=a6 D．a6÷a3=a2

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．

【专题】计算题．

【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；对各选项计算后利用排除法求解．

【解答】解：A、a2+a4=a6，不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故本选项错误；

B、2a+3b=5ab，不是合并同类项，故本选项错误；

C、（a2）3=a6，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项正确；

D、a6÷a3=a2，同底数幂的除法，底数不变指数相减，6﹣3≠2，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，难度不大，是一道杂烩选择题．

3．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；

B、是轴对称图形，故B正确；

C、不是轴对称图形，故C错误；

D、不是轴对称图形，故D错误．

故选：B．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4．抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（　　）

A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）

【考点】二次函数的性质．

【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．

【解答】解：由y=3（x+3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，1），

故选C．

【点评】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

5．如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1，依此画出图形即可求出答案．

【解答】解：左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1；

依此画出图形．

故选C．

【点评】此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

6．已知反比例函数y=的图象如图所示，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＞1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＜0

【考点】反比例函数的性质．

【专题】探究型．

【分析】先根据反比例函数的图象在一三象限可知，m﹣1＞0，求出m的取值范围即可．

【解答】解：∵反比例函数的图象在一三象限可知，m﹣1＞0，

∴m＞1．

故选：A．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．

7．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

【考点】菱形的性质．

【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=CD，∠B=∠D=60°，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，

∴AE=AF，

∵∠B=60°，

∴∠BAD=120°，

∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF，∠AEF=60°，

∵AB=4，

∴BE=2，

∴AE==2，

∴EF=AE=2，

过A作AM⊥EF，

∴AM=AE•sin60°=3，

∴△AEF的面积是： EF•AM=×2×3=3．

故选：B．

【点评】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．

8．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（　　）

A．12个 B．16个 C．20个 D．30个

【考点】模拟实验．

【分析】根据共摸球40次，其中10次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：3；即可计算出白球数．

【解答】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，

∴有30次摸到白球，

∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，

∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，

4÷=12（个）．

故选：A．

【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．

9．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　）

A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】数形结合．

【分析】设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．

【解答】解：设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，

又点B′为CD的中点，

∴B′C=1，

在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3﹣x）2，

解得：x=，即可得CF=3﹣=，

∵∠DB′G+∠DGB'=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，

∴∠DGB′=∠CB′F，

∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，

根据面积比等于相似比的平方可得： ===．

故选D．

【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是求出FC的长度，然后利用面积比等于相似比的平方进行求解，难度一般．

10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：

①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，

错误的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＞﹣1，故＜1，∵a＜0，∴b＞2a，所以2a﹣b＜0，①正确；

②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；

③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；

④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误；

⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；

故错误的有2个．

故选：B．

【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．

二、填空题：

11．地球绕太阳的公转速度约110000000米/时，用科学记数法可表示为　1.1×108　米/时．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将110000000用科学记数法表示为：1.1×108．

故答案为：1.1×108．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．函数y=+的自变量x的取值范围为　x≥﹣2且x≠2　．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知x+2≥0；分母不等于0，可知：x﹣2≠0，则可以求出自变量x的取值范围．

【解答】解：根据题意得：，

解得：x≥﹣2且x≠2．

故答案为：x≥﹣2且x≠2．

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

13．不等式组的解集是　3≤x＜4　．

【考点】解一元一次不等式组．

【专题】计算题．

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．

【解答】解：，

由①得：x＜4；

由②得：x≥3，

则不等式组的解集为3≤x＜4．

故答案为：3≤x＜4

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．计算： =　　．

【考点】二次根式的加减法．

【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．

【解答】解：原式=2﹣

=．

故答案为：．

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．

15．分解因式：a3﹣9a=　a（a+3）（a﹣3）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．

【解答】解：a3﹣9a=a（a2﹣32）=a（a+3）（a﹣3）．

【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

16．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=　72°　．

【考点】正多边形和圆．

【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．

【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，

∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°

又∵EA=ED，

∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，

∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，

故答案是：72°．

【点评】本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键．

17．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，则线段AE的长为　　．

【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】先求出∠DAB=∠E，证明△ABD∽△EAD，得出，即可求出AE=．

【解答】解：∵EA⊥AB，

∴∠EAB=90°，

∴∠B+∠E=90得，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD=，∠ADB=∠EAB，∠B+∠DAB=90°，

∴∠DAB=∠E，

∴△ABD∽△EAD，

∴∠DAB=∠E，

∴，，

∴AE=．

故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．

18．某小区2019年绿化面积为2000平方米，计划2019年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　20%　．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．

【解答】解：设这个增长率是x，根据题意得：

2000×（1+x）2=2880

解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去）

故答案为：20%．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．

19．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D在直线AC上，且CD=2，连接BD，作BD的垂直平分线交三角形的两边于E、F，则EF的长为　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】如图，作辅助线；首先证明DE=BE（设为μ），DF=BF（设为γ）；运用勾股定理分别求出BE、BF、BD的长度；借助三角形的面积公式，列出关于EF的等式，求出EF即可解决问题．

【解答】解：如图，过点D作DG⊥AE于点G；

∵∠C=90°，AC=BC=4，

∴=4，∠A=45°；

∵∠ADG=90°﹣45°=45°，

∴∠A=∠ADG，AG=DG（设为λ），

由勾股定理得：λ2+λ2=AD2，而AD=AC﹣2=2，

λ=，BG=3．

由勾股定理得：BD=2；

∵EF⊥BD，且平分BD，

∴DE=BE（设为μ），DF=BF（设为γ），

∴GE=3﹣μ，CF=4﹣γ；

在△DGE中，由勾股定理得：

，

解得：μ=；在△DCF中，

同理可求：γ=2.5；

∵S四边形BEDF=S△BED+S△BFD，

，

∴，

解得：EF=．

故答案为．

【点评】该题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点是灵活解题的基础和关键．

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BE=3，则△ABD的面积为　13　．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】如图，设DE=μ，得到AE=5μ；证明AD=μ；AD=λ，得到λ=μ①；证明△BDE∽△BCA，得到，即，即②，联立求出①②μ值，即可解决问题．

【解答】解：如图，∵∠C=90°，∠ADC=45°，

∴∠DAC=∠ADC=45°，AC=DC（设为λ）；

设DE=μ，则AE=5μ；而DE⊥AB于E，

∴AD=μ；由勾股定理得：

AD=λ，BD=

∴λ=μ①；

∵∠B=∠B，∠DEB=∠ACB，

∴△BDE∽△BAC，

∴，即②

联立①②并解得：μ=2，

∴，而AB=13，DE=2，

∴△ABD的面积=13，

故答案为13．

【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识点．

三、解答题（其中21～24题各6分，25～26题各8分，27～28题各l0分，共计60分）

21．先化简再求值：（x﹣）÷（1+），其中x=tan45°+2sin45°．

【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=÷

=×（x+1）（1﹣x）

=x（1﹣x），

当x=tan45°+2sin45°=1+2×=1+时，原式=（1+）（1﹣1﹣）=﹣2﹣．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

22．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格我市某校对初四学年学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如图所示的统计图，已知图中从左到右的四个长方形的高的比为：14：9：6：1，评价结果为D等级的有2人，请你回答以下问题：

（1）共抽测了多少人？

（2）该校初四的毕业生共780人，综合素质”等级为A或B的学生为优秀，请你计算该校大约有多少名优秀学生？

【考点】条形统计图；用样本估计总体．

【分析】（1）利用评价结果为D等级的有2人，再利用D级人数除以所占百分比进而得出总人数；

（2）利用A或B的学生所占比例，进而求出全校优秀人数．

【解答】解：（1）∵评价结果为D等级的有2人，

∴2÷=60，

答：共抽测了60人；

（2）由样本估计总体，780×=598，

答：该校大约有598名优秀学生．

【点评】此题主要考查了条形统计图以及利用样本估计总体等知识，正确掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．

24．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．

【考点】待定系数法求一次函数解析式．

【专题】计算题．

【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；

（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．

【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），

∴，

解得，

∴直线AB的解析式为y=2x﹣2．

（2）设点C的坐标为（x，y），

∵S△BOC=2，

∴•2•x=2，

解得x=2，

∴y=2×2﹣2=2，

∴点C的坐标是（2，2）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．

25．如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．

（1）求证：AC⊥AB；

（2）若点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°，得出∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理和已知条件得出∠CAD+∠BAD=90°，从而得出∠BAC=90°，即可得出

AC⊥AB；

（2）根据AA得出△ADC∽△BAC，求出CA的长，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠B=∠CAD，

∴∠CAD+∠BAD=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（2））∵BD=5，CD=4，

∴BC=9，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△BAC，

∴=，

∴AC2=BC×CD=36，

解得：AC=6，

在Rt△ACD中，AD==2，

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，

∴CA=CF=6，

∴DF=CA﹣CD=2，

在Rt△AFD中，AF==2．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理．

26．为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．

（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？

（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论；

（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．

【解答】解：（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，由题意，得：

，

解得：．

答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件；

（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，由题意，得：

20（1000﹣a）+30a≤28000，

解得：a≤800，

答：最多购买B型学习用品800件．

【点评】本题考查了列二元一次方程组和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程组的关键．

27．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣x+2交于点C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（﹣3，），点E从点O出发，沿射线OA运动，过点E作EH⊥x轴交直线CD于点H，交抛物线于点P．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E的横坐标为m，线段PH的长为d（d≠0），求d与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；

（3）是否存在点P，使∠PCH=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）分P在CD上面和P在CD下面两种情况讨论可得y与m之间的函数关系式；

（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=2，故C（0，2），

把C（0，2），D（﹣3，）代入解析式y=﹣x2+bx+c得，

解得，故y=﹣x2﹣x+2；

（2）①P在CD上面，如图1，点P的坐标为（m，﹣m2﹣m+2），点F的坐标为（m，﹣ m+2），

线段PH的长度为d=﹣m2﹣m+2+m﹣2=﹣m2﹣3m（﹣4＜m＜0）；

②P在CD下面，如图2，点P的坐标为（m，﹣m2﹣m+2），点H的坐标为（m，﹣ m+2），

线段PH的长度为d=﹣m+2+m2+m﹣2=m2+3m（﹣4≤m≤﹣3）；

（3）存在．

理由：①如图4所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=﹣m，EM=2，

∴HM=yH﹣EM=﹣m，

∴tan∠CHM=2．

在Rt△CHM中，由勾股定理得：CH=﹣m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN=HN•tan∠PHN=HN•tan∠CHM=2HN．

∵∠PCH=45°，

∴PN=CN，

而PN=2HN

∴HN=CH=﹣m，PN=2HN=﹣m，

在Rt△PHN中，由勾股定理得：PH==﹣m．

∵PH=yP﹣yH=（﹣m2﹣m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2﹣3m，

∴﹣m2﹣3m=﹣m，整理得：m2+m=0，

解得m=0（舍去）或m=﹣，

∴P（﹣，）；

②如图5所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=﹣m，EM=2，

∴HM=yH﹣EM=﹣m，

∴tan∠CHM=2．

在Rt△CHM中，由勾股定理得：CH=﹣m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN=HN•an∠PHN=HN•tan∠CHM=2HN．

∵∠PCH=45°，

∴PN=CN，

而PN=2HN，

∴HN=CH=﹣m，PN=2HN=﹣m，

在Rt△PHN中，由勾股定理得：PH==﹣m．

∵PH=yH﹣yP=（﹣m+2）﹣（﹣m2﹣m+2）=m2+3m，

∴m2+3m=﹣m，整理得：m2+m=0，

解得m=0（舍去）或m=﹣，

∴P（﹣，）．

故点P坐标为P（﹣，）或P（﹣，）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，求解析式要用待定系数法，求d的解析表达式要根据一次函数与二次函数的差列出等式，尤其要关注（3），（3）是存在性问题，要注意分类讨论，作出正确图形是解题的关键．

黑龙江省哈尔滨市2019年中考数学模拟试卷（二）含答案解析