求数列通项公式的方法总结史上最全的吐血分享

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求数列通项公式的方法总结史上最全的
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1an1anf(n
解法：把原递推公式转化为an1anf(n，利用累加法(逐差相加法求解。例1.已知数列an满足a1
11，an1an2，求an。2nn
变式:已知数列{an}中a11，且a2k=a2k－1+(－1K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….
（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.类型2an1f(nan解法：把原递推公式转化为例1:已知数列an满足a1例2:已知a13，an1
an1
f(n，利用累乘法(逐商相乘法求解。an
2n
an，求an。，an1
3n13n1an(n1，求an。3n2
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，ana12a23a3(n1an1(n≥2，则{an}的通项an类型3an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p10）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1tp(ant，其中t例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.变式:（2006，重庆,文,14）
在数列an中，若a11,an12an3(n1，则该数列的通项an_______________变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列an满足a11,an12an1(nN*.（I）求数列an的通项公式；（II）若数列{bn}滿足41424n（Ⅲ）证明：
b1b1
b1
n11

___n2
q
，再利用换元法转化为等比数列求解。1p
(an1bn(nN*,证明：数列{bn}是等差数列；
an1a1a2n
...n(nN*.23a2a3an12
类型4an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1(q10）。（或an1panrqn,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q系数法解决。
例:已知数列an中，a1
n1
，得：
an1pan1anp1
bb引入辅助数列（其中），得：再待定bbn1nnnn1nn
qqqqqqq
511n1
,an1an(，求an。632
412
an2n1，n1,2,3,333
变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列an的前n项的和Sn



n
32n
（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,，证明：Ti
2Sni1
类型5递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san其中s，t满足
stp

stq
解法二(特征根法：对于由递推公式an2pan1qan，a1,a2给出的数列an，方程x2pxq0，叫做数列an的特征方程。
n1n1
若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的通项为anAx1，其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和Bx2n1n1n1
代入anAx1，得到关于A、B的方程组）；当x1x2时，数列an的通项为an(ABnx1，其中A，B由a1,a2n1,2，Bx2n1
决定（即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入an(ABnx1，得到关于A、B的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列an：3an25an12an0(n0,nN，a1a,a2b，求数列an的通项公式。例:已知数列an中，a11,a22,an2变式:
1.已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*.
（I）证明：数列an1an是等比数列；（II）求数列an的通项公式；（III）若数列bn满足4142...4n
b1b1
b1
21
an1an，求an。33
(an1bn(nN*,证明bn是等差数列
2.已知数列3.已知数列
an中，a11,a22,an22an11an，求an
3
3
an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,,a11，
an12an(n1,2,，求证：数列bn是等比数列；

an
,(n1,2,，求证：数列cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前n项和。n2
⑴设数列bn
⑵设数列cn
类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an解法：这种类型一般利用an去an进行求解。
例：已知数列an前n项和Sn4an
S1(n1
与anSnSn1f(anf(an1消去Sn(n2或与Snf(SnSn1(n2消
SS(n2n1n
12n2
.
（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an.
（2）应用类型4（an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1(q10））的方法，上式两边同乘以2由a1S14a1
n1
得：2n1an12nan2
1nnn
a1a.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2a22(n12n2a1nnn
2122n1

变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an变式:(2005,江西,文,22．本小题满分14分）
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3(

12
n1
3
(n3,且S11,S2,求数列{an}的通项公式.
2


类型7an1pananb(p1、0，a0
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1yp(anxny，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为
anxny是公比为p的等比数列。
例:设数列an：a14,an3an12n1,(n2，求an.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛an｝中，a1
1
、点（n、2an1an）在直线y=x上，其中n=1,2,3…2
(Ⅰ令bnan1an3,求证数列bn是等比数列；(Ⅱ求数列an的通项；(Ⅲ设SSnTn
n、Tn分别为数列an、
bn的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出n
类型8arn1pan(p0,an0
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛an｝中，a11,an1
1a
a2
n(a0，求数列an的通项公式.变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）已知数列{a1
n}的各项都是正数,且满足:a01,an1
2
an(4an,nN.（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）
已知a1=2，点(an,an+1在函数f(x=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an｝是等比数列；
（2）设Tn=(1+a1(1+a2…(1+an，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=
11，求｛b2
n｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1a
nan23Tn1
类型9a(nan
n1
fg(nah(n
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panq。
n例：已知数列｛an｝满足：an
an1
3a,a11，求数列｛an｝的通项公式。
n11
变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝
33nan－12，且an＝2a1
（n2，nN）n－1＋n－（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！
2、若数列的递推公式为a1
3,
1a1
2(n，则求这个数列的通项公式。n1an
3、已知数列{an}满足a11,n2时，an1an2an1an，求通项公式。
4、已知数列｛an｝满足：an

an1
3a,a11，求数列｛a｝的通项公式。
n11
n
5、若数列｛an｝中，a1=1，an1=
2an
an∈N，求通项an．
n2
类型10apanq
n1
ra
nh

不存在,则说明理由.


解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an1
panqh
（其中p、q、r、h均为常数，且phqr,r0,a1），
rranh
那么，可作特征方程x等比数列。
1ax1pxq
,当特征方程有且仅有一根x0时,则则n是等差数列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时，是
axaxrxhn0n2
例：已知数列{an}满足性质：对于nN,an1
an4
,且a13,求{an}的通项公式.
2an3
13an25
.
an3
例：已知数列{an}满足：对于nN,都有an1
（1）若a15,求an;（2）若a13,求an;（3）若a16,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）
数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1.记bn
11an
2
(n1.
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
类型11an1anpnq或an1anpqn
解法：这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。
例：（I）在数列{an}中，a11,an16nan，求an（II）在数列{an}中，a11,anan13n，求an类型12归纳猜想法解法：数学归纳法
变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）
设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式类型13双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例：已知数列an中，a11；数列bn中，b10。当n2时，an
类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
11
(2an1bn1,bn(an12bn1，求an,bn.33
例：若数列an满足an1
1
2a,(0ann62，若a1，则a20的值为___________。
72a1,(1a1
nn2
变式:（2005，湖南,文，5）已知数列{an}满足a10,an1
an33an1
(nN*，则a20=
（）
A．0
B．3C．3
D．
3
2


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