吉林省吉林市2019年高考数学四模试卷(理科)Word版含解析

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吉林省吉林市2019年高考数学四模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁RA∩B=（）A．AB．CRAC．BD．CRB2．在复平面内，复数z=
对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）
B．（﹣1，0）
C．（0，﹣）
D．（0，﹣）
4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）
A．4B．3C．2D．1
5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（）
A．B．C．D．
6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）

A．a，bB．a，cC．c，bD．b，d
7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）


A．B．C．D．
8．下列命题正确的个数是（）
①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1eR22，则y1的拟合效果好；
③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1
B．2
C．3
D．4
，与单位圆O交于点B（x2，
拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞
9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1B．2C．2D．310．过双曲线C：x2﹣交于点Q，R，且A．
B．
C．
的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相，则双曲线C的离心率是（）D．

，a=
且bsin（
+C）﹣csin（
+B）
11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A==a，则△ABC的面积为（）A．
B．
C．
D．

12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．二项式（
x2+）6展开式中的常数项为．
15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知公差不为零的等差数列{an}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}满足bn=（）
，设其前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．
18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出和收益情况，如表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150（Ⅰ）若某天售出8箱水，求预计收益是多少元？
（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为
．
（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；
（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望
附：=，=﹣，=6，=146，
xiyi=4420，
xi2=182．
19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．
AB=AD=2，DE⊥BC．

20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ
2
•=•（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=
时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F（E
在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．

（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣
；
（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；
（Ⅱ）求∠AED的余弦值．


[选修4-4坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ
2
﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直
线l与曲线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．

吉林省吉林市2019年高考数学四模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁RA∩B=（）A．AB．CRAC．BD．CRB【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁RA=（﹣∞，2]∪[3，+∞），
由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁RA∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．
2．在复平面内，复数z=
对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数
=
=
=﹣1﹣3i，
对应的点位于在第三象限，
它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数故选C．
3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）
B．（﹣1，0）
C．（0，﹣）
D．（0，﹣）
【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：∴焦点坐标为故选：C．
．
．即可得出．
．

4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）
A．4B．3C．2D．1【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．
设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，
可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，0）=3．故选：C


5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（）
A．B．C．D．
【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．
【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=
从而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=ax与
∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减

结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）

A．a，bB．a，cC．c，bD．b，d【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．
【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，
∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．
7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）

A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，
经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，
令27x+13≥121，得x≥4，
由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．


8．下列命题正确的个数是（）
①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1eR22，则y1的拟合效果好；
③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．
A．1B．2C．3D．4【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据独立性检验的进行判断，
②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．
④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1eR22，则y1的拟合效果好；正确
③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，
拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞
则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，
④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时，+≥2也成立，
则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．
9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1B．2C．2D．3
【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+
），sin（α+
）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+
），
，与单位圆O交于点B（x2，
整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．

【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+即y1=sinα，y2=sin（α+
），
））
cosα
），sin（α+）），
则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+=msinα﹣2（=（m﹣1）sinα﹣=
sin（α+β），
∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴故选：B．
10．过双曲线C：x2﹣交于点Q，R，且A．
B．
C．
的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相，则双曲线C的离心率是（）D．

，解得m=2．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且
，求得b的值，进而根据c=
求得c，最后根据离心率公式答案可得．
【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为xQ=﹣同理得R的横坐标为xR=∵
，
，yR）=2（﹣⇒b=3，c=
=
，yQ），，
，

∴（﹣1，0）+（∴﹣1+∴e==故选B．

=﹣，
11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A==a，则△ABC的面积为（）
，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）

A．B．C．D．
【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．
【分析】由已知化简整理求得sin（B﹣C）=1，结合角的范围得到B，C的值，再利用正弦定理求得b，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin（得：sinBsin（sinB（
+
+C）﹣csin（
+B）=a，A=）=sinA．sinB+
cosB）=
，，
）﹣sinCsin（
）﹣sinC（
整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1，即sin（B﹣C）=1，∵A=∴B+C=即0＜B＜∴﹣则﹣
，
，①，0＜C＜
，
＜﹣C＜0，＜B﹣C＜
．②
，C=
．，
从而B﹣C=
联立①②解得B=
sin=，
sin=．
由，得=．
∴．
故选：C．
12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）

【考点】导数的运算．
【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．
【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣
≥f（a）﹣
，
即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．
二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得故答案为：200．
14．二项式（
x2+）6展开式中的常数项为3．
=
，故N=200．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（
）2•
=3，
x2+）6展开式的通项公式为Tr+1=
（•
x2）6﹣r•x﹣r=（
）6﹣r•
•x12﹣3r，
故答案为：3．

15．已知四边形ABCD中，•=0，|【考点】平面向量数量积的运算．
|=1，||=2，•=0，则||的最大值为．

【分析】如图所示，•=0，的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．
∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC=则||的最大值为直径故答案为：．
=．
•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||
．


16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为
．
【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：
．
．
，


三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知公差不为零的等差数列{an}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}满足bn=（）
，设其前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=（）
=
=4×
．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调

性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7，
=a2•a9，即
=（a1+d）（a1+8d），
联立解得d=3，a1=1．
∴数列{an}的通项公式an=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：bn=（）
=
=4×
．
∴Sn=
=∈．
∴≤Sn＜．

18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出和收益情况，如表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150（Ⅰ）若某天售出8箱水，求预计收益是多少元？
（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为
．
（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；
（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望
附：=，=﹣，=6，=146，
xiyi=4420，
xi2=182．
【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．

【解答】解：（Ⅰ）===20…
=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，
当x=8时，=20×8+26=186（元）
即某天售出8箱水的预计收益是186元…
（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则
P===，
即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=P（X=500）=P（X=800）=
×
=
，P（X=300）==
××
=
…
，
××××=
，P（X=600）=，P（X=1000）=
=，=
，
即X的分布列为X0300P


500
600
800
1000
…
X的数学期望E（X）=0×
19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．
AB=
AD=2，DE⊥BC．
+300×
+500×
+600×+800×
+1000×
=600（元）…


【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，
∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，
∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，
又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…
解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…
分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则
，取x=1，得=（1，0，1），…
设平面CEF的法向量，
则，取a=1，得=（1，0，﹣），…
∴cos＜＞===．
即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…



20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ
2
•=•（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=
时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F（E
在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=
时，点P的轨迹C的方程为
=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜
＜1，即
＜
＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线
的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ
2
•=•
得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，
即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为
+
=1轨迹为椭圆，…
④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线…
（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1…
设E（x1，y1），F（x2，y2），∴S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|

由＜＜1，即＜
＜1，由题意可得x1，x2同号，∴＜
＜1…
由题意得直线EF的斜率存在，设其方程为y=kx+2代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+8kx+4=0∵△=64k2﹣16（1+2k2）＞0，∴k2＞，x1+x2=﹣
，x1x2=
…
设，则，
∴，∴，，
∵，∴
即，∴，
∴k∈（，）∪（，）为所求…

21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．
（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣
；
（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，结合二次函数的性质求出a的范围即可；（Ⅱ）求出f（x2）=
﹣2x2+（2x2﹣2
）lnx2，令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），得
到F（t）=2（1﹣2t）lnt，根据函数的单调性求出F（t）＞F（），从而证出结论；
（Ⅲ）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，得到在x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，令h（x）=﹣x+x2+alnx，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f（x）=x2﹣2x+alnx，f（x）的定义域为（0，+∞），求导数得：f′（x）=
，
∵f（x）有两个极值点x1，x2，f′（x）=0有两个不同的正根x1，x2，故2x2﹣2x+a=0的判别式△=4﹣8a＞0，即a＜，

且x1+x2=1，x1•x2=＞0，所以a的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x2＜1且f′（x2）=0，得a=2x2﹣2∴f（x2）=
﹣2x2+（2x2﹣2
）lnx2，
，
令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），则F（t）=2（1﹣2t）lnt，
当t∈（，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（，1）上是增函数∴F（t）＞F（）=∴f（x2）＞﹣
；
，
（Ⅲ）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，由于x∈（1，e），所以g（b）为关于b的递减的一次函数，根据题意，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，
令h（x）=﹣x+x2+alnx，则只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于h′（x）=
，令ω（x）=2x2﹣x+a，x∈（1，e），ω′（x）=4x﹣1＞0，
∴ω（x）在（1，e）上单调递增，∴ω（x）＞ω（1）=1+a，
①当1+a≥0，即a≥﹣1时，ω（x）＞0，∴h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，e）上是增函数，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意，②当1+a＜0，即a＜﹣1时，ω（1）=1+a＜0，ω（e）=2e2﹣e+a，
（ⅰ）若ω（e）＜0，即a≤2e2﹣e＜﹣1时，在x∈（1，e）上ω（x）＞0恒成立即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，
（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，
综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ
2
﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直
线l与曲线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；
（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（
），
（）．将
（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解
|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…
直线l的普通方程为x﹣y=0…（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，（
）．
），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（
），
将
（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2
t+1=0，
由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1…将直线的极坐标方程θ=
（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：
，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1…
所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．

【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）
+f（x+4）≥8的解集．
（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，
当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．

吉林省吉林市2019年高考数学四模试卷(理科)Word版含解析

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