杨氏模量的测量

实验目的与要求

1. 掌握伸长法和弯曲法测杨氏模量的原理和实验方法；

2. 掌握卷尺、千分尺、游标卡尺和读数显微镜等长度测量仪器的使用方法；

3. 掌握不确定度的计算。

4. 掌握数据处理方法及实验误差分析。

实验原理

根据虎克定律，固体材料的伸缩形变正比于拉压外力的大小，其比例系数即为材料的杨氏模量。测出材料在不同拉压外力作用下的伸缩形变，即可求出其杨氏模量。

杨氏模量

杨氏模量是弹性模量的一种，若长为，截面积为S的均匀金属丝或棒，在其长度方向上受到的作用力F而伸长，那么根据虎克定路：在弹性限度内，协强F/S与协变成正比，即：

其中的比例系数E即为该金属材料的杨氏模量，那么，

因为F，S，以及都是比较容易测量的量。由于金属的杨氏模量一般都比较大，所以引起的长度变化比较微小，很难用普通的测量长度的仪器测准。

在验中测量钢丝的杨氏模量，其截面为圆形，其直径为时，相应的截面积，作用力F=mg金属丝的产生的微小伸长量为，无法用一般的长度测量仪器测量，因此实验中用光杠杆法进行测量，测量公式：

于是可得实验中的杨氏模量测量公式：

为望远镜中观察到的刻度的变化。

不确定度公式

由计算公式，两边取微分，然后将微分换成不确定度，求平方和的平方根，得到杨氏模量的不确定公式

实验装置

各测量仪器的不确定度限值：

千分尺 a = 0.004mm

卷尺 a = 1mm

读数显微镜 a = 0.02mm

FD-HY-MT型霍尔位置传感器杨氏模量实验仪——复旦天欣仪器厂

千分尺（0–25mm）——上海量具刀具厂

游标卡尺 （0–150mm）—上海量具刀具厂

不锈钢直尺 （0–300mm）—上海量具刀具厂

黄铜片和人造骨（PEEK）–复旦天欣仪器厂

照明灯

实验内容

一、伸长法测量杨氏模量

1. 仪器的调节。

o 铅直调节的标准：小圆柱R不能碰触钳形平台Q；在不接触小圆柱R的前提下，旋转钳形平台Q上的螺丝，可轻松旋入刻槽中。

o 放上CCD后，按照95页步骤（b）再次调节读数显微镜，使显示器上的图像清晰。

2. 观测细丝的伸长量变化。

o 在托盘上加一块砝码后，观测显示器上读数的变化，估计实验的测量范围；调节读数显微镜的高度，确保能观测到所有实验数据。

o 观测细丝的受力极限，避免出现范性形变。（大约为1200g左右。）

o 为使砝码托平稳，可在金属丝下端先加一块200g砝码，此时显示器上显示的横刻线读数为Y1，记录其数值。然后在砝码托盘上逐次加200g砝码，对应的读数为Yi (i=2,3,…5,6)。再将所加的砝码逐个减去。记下对应的读数为Yiˊ(i=1,2,…5)，并将两对应读数Yi与Yiˊ求平均。（也可以先加6块砝码，逐个减少砝码测Yi，再逐个增加砝码测Yiˊ。先加后减和先减后加，二种方法哪种更好些？）

3. 测量金属丝长度L、直径d（为什么d要测10次？测量时应放置多少砝码？）。

4. 对Y的平均值和m（或砝码个数n）作直线拟合，求斜率及其不确定度。

5. 计算杨氏模量E及其不确定度。

二、弯曲法测量黄铜（或人造骨）横梁的杨氏模量

1. 用米尺测量横梁上两刀口间的距离;

2. 用游标卡尺、千分尺分别横梁的宽度和厚度；

3. 对称地将衡梁放置在两刀口上，将铜挂件放到横梁上两刀口的中间位置；

4. 在铜挂件上放置一个砝码以后，调节读数显微镜，读取初始位置；

5. 依次加载砝码，用读数显微镜读出相应的位置坐标；

6. 若时间充分，在使用了所有砝码以后，逐次减少砝码，再记录一组砝码质量与横梁形变之间的关系；

7. 用逐差法求结果。

实验记录

一、伸长法测杨氏模量

测得金属丝的长度为L=82.50cm

测量金属丝的直径结果如下 (单位mm)

求得平均值D=0.7046mm

螺旋测微器0值读数为0.343mm

D的修正值为0.3616mm

二、弯曲法测黄铜横梁的杨氏模量

两刀口间的距离L01=1.00cm L02=23.79cm

横梁宽度测量结果如下 (单位 cm)

求得平均值为d=2.2844cm

横梁厚度测量结果如下（单位 mm）

求得平均值为h=1.3538mm

修正值为1.0108mm

实验数据处理

一、伸长法测杨氏模量

环差法处理数据

单位：10-2m

作~n图如下 拟合结果为h=0.159n+2.928

不确定度的计算：

望远镜中的标尺的最小分辨率为0.02cm，所以为多次测量，所以B类不确定度：

根据贝塞尔公式：

算术平均值的标准偏差：

自由度，t分布的置信系数为，所以的A类不确定度：

的不确定度为：

环差法处理数据，，

金属丝直径

测量金属丝的直径结果如下 (单位mm)

求得平均值D=0.7046mm

螺旋测微器0值读数为0.343mm

D的修正值为0.3616mm

D的不确定度的计算

直径D为多次测量，螺旋测微器的分辨率为：0.004mm，所以它的B类不确定度：

根据贝塞尔公式：

算术平均值的标准偏差：

自由度，t分布的置信系数为，所以D的A类不确定度：

D的不确定度为：

米尺极限误差为1mm，用米尺进行单次测量，它的B类不确定度为：

，游标卡尺的单次测量的B类不确定度，因为都是单次测量，所以的B类不确定度就是它们的误差是0.02mm

单位：10-2 m

1、 将上面的数据带入到公式中，得到：

计算E的不确定度：

所以：

二、弯曲法测黄铜横梁的杨氏模量

两刀口之间的距离为L=22.79cm

横梁宽度 D=2.2844cm

横梁厚度 d=1.0108mm

用逐差法对实验数据进行处理

实验结论

钢丝的杨氏模量为

黄铜横梁的杨氏模量为

实验讨论

1． 弯曲法测量黄铜横梁的杨氏模量的计算公式的推导

　　一段固体棒，在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力，其长度发生改变，以表示横截面面积，称为应力，相对长变为应变。在弹性限度内，根据胡克定律有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　Y称为杨氏模量，其数值与材料性质有关。

　　以下具体推导式子：　　 ；

　　在横梁发生微小弯曲时，梁中存在一个中性面，面上部分发生压缩，面下部分发生拉伸，所以整体说来，可以理解横梁发生长变，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。

　　如图所示，虚线表示弯曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不压缩，取弯曲梁长为的一小段：

设其曲率半径为，所对应的张角为，再取中性面上部距为厚为的一层面为研究对象，那么，梁弯曲后其长变为，所以，变化量为：

　　又　；

　　所以　；

　　所以应变为：　 ；

　　根据虎克定律有：；

　　又；

　　所以；

　　对中性面的转矩为： ；

　　积分得：　　　　　　（1）

　　对梁上各点，有： ；

　　因梁的弯曲微小：；

　　所以有　　（2）

　　梁平衡时，梁在处的转矩应与梁右端支撑力对处的力矩平衡，

　　所以有　　　　 （3）

　　根据（1）、（2）、（3）式可以得到：；

　　据所讨论问题的性质有边界条件；；

　　解上面的微分方程得到

　　将代入上式，得右端点的值为　；

　　又 ；

　　所以，杨氏模量为：

2． 实验误差分析

(1)、杨氏弹性模量存在一定的误差,该测量值在参考值区间内，误差一般。其误差产生的主要原因：根据杨氏弹性模量的误差传递公式可知，误差主要取决于金属丝的微小变化量和金属丝的直径，由于平台上的圆柱形卡头上下伸缩存在系统误差，用望远镜读取微小变化量时存在随机误差。

(2)、测量金属丝直径时，由于存在椭圆形，故测出的直径存在系统误差和随机误差。

(3)、实验测数据时，由于金属丝没有绝对静止，读数时存在随机误差。

(4)、米尺使用时常常没有拉直，存在一定的误差。

3.d要测量10次是由于金属丝竖直悬挂且受到拉力的情况下，不同高度的金属丝的直径是有差异的，已更改将金属丝的直径均匀的分布于其中，然后求平均值，用这样的方法减小误差。

杨氏模量