《自动控制原理》习题答案

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

全国高等专科教育自动化类专业规划教材

《自动控制原理》习题答案

主编：陈铁牛

机械工业出版社

第一章 习题答案

1-1

1-2

1-3 闭环控制系统主要由被控对象，给定装置，比较、放大装置，执行装置，测量和变送装置，校正装置等组成。 被控对象：指要进行控制的设备和过程。给定装置：设定与被控量相对应给定量的装置。 比较、放大装置：对给定量与测量值进行运算，并将偏差量进行放大的装置。执行装置：直接作用于控制对象的传动装置和调节机构。测量和变送装置：检测被控量并进行转换用以和给定量比较的装置。校正装置：用以改善原系统控制性能的装置。

题1-4 答：（图略）

题1-5 答：该系统是随动系统。（图略）

题1-6 答：（图略）

第二章习题答案

题2-1 解：（1）F(s)=

（2）F(s)=0.5

（3）F(s)=

（4）F(s)=

（5）F(s)=

题2-2 解：(1) f(t)=1+cost+5sint

(2) f(t)=e-4t(cost-4sint)

(3) f(t)=

(4) f(t)= -

(5) f(t)= -

题2-3 解：a)

b)

c)

题2-4 解：a) G(s)= (T1=R1C, T2=R2C )

b) G(s)= (T1=R1C, T2=R2C )

c) G(s)= (T1=R1C1, T2=R1C2, T3=R2C1, T4=R2C2 )

题2-5 解：(图略)

题2-6 解：

题2-7 解：a)

b)

c)

d)

e) G(s)=[G1(s)- G2(s)]G3(s)

f)

g)

题2-8 解：

题2-9 解：

题2-10 解：(1)

(2)

题2-11 解：

(T1=R1C, T2=R2C, Td=La/Ra, Tm=GD2Ra/375CeCm)

第三章 习题答案

3-1．（取5%误差带）

3-2． K=2

3-3．

当系统参数为：，时，指标计算为：

当系统参数为：，时，系统为临界阻尼状态，系统无超调，此时有：

3-4．

当时，代入上式得：，，此时的性能指标为：

当时，代入上式得：，，此时的性能指标为：

由本题计算的结果可知：当系统的开环放大倍数增大时，其阻尼比减小，系统相对稳定性变差，系统峰值时间变短，超调量增大，响应变快，但由于振荡加剧，调节时间不一定短，本题中的调节时间一样大。

3-5．

3-6．，

3-7．

1）系统稳定。

2）系统稳定。

3）系统不稳定。

4）系统不稳定，且有两个不稳定的根。

3-8．系统的闭环传递函数为：

将系统传递函数与二阶系统标准式：比较可知：

；

3-9．

1）系统稳定的K值为：

2）系统稳定的条件为：

3）系统稳定的条件为：

3-10．

（1）系统稳定域为：

（2）当n=1时，系统稳定范围是：

当n=0.5时，系统稳定范围是：

当n=0.1时，系统稳定范围是：

当n=0.01时，系统稳定范围是：

当n=0时，系统稳定范围是：

(3) 在系统时间常数相距越远时，稳定的K值范围越大。

3-11．

（1）a) 当，时，则误差为：

b) 当，时，则误差为：

(2)

a) 当，时，则误差为：

b) 当，时，则误差为：

3-12．

1）当时，系统相当于0型。

2）当要求系统具有1型精度时，应有：

3-13．

3-14．

1） 当：时，

2） 当：时，

3-15．证明：系统的误差为：

由于系统稳定，可用终值定理求稳态误差。

1) 当系统为阶跃输入时：，则稳态误差为：

，可见稳态误差等于零的条件是：

2) 当系统为斜坡输入时：，则稳态误差为：

可见稳态误差为零的条件是：；

3-16．应选取传函为：的形式，在选择参数使系统稳定的条件下，当：，时求得系统的稳态误差为：

3-17．系统的误差为：

可见干扰作用下的误差的大小与输入作用下的误差有相同的形式，为干扰值的倍。

3-18

t=0:0.01:10;

zeta=0.2;

num=[25];den=[1 10*zeta 25];

sys=tf(num,den);

p=roots(den);

step(sys,t);grid

xlabel('t');ylabel('y(t)');

由图可见指标，超调量：，调节时间为：，稳态误差为零。

3-19

1)d=[1 3 2 2];

roots(d)

ans =

-2.5214

-0.2393 + 0.8579i

-0.2393 - 0.8579i

由特征根知系统稳定。

2)d=[2 2 27];

roots(d)

ans =

-0.5000 + 3.6401i

-0.5000 - 3.6401i

由特征根知系统稳定。

3) d=[1 2 5 6 0];

roots(d)

ans =

0

-0.2836 + 2.0266i

-0.2836 - 2.0266i

-1.4329

由特征根知系统稳定。

4) d=[3 4 1 6 4 1];

roots(d)

ans =

-1.6233

0.4771 + 1.0244i

0.4771 - 1.0244i

-0.3321 + 0.2247i

-0.3321 - 0.2247i

由特征根知系统有两个不稳定根，系统不稳定。

3-20 0型系统的开环传递函数为

由响应曲线可知，系统稳态误差为：

Ⅰ型系统的开环传递函数为

系统仿真图及响应曲线

由响应曲线可知，系统稳态误差为：．

Ⅱ型系统的开环传递函数为

3-21

第四章 习题答案

4-1．

（1）

（2）

（3）

（4）

4-2．

（1）（不在根轨迹上，舍去）

（2）（先可估算，在此基础上试探出结果）

（３）

4-3．

解：① 根轨迹的分支数为：由于n=３，m=0，系统有三条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-２＋j, p2=-２-j；三条根轨迹分支趋于无穷远处。

③ 实轴上的根轨迹为： [０,-]

④ 根轨迹的渐近线：本系统有三条根轨迹渐近线：

⑤根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：

，将代入方程解得：

⑥根轨迹在p2，p3处的起始角：

，而

因此，概略画出系统的轨迹如图4-５示。

4-4

解：系统的开环传函为：

① 根轨迹的分支数为：由于n=２，m=１，系统有二条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-２；一条根轨迹分支趋于z=-4,一条根轨迹分支趋于无穷远处。

③ 实轴上的根轨迹为： [0,-2] ,[-4,-]

④ 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：

,解得：

因此，概略画出系统的轨迹如图4-6示。

由根轨迹图求出在分离点d1 ，d2处的开环增益为：

,由根轨迹图可知，

系统无超调时的开环增益为：和。

4-5

解：系统特征方程为：，其等效开环传函为：

，根据分离点求法，有关系式：

，得：

解得：

可见，系统若有分离点，其条件为上式根号内的值大于零，即：和。

1） 当a=1时，系统的开环传函为：

，系统的根轨迹为虚轴，如图4-7示。此时系统没有分离点。

2） 当a=9时，系统的开环传函为：

，有三条根轨迹，其渐近线为：，其分离点为：，其根轨迹如图4-8示，可见系统有一个分离点。

3）当时：系统根轨迹的渐近线与实轴的交点为：，此时系统根轨迹如图4-9示，可见无分离点。

4）当时：由根轨迹分离点表达式可见：，而，不在根轨迹上，舍去，因此只有一个分离点，根轨迹如图4-10示。

5）当时，式中根号内部值小于零，无实数解，因此没有分离点。系统根轨迹如图4-11示。

6）当时，分离点有两个解，其根轨迹如图4-12示。

结论：由以上分析可知：1）当 时，系统根轨迹无分离点。2）当时，系统根轨迹有一个分离点。3）当时，系统根轨迹有二个分离点。

4-6

1）解：① 根轨迹的分支数：由于n=4，m=0，系统有四条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-3，p3=-5,p4=-5；四条根轨迹分支趋于无穷远处。

③ 实轴上的根轨迹为： [0,-3]

④ 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：

,解得：（舍去）

⑤ 根轨迹的渐近线：本系统有四条根轨迹渐近线：

⑥ 根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：

，将代入方程解得：，系统的根轨迹方程如图4-13示。

2）解：① 根轨迹的分支数：由于n=4，m=1，系统有四条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=0，p3=-5,p4=-12；三条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于z=-1。

③ 实轴上的根轨迹为： [-1,-5] ，[-12,-]

④ 根轨迹的渐近线：本系统有三条根轨迹渐近线：

系统的根轨迹方程如图4-14示。

4-7

1）解：① 根轨迹的分支数为：由于n=3，系统有三条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-3， p2=-4；二条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于z=-5。

③ 实轴上的根轨迹为：[0,-3]，[-4,-5]

④ 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：

解得：

⑤ 根轨迹的渐近线：本系统有二条根轨迹渐近线：

系统的根轨迹方程如图4-15示。

2）解：① 根轨迹的分支数为：由于n=2，系统有三条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=-1+j,p2=-1-j；g一条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于z=-2。

③ 实轴上的根轨迹为：[-2,-]

④ 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：

解得：

⑤ 根轨迹的渐近线：本系统有一条根轨迹渐近线：负实轴。

系统的根轨迹方程如图4-16示。

3）解：① 轨迹的分支数为：由于n=4系统有四条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-1+j,p3=-1-j，p4=-3；四条根轨迹分支趋于无穷远处。

③ 实轴上的根轨迹为：[0,-3]

④ 根轨迹的渐近线：本系统有四条根轨迹渐近线：

⑤ 根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：

，将代入方程解得：。

⑥ 根轨迹在p2处起始角：

系统的根轨迹方程如图4-16示。

4）解：① 轨迹的分支数为：由于n=4系统有四条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=0,p3=-12，p4=-12；二条根轨迹分支趋于无穷远处，二条根轨迹终于z1=-6+j5，z2=-6-j5。

③ 实轴上无根轨迹。

④ 根轨迹的渐近线：本系统有二条根轨迹渐近线：

系统的根轨迹方程如图4-17示。

5）解：① 轨迹的分支数为：由于n=4系统有四条根轨迹分支。

② 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=0,p3=-12，p4=-12；二条根轨迹分支趋于无穷远处，二条根轨迹终于z1=-4，z2=-8。

③ 实轴上的根轨迹为：[-4,-8]

④ 根轨迹的渐近线：本系统有二条根轨迹渐近线：

⑤ 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：

解得：

系统的根轨迹方程如图4-18示。

4-8

4-9．单位反馈系统的开环传递函数为

证明：复数根轨迹部分是以（2，j0）为圆心，以为半径的一个圆。

解：由系统传函数可知，该系统的特征方程为：

，

解得：

令：，

由的表达式可得：，将其代入的表达式，有：

，化简得：

，可见，复数根轨迹部分是以（-2，j0 ）为圆心，以为半径的一个圆。根轨迹如图4-21示。

4-10

解：系统有两条根轨迹，其起点为：0,-2；终点为无穷远处。实轴上的根轨段为：[0,-2]，迹根轨迹的渐近线为：

作出系统的根轨迹如图4-22示。

由可求得，在根轨迹图上作的阻尼线，使其与实轴负方向的夹角为，交根轨迹于点：（,j），根据根轨迹的模值方程，有：

4-11用MATLAB绘制题4-3的根轨迹。

num=1 ;

den=[conv([1 0], [1 2 2])];

rlocus(num,den)

axis([-5 5 -5 5]);

grid on

图4-2３ 系统根轨迹图

4-12 用MATLAB绘制题4-9的根轨迹，验证其根轨迹复数部分为一个圆。

num=[1 2];

den=[conv([1 0], [1 1])];

rlocus(num,den)

axis([-4 2 -5 5]);

grid on

图4-24 根轨迹图

第五章 习题答案

5-1 图（a）

（其中：）

图（b） （其中： ）

5-2 （1）（2）

5-3 （1）奈氏图如图示：

的变化范围:当由时，由-90°变到-270°，且曲线穿越S平面的负实轴，

（2）奈氏图如图示：

当由时，由变到，曲线不穿过S平面的负实轴，与虚轴交点；

（3）奈氏图如图示：

当由时，由变到曲线不穿过S平面的负实轴。

5-4 (1)ω=0.5时，A（ω）=17.89, φ(ω)=-153.43°

(2) ω=1时，A（ω）=8.944, φ(ω)=-243.43°

5-5 (1)对数幅频特性:低频段:渐近线为L(ω)=6.02dB,斜率为[0]的水平线; ω1=0.125处, 斜率变为[-20]; ω2=0.5处, 斜率变为[-40]。（图略）

（2）对数幅频特性:低频段:斜率为[-40]，延长线过点（1，46）； ω1=0.1处, 斜率变为[-60]; ω2=1处, 斜率变为[-80]。（图略）

（3）对数幅频特性:低频段:斜率为[-20]，延长线过点（1，40）； ω1=0.2处, 斜率变为[-40]; ω2=0.5处, 斜率变为[-20]ω3=1处, 斜率变为[-60]。（图略）

5-6 （a）图：

（b）图：

（c）图：

5-7（1），闭环系统稳定。（2），闭环系统稳定。

（3） ，闭环系统不稳定。

（4） ，闭环系统稳定。（5），闭环系统稳定。

5-8 （1），且在L(ω)>0范围内，φ(ω)未穿越-180°线，系统稳定，。

（2），但在L(ω)>0范围内，φ(ω)穿越了-180°线，系统不稳定，，h=-6.46dB。

（3），且在L(ω)>0范围内，φ(ω)未穿越-180°线，系统稳定，，h=3dB

5-9 （1）用奈氏判据判别闭环系统的稳定性：作奈氏图（图略）。当K=10，，且奈氏图未包围点，闭环系统稳定。当K=100时，奈氏图绕点的转角不为零，而，闭环系统不稳定。

（2）用对数稳定判据判别闭环系统的稳定性：作对数频率特性曲线（图略），由图可知，当K=10时，且在L(ω)>0范围内，φ(ω)未穿越-180°线，系统稳定。当K=100时，在L(ω)>0范围内，φ(ω)穿越了-180°线，系统是不稳定的。

5-10 当时，a=0.84

5-11 （1）

（2） 且系统是最小相位系统，系统稳定。

（3）系统，系统稳定程度不变。

，新系统调节时间短，动态响应快。，新系统的超调量不变。

5-12 （1）当寸， （2）

5-13 σ=20%, ts=1.138s

第六章习题答案

6-1到6-7略。答案详见本章内容。

6-8 k=6.25 ωc=3rad/s γ=2.7°h=1.2dB

ωc’=4ad/s γ’=28.2°h’=9.6dB 提高了快速性、稳定性

6-9 k取25 γ’取45°∆取11.3°

ωc’=7.75rad/s ω1=3.2rad/s ω2=18.7rad/s

Gc(s)=

6-10 k取16 γ’取45°∆取9.1°ωc=4rad/s γ=14.1°

ωc’=5.84rad/s ω1=2.4rad/s ω2=12.5rad/s

Gc(s)=

6-11 k取10 γ’≥55°ωc’≥7.7rad/s ∆取12°ωc=6.1rad/s γ=22°

ωc’=10.2rad/s ω1=4.24rad/s ω2=24.56rad/s

Gc(s)=

6-12 k=5 ∆取12°ωc=1.8rad/s γ=-13°

ωc’=0.54rad/s ω1=0.054rad/s ω2=0.0058rad/s

Gc(s)=

6-13 ωc=6.25rad/s γ=-37°γ’取55°∆取7°

ωc’=1rad/s ω1=0.0025rad/s ω2=0.1rad/s

Gc(s)=

6-14 ωc=3.97rad/s γ=97.2°

ωc’=0.132rad/s γ’=145.7°

6-15 k=250 ωc=50rad/s γ=-16°ωc’ 取30rad/s γ’取45°

ωa=12rad/s ωb=70rad/s ω1=1.6rad/s

Gc(s)=

6-16 ωc’ 取30rad/s ，根据高[-40]、中[-20]、低[-40]频画校正后BODE图。图中得ωi=0.3rad/s ωj=140rad/s Gc(s)=

γ’=65°满足条件。

自控原理习题答案（陈铁牛版）