高等数学公式大全

发布时间：2023-03-01 01:37:32


考研数学知识点-高等数学
一.函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数

公式1．lim

dy（1）y0ftdt，其中ft连续，则dxfx
2x（2）y1x，2x可导，ftftdt，其中1x
x
连续，
则
sinx
1
x0xn1
1u公式2．lim1
1e；nnue；ulim

1
1vvelim
v0
dy
f2x2xf1x1x
dx
设limfx0，limgx0，且lim
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）

2．两个无穷小的比较
fxgx
l

xxxn
当x0时，en1x0x
sinxx


0x2n1
（1）l0，称fx是比gx高阶的无穷小，记以

xx5
13!5!
23
x2n1
n
fx0gx，称gx是比fx低阶的无穷
小。
（2）l0，称fx与gx是同阶无穷小。
2n1!
n

x4
cosx1x1
2!4!
2
x2n
2n!
0x2n
n


（3）l1，称fx与gx是等价无穷小，记以

fx~gx
3．常见的等价无穷小当x0时

x3n1xln1xxx0xn123n

32n1xx5xarctanxx01x2nn11352n1

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x
1x1x1x1n1x0x
2
n
n
2!n!
1cosx~12x，ex1~x，ln1x~x，
2

6．洛必达法则
1x
1~x

法则1．（
0
型）设（1）limfx0，limgx00
二．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则
准则1．单调有界数列极限一定存在
（2）x变化过程中，fx，gx皆存在

（3）


（1）若xn1xn（n为正整数）又xnm（n为正

整数），则nlimxnA存在，且Am
（2）若
fxlimA（或）
gx
xn1xn（n为正整数）又xnM（n为正

则
fxA（或）limgx
fxlim不存在且不是无穷大量情形，则gx
（注：如果
整数），则nlimxnA存在，且AM
准则2．（夹逼定理）设gxfxhx
不能得出

若limgxA，limhxA，则limfxA3．两个重要公式


法则2．型）设（1）limfx，limgx（
fxlim不存在且不是无穷大量情形）
gx

（2）x变化过程中，fx，gx皆存在
Editedby杨凯钧2005年10月
1


考研数学知识点-高等数学
（3）
limfx
gx
A（或）
则limfx
gx
A（或）
7．利用导数定义求极限基本公式：lim
fx0xfx0

x0
x
fx0[如果
存在]
8．利用定积分定义求极限

基本公式lim
1nk1
[如果存在]
nnk1fn0fxdx
三．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点设
x0是函数yfx的间断点。如果fx在间断点
x0处的左、右极限都存在，则称x0是fx的第一类间断
点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。



常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间a,b
上连续的函数fx，有以下几个基本
性质。这些性质以后都要用到。
定理1．（有界定理）如果函数fx在闭区间a,b
上连续，则fx必在a,b
上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数fx在闭区间a,b
上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。
其中最大值M和最小值m的定义如下：定义设fx0M是区间a,b上某点x0处的函数值，如果对于区间a,b
上的任一点x，总有fxM，
则称
M为函数fx在a,b上的最大值。同样可以定义最

小值m。
定理3．（介值定理）如果函数fx在闭区间a,b
上
连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m
和
M之间的任何实数c，在a,b上至少存在一个，使
得


fc
推论：如果函数fx在闭区间a,b
上连续，且fa
与fb异号，则在a,b内至少存在一个点，使得
f
0
这个推论也称为零点定理五．导数与微分计算
1．导数与微分表
c0dc0

x
x
1
（实常数）dx
x
1
dx（实常数）

sinxcosxdsinxcosxdx

cosxsinxdcosxsinxdx

tanxsec2x
dtanxsec2xdx
cotxcsc2xdcotxcsc2xdx
secxsecxtanx
dsecxsecxtanxdx

cscxcscxcotxdcscxcscxcotxdx
logax
1
a0,a1
xlna
dlog
dx
axxlna
a0,a1lnx1
x
dlnx1
xdx


axaxlnaa0,a1


daaxxlnadxa0,a1

2
Editedby杨凯钧2005年10月







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