专题：数形结合思想

---应用数形结合求最值

鼎城一中 高三文科数学备课组 周巧菊

教学目标：

1.通过复习让学生领会数形结合思想本质；

2.通过具体问题的学习，培养学生用数形结合思想方法探求解决问题的思路；

3.掌握用数形结合思想方法解决三种类型最值问题的解法：

能力目标：提高学生分析问题，等价转换能力和解决问题的能力；

教学重点：用数形结合思想方法解决最值问题的思路及解法。

教学难点：数与形的相互转化

教学资源：多媒体，学案

教学过程

一、提出问题

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，那么如何运用数形结合思想分析问题和解决问题呢？

大家会求的最小值吗？最小值为2.

二、数形结合的思想内容

1．数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．

2．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

三、数形结合的思想与最值

(一)与函数及其图像有关的最值问题

例1.若奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间

[-7，-3]上是（ A ）

A. 增函数且最大值为-5； B.减函数且最小值为-5；

C. 增函数且最小值为-5； D.减函数且最大值为-5；

变式：例1的条件不变，求函数y=|f(x)+5|在

[-7，-3]∪ [3，7]的最小值为 0 。

1. 准确画出函数的图像；

2.根据图形的结构特征，指出图像的最高点或最低点的纵坐标为最大值或最小值。

（二）与二元方程及方程曲线有关的最值问题

例2.如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则的最大值为( D　)

A. B. C. D.

思维流程：

解析：(x－2)2＋y2＝3表示坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径r＝，如图，而＝表示圆上的点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率．该问题转化为如下几何问题：点A在以M(2,0)为圆心，为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．由图可知，当点A在第一象限，且OA与圆相切时OA的斜率最大．

连接AM，则AM⊥OA，|OA|＝＝＝1，

可得的最大值为tan ∠AOM＝，故选D.

变式1.已知实数x，y满足，则x-y的最小值为_______．

变式2.(2014年福建卷)已知圆平面区域若圆心且圆C与x轴相切，则的最大值为（C ）

A.5 B.29 C.37 D.49

数形结合法求解与二元方程有关的最值问题

(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．

（三）与向量有关的最值问题

例3. 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是（ B ）

A．1 B. C. 2 D.

解析：方法（一）：不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), c==(x,y)，由于(a－c)·(b－c)＝, 所以点C的轨迹为圆，|c|=表示圆上点C到原点的距离，其最大值为。

方法（二）：思维流程：

因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示，设，，，，所以O，A，C，B四点共圆．当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为. 答案：B　

变式：（ 2013湖南卷 ）已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为（ C ）

A. B. C. D.

通过平面向量的几何意义构建解析几何图形，再根据图形的几何意义用代数方法研究解决。

挑战自我：思考题

(2013·重庆高考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　A　)

A．5－4 B.－1 C．6－2 D.

两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.

四．课时小结

利用数形结合求最值的方法步骤

第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．

第二步：转化为几何问题．

第三步：解决几何问题．

第四步：回归代数问题．

第五步：回顾反思．

应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3))根式——可考虑两点间的距离．

五．课后作业：课后巩固练习(见学案)

1．不等式x2－logax0，在x∈时恒成立，则a的最小值是__.

2.已知O为坐标原点，M(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝的最大值为(　　)

A．－2 B．－1 C．1 D．2

3.设点P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　D　)

A．6 　 　 　 B．25 　　 　 C．26 　 　 D．36

4．已知a,b，c是均为单位向量，a·b=0.若(a－c)·(b－c)≤0 则

| a+b-c |的最大值为（ B ）

A. B. C. D.

5. 对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3， x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是(　　)

A．2 B．3 C．8 D．－1

6.当0<x<，函数f(x)＝的最小值为(　D　)

A．－4 B．－2 C．4 D．2

利用数形结合求最值