概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

发布时间：2020-06-25

概率论与数理统计课后习题答案
第二章 1、一袋中有5 只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出得3只球中得最 大号码,写出随机变量X得分布律、 【解】
故所求分布律 为
X P 3 0、1 4 0、3 5 0、6 2、设在15只同 类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出 得次品个数,求: (1 X得分 布律; (2 X得分 布函数并作图; (3 、
【解】
 故X得分布律为 X 0 1 P (2 当x<0时, F(x=P(X≤x=0 当0≤x<1时 ,F(x=P(X≤x=P(X=0= 当1≤x<2时 ,F(x=P(X≤x=P(X=0+P(X=1= 当x≥2时, F(x=P(X≤x=1 故X得分布函 数
 2
(3 3、射手向目标独立 地进行了3次射击,每次击中率为0、8,求3次射击中击中目标得次数得分布律及分布函 数,并求3次射击中至少击中2次得概率、 【解】 设X表示击中目标得次数、则X=0,1,2,3、
 故X得 分布律为 X 0 1 0、096 4、(1 设随机变量X得分布律为 2 0、384 3 0、512 P 0、008 分布函数 P{X=k}=, 其中k=0,1,2,…,λ＞0为常数,试确定常数a、 (2 设随机变量X得分布律为
P{X=k}=a/N, k=1,2,…,N, 试确定常数a、 【解】(1 由分布律得性质知 故 (2 由分布律得性质知 即 、 5、甲、乙两人投篮,投中得概率分别为0、6,0、7,今各投3次,求: (1 两人投中次数相等得概率; (2 甲比乙投中次数多得概率、 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0、6,Y~b(3,0、7 (1 + (2 =0、243 6、设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落得概率设为0、02,且设各飞机降落就是相互独立得、试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道得概率小于0、01(每条跑道只能允许一架飞机降落？
【 解】设X为某一时刻需立即降落得飞机数,则X~b(200,0、02,设机场需配备N条跑道,则有
 即 利用泊松近似
查表得N≥9、故机场至少应配备9条跑道、
7、有 一繁忙得汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天得某时段出事故得概率为0、000 1,在某天得该时段内有1000辆汽车通过,问出事故得次数不小于2得概率就是多少(利用泊 松定理？ 【解】设X表示出事故得次数,则X~b(1000,0、0 001 8、已知在五重贝努里试验中成功得次数X满足P{X= 1}=P{X=2},求概率P{X=4}、 【解】设在每次试验中成功得概率为p,则 故 所以 、 9、设事件A在每一次试验中发生得概率为0、3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号得概率; (2 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号得概率、 【解】(1 设X表示5次独立试验中A发生得次数,则X~6(5,0、3
(2 令Y表示7次独立试验中A发生得次数,则Y~b(7,0、3 10、某公安局在长度为t得时间间隔内收到得紧急呼救得次数X服从参数为(1/2t得泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计、
(1 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救得概率; ( 2 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救得概率、 【解】(1 (2 11、设P{ X=k}=, k=0,1,2 P{Y=m}= , m=0,1,2,3,4 分别为随机变量X,Y得概率分布,如果已知P{X≥1}=,试求P{Y≥1}、 【解】因为,故、
而 故得 即 从而 12、某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误得概率为0、001,试求在这2000册书中恰有5册错误得概率、
【解】令X为2000册书中错误得册数,则X~b(2000,0、001、利用泊松近似计算,
得 13、进行某种试验,成功得概率为,失败得概率为、以X表示试验首次成功所需试验得次数,试写出X得分布律,并计算X取偶数得概率、 【解】


14、有2500名同一年龄与同社会阶层得人参加了保险公司得人寿保险、在一年中每个人死亡得概率为0、002,每个参加保险得人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金、求: (1 保险公司亏本得概率; (2 保险公司获利分别不少于10000元、20000元得概率、 【解】以“年”为单位来考虑、
(1 在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元、 设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0、002,则所求概率为

由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有

(2 P(保险公司获利不少于10000 即保险公司获利不少于10000元得概率在98%以上 P(保险公司获利不少于20000
即保险公司获利不少于20000元得概率约为62% 15、已知随机变量X得密度函数为
f(x=Ae|x|, ∞<x<+∞, 求:(1A值;(2P{0<X<1}; (3 F(x、 【解】(1 由得

故 、
(2 (3 当x<0时, 当x≥0时, 故 16、设某种仪器内装有三只同样得电子管,电子管使用寿命X得密度函数为 f(x= 求:(1 在开始150小时内没有电子管损坏得概率; (2 在这段时间内有一只电子管损坏得概率; (3 F(x、 【解】
(1
(2 (3 当x<100时F(x=0 当x≥100时
故 17、在区间［0,a］上任意投掷一个质点,以X表示这质点得坐标,设这质点落在［0,a］中任意小区间内得概率与这小区间长度成正比例,试求X得分布函数、 【解】 由题意知X~∪[0,a],密度函数为

故当x<0时F(x=0 当0≤x≤a时 当x>a时,F(x=1 即分布函数

18、设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布、现对X进行三次独立观测,求至少有两次得观测值大于3得概率、 【解】X~U[2,5],即


故所求概率为

19、设顾客在某银行得窗口等待服务得时间X(以分钟计服从指数分布、某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟她就离开、她一个月要到银行5次,以Y表示一个月内她未等到服
务而离开窗口得次数,试写出Y得分布律,并求P{Y≥1}、 【解】依题意知,即其密度函数为

该顾客未等到服务而离开得概率为

,即其分布律为

20、某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走、第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X22服从N(40,10;第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,4、 (1 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车得把握大些？ (2 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些？
2【解】(1 若走第一条路,X~N(40,10,则

2若走第二条路,X~N(50,4,则
++ 故走第二条路乘上火车得把握大些、
2(2 若X~N(40,10,则

2若X~N(50,4,则

 故走第一条路乘上火车得把握大些、
221、设X~N(3,2, (1 求P{2<X≤5},P{4<X≤10},P{｜X｜＞2},P{X＞3}; (2 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}、 【解】(1


(2 c=3 222、由某机器生产得螺栓长度(cmX~N(10、05,0、06,规定长度在10、05±0、12内为合格品,求一螺栓为不合格品得概率、 【解】
 223、一工厂生产得电子管寿命X(小时服从正态分布N(160,σ,若要求P{120＜X≤200}≥0、8,允许σ最大不超过多少？ 【解】
 故 24、设随机变量X分布函数为
F(x=
(1 求常数A,B; (2 求P{X≤2},P{X＞3}; (3 求分布密度f(x、 【解】(1由得
(2 (3 25、设随机变量X得概率密度为
f(x= 求X得分布函数F(x,并画出f(x及F(x、
【解】当x<0时F(x=0 当0≤x<1时
 当1≤x<2时
 当x≥2时
故 26、设随机变量X得密度函数为
|x|(1 f(x=ae,λ>0; (2 f(x= 试确定常数a,b,并求其分布函数F(x、 【解】(1 由知
故 即密度函数为 当x≤0时 当x>0时
 故其分布函数

(2 由
得 b=1 即X得密度函数为

当x≤0时F(x=0 当0<x<1时
当1≤x<2时
当x≥2时F(x=1 故其分布函数为

27、求标准正态分布得上分位点, (1=0、01,求; (2=0、003,求,、

【解】(1 即 即 故 (2 由得

即 查表得 由得

即 查表得 28、设随机变量X得分布律为
X Pk
2 1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 2求Y=X得分布律、
【解】Y可取得值为0,1,4,9
故Y得分布律为
Y Pk
0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 k29、设P{X=k}=, k=1,2,…,令
 求随机变量X得函数Y得分布律、 【解】
30、设X~N(0,1、
X(1 求Y=e得概率密度; 2(2 求Y=2X+1得概率密度; (3 求Y=｜X｜得概率密度、 【解】(1 当y≤0时, 当y>0时, 故 (2 当y≤1时 当y>1时
故 fY(y d1FY(ydy42fXy1y1y1fX 22
(3 当y≤0时 当y>0时
 故

31、设随机变量X~U(0,1,试求: X(1 Y=e得分布函数及密度函数; (2 Z=2lnX得分布函数及密度函数、 【解】(1 故 当时
当1<y时

当y≥e时 即分布函数
故Y得密度函数为
(2 由P(0<X<1=1知
当z≤0时, 当z>0时, 即分布函数
故Z得密度函数为
32、设随机变量X得密度函数为
试求Y=sinX得密度函数、 【解】
当y≤0时, 当0<y<1时,
当y≥1时, 故Y得密度函数为
33、设随机变量X得分布函数如下:




f(x=


试填上(1,(2,(3项、 【解】由知②填1。
由右连续性知,故①为0。 从而③亦为0。即

34、同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X得分布律、
【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。(i=1,2,P(Ai=、且A1与A2相互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则

 故抛掷次数X服从参数为得几何分布。
35、随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次得概率不小于0、9? 【解】令X为0出现得次数,设数字序列中要包含n个数字,则
X~b(n,0、1
即 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36、已知
F(x= 则F(x就是( 随机变量得分布函数、
(A 连续型; (B离散型; (C 非连续亦非离散型、
【解】因为F(x在(∞,+∞上单调不减右连续,且
,所以F(x就是一个分布函数。
但就是F(x在x=0处不连续,也不就是阶梯状曲线,故F(x就是非连续亦非离散型随机变量得分布函数。选(C
37、设在区间[a,b]上,随机变量X得密度函数为f(x=sinx,而在[a,b]外,f(x=0,则区间
[a,b]等于( (A [0,π/2]; (B [0,π]; (C [π/2,0]; (D [0,]、 【解】在上sinx≥0,且、故f(x就是密度函数。
在上、故f(x不就是密度函数。 在上,故f(x不就是密度函数。
在上,当时,sinx<0,f(x也不就是密度函数。 故选(A。
238、设随机变量X~N(0,σ,问:当σ取何值时,X落入区间(1,3得概率最大？ 【解】因为
 利用微积分中求极值得方法,有

 得,则 又
故为极大值点且惟一。
故当时X落入区间(1,3得概率最大。
39、设在一段时间内进入某一商店得顾客人数X服从泊松分布P(λ,每个顾客购买某种物品得概率为p,并且各个顾客就是否购买该种物品相互独立,求进入商店得顾客购买这种物品得人数Y得分布律、 【解】
设购买某种物品得人数为Y,在进入商店得人数X=m得条件下,Y~b(m,p,即

由全概率公式有

emkkgCmp(1pmkm!mke emkk!(mk!p(pkk!mk(1pmk
[(1p]mk(mk!mk(pk(1peek!(pkpe,k0,1,2,Lk!此题说明:进入商店得人数服从参数为λ得泊松分布,购买这种物品得人数仍服从泊松分布,但参数改变为λp、
2X40、设随机变量X服从参数为2得指数分布、证明:Y=1e在区间(0,1上服从均匀分布、 【证】X得密度函数为

2X由于P(X>0=1,故0<1e<1,即P(0<Y<1=1 当y≤0时,FY(y=0 当y≥1时,FY(y=1 当0<y<1时,
即Y得密度函数为

即Y~U(0,1 41、设随机变量X得密度函数为
f(x= 若k使得P{X≥k}=2/3,求k得取值范围、 (2000研考 【解】由P(X≥k=知P(X<k= 若k<0,P(X<k=0 若0≤k≤1,P(X<k= 当k=1时P(X<k= 若1≤k≤3时P(X<k= 若3<k≤6,则P(X<k=
若k>6,则P(X<k=1 故只有当1≤k≤3时满足P(X≥k=、 42、设随机变量X得分布函数为
F(x= 求X得概率分布、 (1991研考 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间得关系,可知X得概率分布为
X P 1 0、4 1 0、4 3 0、2 43、设三次独立试验中,事件A出现得概率相等、若已知A至少出现一次得概率为19/27,求A在一次试验中出现得概率、
【解】令X为三次独立试验中A出现得次数,若设P(A=p,则
X~b(3,p
3由P(X≥1=知P(X=0=(1p= 故p= 244、若随机变量X在(1,6上服从均匀分布,则方程y+Xy+1=0有实根得概率就是多少？ 【解】


245、若随机变量X~N(2,σ,且P{2<X<4}=0、3,则
P{X<0}= 、 【解】

故 因此 46、假设一厂家生产得每台仪器,以概率0、7可以直接出厂;以概率0、3需进一步调试,经调试后以概率0、8可以出厂,以概率0、2定为不合格品不能出厂、现该厂新生产了n(n≥2台仪器(假设各台仪器得生产过程相互独立、求 (1 全部能出厂得概率α; (2 其中恰好有两台不能出厂得概率β; (3其中至少有两台不能出厂得概率θ、 【解】设A={需进一步调试},B={仪器能出厂},则
={能直接出厂},AB={经调试后能出厂} 由题意知B=∪AB,且

令X为新生产得n台仪器中能出厂得台数,则X~6(n,0、94, 故
47、某地抽样调查结果表明,考生得外语成绩(百分制近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上得占考生总数得2、3%,试求考生得外语成绩在60分至84分之间得概率、
2【解】设X为考生得外语成绩,则X~N(72,σ

故
查表知 ,即σ=12 2从而X~N(72,12 故 48、在电源电压不超过200V、200V~240V与超过240V三种情形下,某种电子元件损坏得概率2分别为0、1,0、001与0、2(假设电源电压X服从正态分布N(220,25、试求: (1 该电子元件损坏得概率α; (2 该电子元件损坏时,电源电压在200~240V得概率β 【解】设A1={电压不超过200V},A2={电压在200~240V}, A3={电压超过240V},B={元件损坏}。
2由X~N(220,25知

由全概率公式有

由贝叶斯公式有

2X49、设随机变量X在区间(1,2上服从均匀分布,试求随机变量Y=e得概率密度fY(y、 【解】
24因为P(1<X<2=1,故P(e<Y=1 2当y≤e时FY(y=P(Y≤y=0、 24当e<y时, 4当y≥e时, 即 故 50、设随机变量X得密度函数为
fX(x= X求随机变量Y=e得密度函数fY(y、 (1995研考 【解】P(Y≥1=1 当y≤1时, 当y>1时, 即 故 51、设随机变量X得密度函数为
fX(x=, 求Y=1得密度函数fY(y、 【解】
故 52、假设一大型设备在任何长为t得时间内发生故障得次数N(t服从参数为λt得泊松分布、
(1 求相继两次故障之间时间间隔T得概率分布; (2 求在设备已经无故障工作8小时得情形下,再无故障运行8小时得概率Q、(1993研考
【解】(1 当t<0时, 当t≥0时,事件{T>t}与{N(t=0}等价,有

即 即间隔时间T服从参数为λ得指数分布。
(2 53、设随机变量X得绝对值不大于1,P{X=1}=1/8,P{X=1}=1/4、在事件{1<X<1}出现得条件下,X在{1,1}内任一子区间上取值得条件概率与该子区间长度成正比,试求X得分布函数F(x=P{X≤x}、 (1997研考 【解】显然当x<1时F(x=0;而x≥1时F(x=1 由题知
当1<x<1时, 此时
 当x=1时, 故X得分布函数
2254、 设随机变量X服从正态分N(μ1,σ1,Y服从正态分布N(μ2,σ2,且P{|Xμ1|<1}>P{|Yμ2|<1},试比较σ1与σ2得大小、 (2006研考 解: 依题意 ,,则
, 、
因为,即
, 所以有 ,即、

概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

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