2016-2017学年甘肃省白银市靖远县靖安中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）A卷（100分）

1．（3分）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为（　　）

A．5 B．10 C．20 D．14

2．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．两组对边分别平行 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等

3．（3分）一元二次方程x2﹣4=0的根为（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4

4．（3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（　　）

A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．，b=﹣1 D．，b=1

5．（3分）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180 C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180

6．（3分）连续掷一枚硬币两次，两次都正面朝上的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8

8．（3分）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（　　）

A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

9．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）

A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15

10．（3分）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　）

A． B．2 C． D．1

二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）

11．（4分）直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是　 　cm2．

12．（4分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为　 　．

13．（4分）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为　 　．

14．（4分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是　 　．

15．（4分）新华公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年均增长率为　 　．

16．（4分）从甲、乙、丙、丁四名三好学生中随机抽取2名同学担任旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率是　 　．

17．（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件　 　，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．

18．（4分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=　 　cm．

三、解答题（共4小题，满分38分）

19．（12分）解方程：

（1）2y2+4y=y+2．

（2）x2+3﹣2x=0．

20．（8分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．

（1）若此方程的一个根为1，求m的值；

（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，AD∥EC，CD∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．

22．（10分）为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．

（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；

（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？

四、解答题（共5小题，满分50分）

23．（8分）如图，已知□ABCD中DE⊥AB，DF⊥BC垂足分别是E、F且DE=DF

求证：（1）△ADE≌△CDF；

（2）四边形ABCD是菱形．

24．（10分）已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，求关于x的方程ax2+bx+c=0的根．

25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF，BE与DF之间有怎样的关系？说明理由．

26．（10分）某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？

27．（12分）阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：

（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

2016-2017学年甘肃省白银市靖远县靖安中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）A卷（100分）

1．（3分）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为（　　）

A．5 B．10 C．20 D．14

【解答】解：∵菱形两条对角线的长分别为6和8．

∴菱形两条对角线的一半长分别为3和4．

∴菱形的边长为：=5．

故选：A．

2．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．两组对边分别平行 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等

【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；

B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；

C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；

D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．

故选：B．

3．（3分）一元二次方程x2﹣4=0的根为（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4

【解答】解：移项，得

x2=4，

开方，得

x1=2，x2=﹣2．

故选：C．

4．（3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（　　）

A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．，b=﹣1 D．，b=1

【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，

∴x1+x2=﹣2a，x1x2=b，

∵x1+x2=3，x1x2=1，

∴﹣2a=3，b=1，

即a=﹣，b=1，

故选：D．

5．（3分）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180 C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180

【解答】解：设宽为x米，则长为（x+11）米，

根据题意得：x（x+11）=180，

故选：C．

6．（3分）连续掷一枚硬币两次，两次都正面朝上的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：画树形图得：

共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是，

故选：B．

7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8

【解答】解：连接OE，与DC交于点F，

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，

∵OD∥CE，OC∥DE，

∴四边形ODEC为平行四边形，

∵OD=OC，

∴四边形ODEC为菱形，

∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，

∵DE∥OA，且DE=OA，

∴四边形ADEO为平行四边形，

∵AD=2，DE=2，

∴OE=2，即OF=EF=，

在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，

则S菱形ODEC=OE•DC=×2×2=2．

故选：A．

8．（3分）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（　　）

A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

【解答】解：∵△=22﹣4×1×1=0，

∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；

故选：B．

9．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）

A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15

【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，

∴x2﹣8x=1，

∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，

故选：B．

10．（3分）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　）

A． B．2 C． D．1

【解答】解：设AP=x，PD=4﹣x．

∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；

∴△AEP∽△ADC，故=①；

同理可得△DFP∽△DAB，故=②．

①+②得=，

∴PE+PF=．故选A．

二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）

11．（4分）直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是　30　cm2．

【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线是6cm，

∴斜边是12cm，

∴S△=×5×12=30cm2

∴它的面积是30cm2．

故填：30cm2．

12．（4分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为　13　．

【解答】解：∵ABCD是正方形（已知），

∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°；

又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，

∴∠FBA=∠EAD（等量代换）；

∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，

∴在Rt△AFB和Rt△AED中，

∵，

∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），

∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．

故答案为：13．

13．（4分）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为　12　．

【解答】解：x2﹣13x+40=0，

（x﹣5）（x﹣8）=0，

所以x1=5，x2=8，

而三角形的两边长分别是3和4，

所以三角形第三边的长为5，

所以三角形的周长为3+4+5=12．

故答案为12．

14．（4分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是　0或3　．

【解答】解：设这个数是x，根据题意，得

x2=3x，即x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0

解得x=0或x=3．

即这个数是0或3，

故答案为0或3．

15．（4分）新华公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年均增长率为　10%　．

【解答】解：设该公司的年增长率为x，根据题意得

40（1+x）2=48.4．

解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．

即该公司这两年缴税的年均增长率为10%．

故答案是：10%．

16．（4分）从甲、乙、丙、丁四名三好学生中随机抽取2名同学担任旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率是　　．

【解答】解：画树形图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，

∴P（抽到甲和乙）=．

故答案为．

17．（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件　∠BAD=90°　，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．

【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴当∠BAD=90°时，四边形ABCD为正方形．

故答案为∠BAD=90°．

18．（4分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=　6　cm．

【解答】解：如图，延长原矩形的边，

∵矩形的对边平行，

∴∠1=∠ACB，

由翻折变换的性质得，∠1=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AC=AB，

∵AB=6cm，

∴AC=6cm．

故答案为：6．

三、解答题（共4小题，满分38分）

19．（12分）解方程：

（1）2y2+4y=y+2．

（2）x2+3﹣2x=0．

【解答】解：（1）整理，得：2y2+3y﹣2=0，

∴（y+2）（2y﹣1）=0，

∴y+2=0或2y﹣1=0，

解得：y=﹣2或y=；

（2）∵（x﹣）2=0，

∴x=．

20．（8分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．

（1）若此方程的一个根为1，求m的值；

（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

【解答】解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，

得：1+m+m﹣2=0，

解得：m=；

（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，

∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，AD∥EC，CD∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．

【解答】解：

四边形ADCE为菱形．

证明如下：

∵AD∥EC，CD∥AB，

∴四边形ADCE为平行四边形，

∵∠ACB=90°，E是AB的中点，

∴AE=EC，

∴四边形ADCE为菱形．

22．（10分）为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．

（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；

（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？

【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：

由树形图可知三次传球有8种等可能结果；

（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率=；

（3）由（1）可知球回到甲脚下的概率=，传到乙脚下的概率=，

所以球回到乙脚下的概率大．

四、解答题（共5小题，满分50分）

23．（8分）如图，已知□ABCD中DE⊥AB，DF⊥BC垂足分别是E、F且DE=DF

求证：（1）△ADE≌△CDF；

（2）四边形ABCD是菱形．

【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC

∴∠AED=∠CFD=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠A=∠C，

∵在△AED和△CFD中，，

∴△AED≌△CFD（AAS）；

（2）由（1）知，△AED≌△CFD，

∴AD=CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是菱形．

24．（10分）已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，求关于x的方程ax2+bx+c=0的根．

【解答】解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，

∴a﹣2=0，b+1=0，c+3=0，

∴a=2，b=﹣1，c=﹣3．

方程ax2+bx+c=0即为2x2﹣x﹣3=0，

解得x1=，x2=﹣1．

25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF，BE与DF之间有怎样的关系？说明理由．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=∠DCF=90°，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴BE=DF，∠CBE=∠CDF，

∵∠CBE+∠CEB=90°，

∴∠DEH+∠EDH=90°，

∴BE⊥DF，BE=DF．

26．（10分）某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？

【解答】解：设这种台灯的售价定为x元，由题意得

[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，

整理，得x2﹣130x+4000=0，

解得：x1=50，x2=80．

当x=50时，600﹣10（x﹣40）=600﹣10×（50﹣40）=500（个）；

当x=80时，600﹣10（x﹣40）=600﹣10×（80﹣40）=200（个）．

答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个；台灯的定价定为80元，这时应进台灯200个．

27．（12分）阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：

（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

【解答】解：（1）是平行四边形，

证明：如图2，连接AC，

∵E是AB的中点，F是BC的中点，

∴EF∥AC，EF=AC，

同理HG∥AC，HG=AC，

综上可得：EF∥HG，EF=HG，

故四边形EFGH是平行四边形；

（2）①AC=BD．

理由如下：

由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，

∴当AC=BD时，FG=HG，

∴平行四边形EFGH是菱形，

②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；

理由如下：

同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，

∵AC⊥BD，GH∥AC，

∴GH⊥BD，

∵GF∥BD，

∴GH⊥GF，

∴∠HGF=90°，

∴四边形EFGH为矩形．

　赠送初中数学几何模型

【模型五】

垂直弦模型：图形特征：

运用举例：

1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.

(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；

(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.

2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求l＋l的值；

（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；

3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．

(1)如图1，设⊙O的半径是r，若＋＝πr，求证：AC⊥BD；

(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．

图1 图2

4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．

(1)求证：＝；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．

5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；

（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.

（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.

图1 图2 图3

6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；

（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2

[精品]2017年甘肃省白银市靖远县靖安中学九年级上学期数学期中试卷及解析