2019年九年级数学上学期第二次月考试题（含解析） 新人教版

一、选择题（每题3分，共30分）

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )

A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1

2．若反比例函数的图象经过（2，﹣2），（m，1），则m=( )

A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4

3．有一实物如图，那么它的主视图是( )

A． B． C． D．

4．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足( )

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

5．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是( )

A．11 B．13 C．11或13 D．11和13

6．小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是( )

A．矩形 B．正方形 C．等腰梯形 D．无法确定

7．既是轴对称，又是中心对称图形的是( )

A．矩形 B．平行四边形 C．正三角形 D．等腰梯形

8．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是( )

A．①②③④ B．④①③② C．④②③① D．④③②①

9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=3cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是( )

A．21cm B．18cm C．15cm D．12cm

10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是( )

A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④

二．填空题（每空4分，共32分）

11．若关于x的方程3x2+mx+m﹣6=0有一根是0，则m=__________．

12．双曲线y=经过点（2，﹣3），则k=__________．

13．口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，摸到白球的概率为__________．

14．菱形的两条对角线的长的比是2：3，面积是24cm2，则它的两条对角线的长分别为__________．

15．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是__________．

16．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=2：1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为__________cm．

17．如图，反比例函数图象上一点A，过A作AB⊥x轴于B，若S△AOB=3，则反比例函数解析式为__________．

18．大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍，小矩形的面积是5cm2，大矩形的长为5cm，则大矩形的宽为__________cm．

三．解答题：

19．解方程：

（1）x2+4x﹣12=0；

（2）3（x﹣5）2=2（5﹣x）．

20．已知，则=？

21．三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹）

22．近视眼镜的度数与镜片焦距成反比．小明到眼镜店调查了一些数据如下表：

（1）求眼镜度数y（度）与镜片焦距x（cm）之间的函数关系式；

（2）若小明所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距．

23．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．

24．一个不透明的口袋中装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）求实验总次数，并补全条形统计图；

（2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？

（3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．

25．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

26．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD=CE，AD、BE相交于点M．求证：

（1）△AME∽△BAE；

（2）BD2=AD•DM．

27．阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）

（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，

∵△=49﹣48＞0，∴x1=__________，x2=__________，

∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

28．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

2015-2016学年××市××桃林中学九年级（上）第二次月考数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )

A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】一元二次方程有四个特点：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的最高次数是2；

（3）是整式方程．

（4）二次项系数不为0．

【解答】解：

A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；

B、方程不是整式方程，故错误；

C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；

D、是一元一次方程，故错误．

故选：A．

【点评】判断一个方程是否是一元二次方程：

首先要看是否是整式方程；

然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

这是一个需要识记的内容．

2．若反比例函数的图象经过（2，﹣2），（m，1），则m=( )

A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4

【考点】待定系数法求反比例函数解析式．

【专题】计算题．

【分析】先设出反比例函数解析式y=，代入（2，﹣2）确定k值，再代入（m，1）可求出m的值．

【解答】解：设反比例函数解析式y=，

将（2，﹣2）代入得﹣2=，

∴k=﹣4，

即函数解析式为y=﹣，

将（m，1）代入解析式得1=﹣，

∴m=﹣4．

故选D．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，要注意待定系数法的使用．

3．有一实物如图，那么它的主视图是( )

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】细心观察图中几何体摆放的位置和形状，根据主视图是从正面看到的图象判定则可．

【解答】解：正面看，它是中间小两头大的一个图形，里面有两条虚线，表示看不到的棱．故选B．

【点评】本题考查了立体图形的三视图，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．

4．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足( )

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

【考点】根的判别式．

【专题】判别式法．

【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．

【解答】解：分类讨论：

①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；

②当a﹣5≠0即a≠5时，

∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根

∴16+4（a﹣5）≥0，

∴a≥1．

∴a的取值范围为a≥1．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

5．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是( )

A．11 B．13 C．11或13 D．11和13

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

【专题】计算题．

【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．

【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，

分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，

可得x﹣2=0或x﹣4=0，

解得：x1=2，x2=4，

当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；

当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．

故选B．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

6．小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是( )

A．矩形 B．正方形 C．等腰梯形 D．无法确定

【考点】等腰梯形的性质；多边形；矩形的性质；正方形的性质．

【分析】对角线相等的四边形有正方形，矩形，等腰梯形，一般的四边形等．

【解答】解：用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，

则该风筝的形状可能是正方形，矩形，等腰梯形，一般的四边形等，

所以是无法确定．

故选D．

【点评】本题需注意多方面考虑所给条件，即对角线相等的四边形．

7．既是轴对称，又是中心对称图形的是( )

A．矩形 B．平行四边形 C．正三角形 D．等腰梯形

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【解答】解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选A．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

8．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是( )

A．①②③④ B．④①③② C．④②③① D．④③②①

【考点】平行投影．

【专题】压轴题．

【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．

【解答】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北﹣北﹣东北﹣东，

故分析可得：先后顺序为④①③②．故选B．

【点评】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．

9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=3cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是( )

A．21cm B．18cm C．15cm D．12cm

【考点】等腰梯形的性质．

【分析】根据题意，可知∠A=∠ABC=60°，即可推出∠ABD=∠DBC=30°，∠ADB=90°，∠BDC=30°，因此，CD=BC=AD=3，根据勾股定理，可知AB=6，便可推出梯形的周长．

【解答】解：∵等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=3cm，∠A=60°，

∴BC=AD，∠A=∠ABC=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴∠BDC=30°，

∵∠ABD=30°，∠A=60°，

∴∠ADB=90°，

∵CD=3cm，

∴CD=BC=AD=3，

∴AB=2AD=6，

∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=6+3+3+3=15cm．

故选择C．

【点评】本题主要考查等腰梯形的性质、平行线的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，关键在于根据已知推出∠ADB=90°，CD=BC=AD．

10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是( )

A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④

【考点】正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定．

【专题】证明题．

【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．

【解答】解：A、符合邻边相等的矩形是正方形；

B、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；

D、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；

故选C．

【点评】此题主要考查正方形、菱形、矩形的判定，应灵活掌握．

二．填空题（每空4分，共32分）

11．若关于x的方程3x2+mx+m﹣6=0有一根是0，则m=6．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义求解．把x=0代入方程求出m的值．

【解答】解：∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得m﹣6=0，解此方程得到m=6．

【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值．

12．双曲线y=经过点（2，﹣3），则k=﹣6．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式．

【专题】计算题．

【分析】把x=2，y=﹣3代入双曲线解析式即可求得k的值．

【解答】解：∵双曲线y=经过点（2，﹣3），

∴k=2×（﹣3）=﹣6，

故答案为﹣6．

【点评】考查用待定系数法求反比例函数解析式；用到的知识点为：点在反比例函数解析式上，点的横纵坐标适合函数解析式．

13．口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，摸到白球的概率为．

【考点】概率公式．

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

①符合条件的情况数目；

②全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．

【解答】解：根据题意可得：口袋中有2个白球，1个黑球，共3个球，

从中任取一个球，摸到白球的概率为．

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

14．菱形的两条对角线的长的比是2：3，面积是24cm2，则它的两条对角线的长分别为4cm，6cm．

【考点】菱形的性质．

【分析】首先设菱形的两条对角线的长分别为：2xcm，3xcm，由面积是24cm2，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可得方程：×2x×3x=24，解此方程即可求得答案．

【解答】解：设菱形的两条对角线的长分别为：2xcm，3xcm，

∵面积是24cm2，

∴×2x×3x=24，

解得：x=2，

∴它的两条对角线的长分别为：4cm，6cm．

故答案为：4cm，6cm．

【点评】此题考查了菱形的性质．此题比较简单，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．

15．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是120°．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．

【解答】解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，

三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，

所以120°只可能是顶角．

故答案为：120°．

【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．

16．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=2：1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为2.6cm．

【考点】角平分线的性质．

【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD=DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC

∴CD=DE

又BD：DC=2：1，BC=7.8cm

∴DC=7.8÷（2+1）=7.8÷3=2.6cm．

∴DE=DC=2.6cm．

故填2.6．

【点评】此题主要考查角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答，各角线段的比求出线段长是经常使用的方法，比较重要，要注意掌握．

17．如图，反比例函数图象上一点A，过A作AB⊥x轴于B，若S△AOB=3，则反比例函数解析式为y=．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【专题】数形结合．

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．

【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB=|k|=3；

又由于函数图象位于一、三象限，则k=6．

所以反比例函数的解析式为：y=．

【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

18．大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍，小矩形的面积是5cm2，大矩形的长为5cm，则大矩形的宽为4cm．

【考点】位似变换．

【分析】位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

【解答】解：∵大矩形与小矩形位似，

∴位似比等于相似比为2：1．

∵其对应的面积比等于相似比的平方为4：1，

∴大矩形面积为20cm2．

∴大矩形的宽为4cm．

故大矩形的宽为4cm．

【点评】本题考查了位似的相关知识．

三．解答题：

19．解方程：

（1）x2+4x﹣12=0；

（2）3（x﹣5）2=2（5﹣x）．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：（1）x2+4x﹣12=0，

（x+6）（x﹣2）=0，

x+6=0，x﹣2=0，

x1=﹣6，x2=2；

（2）3（x﹣5）2=2（5﹣x），

3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，

（x﹣5）[3（x﹣5）+2]=0，

x﹣5=0，3（x﹣5）+2=0，

x1=5，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

20．已知，则=？

【考点】比例的性质．

【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．

【解答】解：由，得a=．

==．

【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出a=是解题关键，又利用了分式的性质．

21．三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹）

【考点】中心投影．

【专题】作图题．

【分析】分别作过乙，丙的头的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，连接点光源和甲的头的顶端并延长交平面于一点，这点到甲的脚端的距离是就是甲的影长．

【解答】解：

．

【点评】两个物高与影长的连线的交点是点光源；影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．

22．近视眼镜的度数与镜片焦距成反比．小明到眼镜店调查了一些数据如下表：

（1）求眼镜度数y（度）与镜片焦距x（cm）之间的函数关系式；

（2）若小明所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距．

【考点】反比例函数的应用．

【专题】跨学科；待定系数法．

【分析】（1）可根据表中给出的数据，把其中的任一组数据代入中，即可得出眼镜度数y（度）与镜片焦距x（cm）之间的函数关系式．

（2）令y=500，代入关系式中可求得该镜片的焦距．

【解答】解：（1）设函数关系式为，将点（25，400）代入

解得k=10000，

即得函数关系式为y=．

（2）若小明所戴眼镜度数为500度，即y=500，

代入解析式中解得x=20cm．

故该镜片的焦距为20cm．

【点评】本题通过范例，联系日常生活，考查了用待定系数法求函数解析式；难易程度适中．

23．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．

【专题】几何综合题．

【分析】先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；

由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°，

又∵，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴∠B=∠C．

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：四边形AFDE是正方形．

证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴四边形AFDE是矩形，

又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴DF=DE，

∴四边形AFDE是正方形．

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．

24．一个不透明的口袋中装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）求实验总次数，并补全条形统计图；

（2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？

（3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．

【考点】条形统计图；扇形统计图；模拟实验．

【专题】图表型．

【分析】（1）用摸到红色球的次数除以占的百分比即是实验总次数，用总次数减去红黄绿球的次数即为摸蓝球的次数，再补全条形统计图即可；

（2）用摸到黄色小球次数除以实验总次数，再乘以360°即可得摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数；

（3）先得出摸到绿色小球次数所占的百分比，再用口袋中有10个红球除以红球所占的百分比得出口袋中小球的总数，最后乘以绿色小球所占的百分比即可．

【解答】解：（1）50÷25%=200（次），

所以实验总次数为200次，

条形统计图如下：

（2）=144°；

（3）10÷25%×=2（个），

答：口袋中绿球有2个．

【点评】本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

25．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．

【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，

根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，

解得x1=1，x2=4，

又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元，

答：应将销售单价定位56元．

【点评】本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

26．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD=CE，AD、BE相交于点M．求证：

（1）△AME∽△BAE；

（2）BD2=AD•DM．

【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）首先利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证得△ABD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质得∠EAM=∠EBA，由相似三角形的（AA）判定定理得结论；

（2）利用（1）中结论可得∠BAD=∠MBD，又∠BDA=∠MDB，由相似三角形的判定定理得△BDA∽△MDB，利用相似三角形的性质可得结论．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，

在△ABD与△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠EAM=∠CAB﹣∠BAD=60°﹣∠BAD，∠EBA=∠ABC﹣∠CBE=60°﹣∠CBE，

∴∠EAM=∠EBA，

∵∠AEM=∠BEA，

∴△AME∽△BAE；

（2）∵∠BAD=∠CBE，即∠BAD=∠MBD，∠BDA=∠MDB，

∴△BDA∽△MDB，

∴，

∴BD2=DA•DM．

【点评】本题主要考查了全等三角形与相似三角形的判定及性质定理，利用等边三角形的性质得到判断全等三角形的条件是解答此题的关键．

27．阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）

（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，

∵△=49﹣48＞0，∴x1=2，x2=，

∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）直接利用求根公式计算即可；

（2）参照（1）中的解法解题即可；

（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．

【解答】解：（1）由上可知

（x﹣2）（2x﹣3）=0

∴x1=2，x2=；

（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得

消去y化简，得

2x2﹣3x+2=0

∵△=9﹣16＜0

∴不存在矩形B；

（3）（m+n）2﹣8mn≥0．

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得

消去y化简，得

2x2﹣（m+n）x+mn=0

△=（m+n）2﹣8mn≥0

即（m+n）2﹣8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．

【点评】此类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程组，要会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况．

28．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）根据图象，观察即可求得答案；

（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．

【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，

∴m=6，

∴反比例函数的解析式为：y=，

∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，

∴n==﹣2，

∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，

2019年九年级数学上学期第二次月考试题（含解析） 新人教版