分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义：

例：下列式子中，515b7acd32383b4dd2d57db8423c2601.png、8a2b、-9a96af18e0cab91cd98e8f3cad52cec1.png、011c10cf6440c4d2c35968c6b30d96e8.png、92ef182d86444828161a62a45acb5223.png、2-0356f7f4744cb0dc141b4b46140c5c39.png、d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png、05ddc03d375e9ad81dda3c95c41eec11.png afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png、93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png、9908a0b3534dd1e65016144222802d71.png、b1835beaad3419be529baa624b3b4db3.png、36160492160121dc7c3445d97121bbd0.png、50e87e30aa1bc6b8b707fa60aea6f03e.png中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5

练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .

⑴word/media/image14_1.png； ⑵ word/media/image15_1.png；⑶；⑷word/media/image17_1.png；⑸；⑹word/media/image19_1.png.

（2）下列式子，哪些是分式？

； word/media/image21_1.png；； word/media/image23_1.png；word/media/image24_1.png；word/media/image25_1.png.

2、分式有，无意义，总有意义：

（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；

（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；

注意：（19cb4465624f301eeb8f8a6d1d60276b.png≠0）

例1：当x 时，分式0b35f41c0fc2e12e5a241728436ac03a.png有意义； 例2：分式90516ae2c5038546de81b33753af111c.png中，当45968be006e61c87922a94c5c4deeea7.png时，分式没有意义

例3：当x 时，分式291523c15f7ea174c452b5e41a2db14f.png有意义。 例4：当x 时，分式f2040982b57594d20a0f3a9f36ec1d16.png有意义

例5：9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png满足关系 时，分式1e1c0205cdb6be70127014d5d994b390.png无意义；

例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ）

A．c393ee7bd50752ccc0687269d6c596a0.png B.f14e3ca342dac4283f7e4b21b37911ba.png C.062c0251b7096be6630ce772e92db189.png D.51a74ac529e4d0048325da5c6c506292.png

例7：使分式word/media/image39_1.png 有意义的x的取值范围为（　　）A．　B．word/media/image41_1.png　C．　D．word/media/image43_1.png

例8：要是分式eae35d23e6aa876717f6fef5a1c7c735.png没有意义，则x的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3

同步练习题：

3、分式的值为零：

使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

例1：当x 时，分式0287b990bf180bf723eb17571780c175.png的值为0 例2：当x 时，分式e9156fc9de860b800bb2082f1c7bb09e.png的值为0

例3：如果分式ee7eb5ad7fb79bf643d5a70e62adf5bc.png的值为为零,则a的值为( ) A. c69e36b11dfe119dfbf73d3d0e646493.png B.2 C. 02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png D.以上全不对

例4：能使分式d5ea59d428db3d16b1445b9c93fcfea7.png的值为零的所有9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的值是 （ ）

A e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png B a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png Ce11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png 或a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png De11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png或a4e1fa73457eb8c87e0bb5d5af934e30.png

例5：要使分式483f10d889377c195ff6d7b3130151ae.png的值为0，则x的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2

例6：若636b2e98b1f9628150450885b2ffaa08.png,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数

4、分式的基本性质的应用：

word/media/image59.gif分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

例1：cd70f64b3e3d19bbb322209521537140.png ； b3f6e1c0cb338750e1d4dff8912eaf7e.png ；如果63bad8670f236670a908b5ea165c15a1.png成立,则a的取值范围是________；

例2：word/media/image63_1.png

例3：如果把分式a4bbd44d55fa325b3cc3dd3ddead5d7b.png中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ）

A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变

例4：如果把分式fbf3e1e783c8340bb56f0395cf4e139f.png中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）

A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的1b7fcaa2e80f3cc459ba13babb1338cb.png

例5：如果把分式ff1f77b8a534d941b4f922038706dad8.png中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）

A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍

例6：如果把分式1e1c0205cdb6be70127014d5d994b390.png中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）

A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍

例7：如果把分式c0f0a1c9a926881bbedb95884bb52b91.png中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）

A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png倍

例8：若把分式673c3697eb23dd31277ad8ce5cbaabd8.png的x、y同时缩小12倍，则分式的值（ ）

A．扩大12倍 B．缩小12倍 C．不变 D．缩小6倍

例9：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）

A、69a76ca8821d41be11b972f4618edf08.png B、00bf8b1ef21cf06e77e7e66348ecf9e6.png C、dc5b036784a2f1661779d4f662c91b56.png D、4797b2f8ea2e6a4568befde07e6ffcf6.png

例10：根据分式的基本性质，分式8aae4272fc1f9405efb10cd735843f8c.png可变形为（ ）

A 949f0dc2b385fa40b98d1fe633ad659c.png B 5e1d5b773d557d655112d9028587d69c.png C a325b4767bcaac33657165e25614bb1a.png D e64b496f0e811d8cddd9db0059d08012.png

例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，fcc3ac88b50deca8a388f065b0b1e59a.png ；

例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， dce6d88776ade607452443412e2a2b22.png= 。

5、分式的约分及最简分式：

①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分

②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）

约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

例1：下列式子（1）e46381ca175b932e164b35b59898fb8b.png；（2）1258fd0a0bccca15447cebc8af1f2f89.png；（3）df6732ea57264f3961ed661c5f6cec7c.png；（4）405ff23d4f9491f8fc1addba92af1883.png中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个

例2：下列约分正确的是（ ）

A、37b1b1ef9576455b3bb9f9e16b7088b9.png； B、fccf85c36294d7ece16504ac86cffde7.png； C、7ec9eb7e60bdeae20823cf108ce694d9.png； D、a0cb98ac2c9fb545186769a60b93f178.png

例3：下列式子正确的是( )

Af5af28df70e40f350873db0177d8d28d.png B.d3682e3692bb02911e51b67e5a5ae942.png C.55d715682a1c442fef40c76710a16744.png D.21a1ab07cc857beb469ac923f8384c9c.png

例4：下列运算正确的是（ ）

A、7fdfba6803ec0972067943a0e5d81275.png B、8ddf8a08d6c8cef949d1db87be2323d7.png C、d8d8019260e2fa62527f3d6f93bc3b9b.png D、98cc0924e2b59ba6f880e18c36b087d8.png

例5：下列式子正确的是（ ）

A．ac26cda1c4e1c8f33f371a0d83bb45b2.png B．2e9789e7809fe7ac76728cbd9cdc3bfe.png C．922c2f4d7678437645b57b08c3f9317b.png D．f0c7dd73fdf718b71db6fcc059f84dc6.png

例6：化简12ff3c245040d8574f5985bdb3f1067d.png的结果是（ ）A、cdfa5e2359dfe552e2cff84bf7d7bed2.png B、fedbb1bf1be569ccafa9c03cb7f2ad08.png C、cf354c5c6a4cda61dc5b0310c5e28ecb.png D、ac9d906b3c2362fee20dbca069f387d1.png

例7：约分：8baf4e69aeecaec6fadac94f9b023894.png ；d83b42f9ce79a8db7fa0da791e6a2cf4.png= ；ee2034b8438759a13d505906a4b81963.png； 9a3e9345329c3a5cea9a1d9ffbd456c3.png。

例8：约分： 123b36d8d4d31614e144971392365d5f.png＝ ； 91feff598267ce2e8689ff5a7ba4f480.png ；288a044dd2ea251872e619b094ba4f75.png ； 6fa9978c00ef88c0c94b34698aacea86.png

4869d59f44d346ecbf85081e959a8d30.png ；5f5e9ba770905a3c86a6741784ff0793.png ；893e0b7c9bc3ba6d5f77e3ec0a52e73a.png b52c3fe805f8f79a4454c9fb40ef42f5.png 1b1b8c8a6a0defb90b89d985a66bd62e.pngd6185bb544f72ec4c3459413196c82fb.png__________e4f3a1906f6b21c3adb618ee4604daee.png__________。

例9：分式676ba5ac5295730bc199b34e0db1b610.png，4de71151b2248c4472ee0af70a58132a.png，73fe9a81059e27e4f7a1005d47c17e83.png，561c8dd149081ff8dcbc4cae49ab2272.png中，最简分式有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、分式的乘，除，乘方：

分式的乘法：乘法法测：·word/media/image129_1.png=.

分式的除法：除法法则：word/media/image131_1.png÷=word/media/image133_1.png·=word/media/image135_1.png

分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(word/media/image136_1.png)n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(word/media/image131_1.png)n=(n为正整数)

例题：

计算：（1）a2aa99c4b620e34a023d58e683270d0e.png （2）1efb40acae4e16dfa369c0108312a1d6.png （3）61b0904f8ae69e1743f06f8c90bd5535.png

计算：（4）fbab6c1d5658d012030905ba14f21abb.png （5）9b57fcd7065f0f3e210fcaf334d4f066.png （6）8d0467713af1b3c4178bbc1eb5c8fac5.png

计算：（7）99753fa431b00fa238e13f815c2c2978.png （8）205661bb436f95278a2b494f20892731.png （9）8d8a00588f66232ccac3b41bb88f7526.png

计算：（10） a0eb1bb2fb8aa90e6575646a1b0f68d0.png （11） 9eefd0be145529c044e5f4dd57feffdb.png（12） 6789012a3b7e7351ba669deecd6b28fb.png

计算：（13）c7b4a54e3c8ec6a30392ef35bd62336b.png （14）59fbb1bd288b8ac5e630e63a32636dff.png

求值题：（1）已知：b9ad4d6436d51e0a92b0800342b53b23.png，求61fa828057248624cbdd3ea3b67a768b.png的值。

（2）已知：def86a17be308a371ea3cfc0a1f35fea.png，求0196c6f4052c8dafeca19a8631281da3.png的值。

（3）已知：1ec6cea3b6edc930d1ad62830591af38.png，求da06e4e2f8f04c7df69a3d9a408133b2.png的值。

例题：

计算：（1）8907936b7162690c3dd1bf46407d0c19.png （2）530401eff97281bf3d9c2ab10f075ef3.png= （3）86f6d32112a7e083055ffe117d75f9e6.png=

计算：（4）bc0ed3f9195e9028953f252941a82a40.png= （5）e109d40bc0eb4b42a3e4793e4a7ecb59.png

（6）bb117d6b4fcad00c063cf5043350b219.png

求值题：（1）已知：343d9bf59e906a8b407a22d02e39b993.png 求f7ecf83638d190f836a2d1c1db83d6a5.png的值。

（2）已知：6c4e94f2ad53aa10b5085e89c9e6451c.png求b585f38a07e2ec3fef1d3c3484e66175.png的值。

例题：计算f65f0041dde3ce6e3524a4b00ee365a7.png的结果是（ ）A 845f793dd1e26473487ba9572394a60c.png Bb07273d766f77908e2c190a72f4fcf67.png C bfdefe5a68f33706693d71350725374e.png D 28401810937d6c211d0365f370f17da1.png

例题：化简ab4b6079074120160467bd42b3c0d17d.png的结果是（ ）A. 1 B. xy C. aae37404f1219a49dafcaf015d5965f3.png D . a4df4c5aaf8f092e03a00f7109e5de74.png

计算：（1）2b5f519191fe26e2f03888ebc47f405b.png；（2）e410cfd21afeb909925a4fbe7ed8d8b8.png （3）(a2－1)·word/media/image178_1.png÷

7、分式的通分及最简公分母：

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）

分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。

“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。

例如：66a7ead65715a012bb7b687ea89d1f79.png最简公分母就是7f39ec632aec21c2a198ea19a3284650.png。

“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。

例如：a7566161ccef19d200f383d4449f5021.png最简公分母就是5624dc937c34ae4d0bdaa765b6ba66d5.png

“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。

例如：39878a6c19f1e775a5b5965135ddb68b.png最简公分母是：d7824c3002f9a652f0301d46d231576b.png

这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。

例1：分式f89b7753ba106feb0d18074071229a48.png的最简公分母是（ ）

A．ccec4a7ed9ed9868ded12ad846c03f43.png B．621e1b495bc92be2d385c4849738126d.png C．083b6304a01c3e84ad0aaa246d6ec4ec.png D．95677b51a20ba8cf85ad02b528741a3a.png

例2：对分式e693179ffaba123b707a24e83f675ad9.png，5c13023da7f3bbad10479a0abdb26483.png，8be8a5e48238686d62233cb3f0466f00.png通分时， 最简公分母是（ ）

A．２４x2y３ B．１２ｘ２ｙ２　　　Ｃ．２４ｘｙ２　　Ｄ．１２ｘｙ２　

例3：下面各分式：6e87b8667323645d3582bac46a2a11c4.png,9e99fc6e77538326fad97b4077d68957.png,79ff0b668245daeac67eb88ac25247c1.png,a332ae08ddb9f1325760640ca6a48dd1.png，其中最简分式有（ ）个。

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

例4：分式word/media/image198_1.png，的最简公分母是 .

例5：分式a与09d396adb41a8af8f97997736a8e073c.png的最简公分母为________________；

例6：分式348bb6031a28a32d472887b52ec162a5.png的最简公分母为 。

8、分式的加减：

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。

1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。

2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。

例1：7b0ccf6b3653375650c4f4c0f541b735.png= 例2：fd45bf8027925f9d621462e03140f3cd.png=

例3：50bfd3ae37179262c556207c7f5679df.png= 例4：3723e508888c1747e0a8cdaed33d8a2a.png=

计算：（1） （2）d74de3a965c32b0ccad1134e0a784bd6.png （3） 1818e4358aebf6c7307a2ee3c0b41dc0.png

（4） word/media/image209_1.png－word/media/image210_1.png－.

例5：化简afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png+ee4f07a44ead24eb0ccf755881832d8e.png+ef325d6b2162c5fe8ed1d60c90d92572.png等于（ ） A．ee4f07a44ead24eb0ccf755881832d8e.png B．fce9f3d165b634c8ecd78ef4db3282a9.png C．431f0b87f2fb0cdbe0124e4c10a091e7.png D．e8c1df8d9d87d6788ebd6a791f8cebd4.png

例6：76fe9687758075ed6a27e28954dfa1fc.png 例7：ea867bbe98ecba2a40138b55d4e1a0fb.png 例8：c89c1148de77d170a7d82dd25e60bf3e.png

例9：4ac6c3025178961191b985e7d35fb070.png 例10：word/media/image222_1.png－word/media/image223_1.png 例11：08e00ece5eec8471ad5388c9f2440803.png

例12：c119a355c0c4397dcf14c23575bfc6f4.png

练习题：（1） 80ef98a601ccb60c0759be38d3c84597.png （2） 56fb6420af09a11419dffed591370eda.png （3） word/media/image228_1.png+word/media/image229_1.png.

（4） cd9cd3d683aae2a74f2c3d90d427f404.png （5） 4e76ec4ee2a21db754ad29bd82ddd65e.png

例13：计算08e00ece5eec8471ad5388c9f2440803.png的结果是（ ）A 5728a904b7db7ecb34f07649762cc2d4.png B 7b5ee7845ae6583d515e4568cc8eb100.png C a431bb764d08371b0bfc046dc9cb3a20.png D 229c861aea72d6df7d3e36332788c258.png

例14：请先化简：384b150cde240a0d6449ee5aab1ae367.png，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.

例15：已知：dd17f80b7cc8b565a26a7101560d74e9.png 求ae6b9850aac999f48d6501e1f8f29781.png的值。

9、分式的混合运算：

例1：17b956343eb43c3ec36610a085aa623a.png 例2：e0129ab9213ce000449847ca5f968721.png

例3：614ef512d9d3115da23239fae83f6cd3.png 例4：014a85b56fa9084de626863ef69ba8a2.png

例5：32ec92138466c17c500d68eeb1dec16d.png 例6：7a86edfa82df8bc6176056cdf7e1b4bf.png

例7 例8： 8b8143b699a6b3ba043bddb197677f87.png

例9： 8ceeec65719fbb6d359ffb600a3b8529.png

练习题：

10、分式求值问题：

例1：已知x为整数，且word/media/image248_1.png++word/media/image250_1.png为整数，求所有符合条件的x值的和.

例2：已知x＝2，y＝，求word/media/image252_1.png÷的值.

例3：已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+的值为________．

例4：已知实数a满足a2＋2a－8=0，求word/media/image255_1.png的值.

例5：若 求word/media/image257_1.png的值是（ ）．A． B．word/media/image259_1.png C． D．word/media/image261_1.png

例6：已知word/media/image262_1.png，求代数式word/media/image263_1.png的值

例7：先化简，再对word/media/image264_1.png取一个合适的数，代入求值．

练习题：

（1）91e5d4018d048ba607a2571f74eb5435.png，其中x=5. （2）b24358707dd6e11ea1d50bc664773286.png,其中a=5 （3）ca01ffa27afaedf5088b68fd0ad02835.png,其中a=-3，b=2

（4）8d0467713af1b3c4178bbc1eb5c8fac5.png ；其中a=85； （5）8ceeec65719fbb6d359ffb600a3b8529.png，其中x= -1

（6）先化简，再求值：word/media/image270_1.png÷(x+2－).其中x＝－2.

（7）a580d1e5f3e3f9daa58fb7c1c8d000ee.png

（8）先化简，7a4e0956c938d5d64a6f06b557196c49.png，再选择一个你喜欢的数代入求值．

11、分式其他类型试题：

例1：观察下面一列有规律的数：6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png，0580caa35cb38096c461dc12b333d6da.png，7e56c79236bbf90c734a8eccfdf83f45.png，0e60144852ba0190a0f34e1137c2ecf0.png，af0535fdc1b9c125379e16c8af6c2506.png，76c54b5cc1431b088fb5972fcc0aa675.png，……．　根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n为正整数）

例2： 观察下面一列分式：633341e5ca4c601a7d6494fa65a3e6f5.png根据你的发现，它的第8项是 ，第n项是 。

word/media/image281.gif例3：按图示的程序计算，若开始输入的n值为4，则最后输出的结果m是 （ ）

A 10 B 20 C 55 D 50

例4：当x=_______时,分式f116ecdf7af7719edc7f4fa95df00c4e.png与8fd2a449b7464e472e3b157ba9c65393.png互为相反数.

例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png☆92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png＝6623b1fdf942f2248111a320bb98b8fe.png，根据这个规则9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png☆19eb9d9c45d54f162363e7b587e84fbd.png的解为

（ ） A．4e77a783daf447361658f525cebd4ead.png B．a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png C．a038e5d1f3bfddf89bae87ff2ed022ab.png或1 D．4e77a783daf447361658f525cebd4ead.png或768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png

例6：已知67f6dca21d5d0456bbef5e83acb76b03.png，则8a3e08caa10a703ebb21dd5638b32df9.png；

例7： 已知word/media/image296_1.png，则（　　）

A． B．word/media/image298_1.png C． D．word/media/image300_1.png

例8：已知858bebfd13981a4cffd91e034d28d0f6.png，求db6b598ba4d17439c57f30c8cfd2b2dd.png的值；

例9：设9214b64a68d5a0d9eb99825f29efe5b3.png,则d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的值是( ) A.61cb7e0d1de9e7ffaf3afd17e3fbba1e.png B.0 C.1 D.768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png

例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

ｘword/media/image307_1.png－4ｘｙ＋4ｙword/media/image308_1.png ｘword/media/image309_1.png－4ｙword/media/image310_1.png ｘ－2ｙ

例11：先填空后计算：

word/media/image311.giffa4cf1bed6755fa03f002353ebe579db.png= 。f86f1b8d73752a5b845501a9de2fa2bb.png= 。f36b9ea02337aacb9e4f24d988a39787.png= 。（3分）

word/media/image315.gif（本小题4分）计算：82971f18a4fabcd8ce248f968d5c6a1e.png

解：82971f18a4fabcd8ce248f968d5c6a1e.png

=

12、化为一元一次的分式方程：

（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

（3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；

(3)解整式方程； (4)验根．

例1：如果分式f3d30b3f130c5f1a53035960edbb38c4.png的值为－1，则x的值是 ；

例2：要使3cf2be3296f33d35ebdcb8e77cf844bb.png的值相等，则x=__________。

例3：当m=_____时，方程b4695bc5db7a8b4f6d99a6413bbcf572.png=2的根为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

例4：如果方程eac2f6e7d32405248519d5fe652dadbb.png 的解是x＝5，则a＝ 。

例5：(1)368eaedd27e064a3500f36c11c78487a.png (2) 1a34899e0f8d861e6ff039a051e8591f.png

例6:解方程：f28611d69928e744db957ec819a7c5a8.png

例7：已知：关于x的方程23100a4d8a2b6aeb41b57179a550948e.png无解，求a的值。

例8：已知关于x的方程7393e9b7359ad077167ab62c3bfa37a5.png的根是正数，求a的取值范围。

例9：若分式3ba81765669ab9dbb1f6f0a1efac732d.png与3061d3f492d61d42b3187d39b0a86700.png的2倍互为相反数，则所列方程为___________________________；

例10：当m为何值时间？关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程069f3f5f3eaf07366cd107efa52442c9.png的解为负数？

例11：解关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程a383a33455a21211e0fc32783486c01e.png

例12：解关于x的方程:0c52e178f6605aa85e74bbae2bf7d9c7.png

例13：当a为何值时, 2b0ad177b2f8d50d8fa9485812f8d5be.png的解是负数?

例14：先化简,再求值:9eae40aedf2269f1c0e8d7c58cac8ceb.png,其中x,y满足方程组791a07ee98442c553f58ae93923d9f77.png

例15知关于x的方程0466263e2ace497e39b11a80aa389d0a.png的解为负值，求m的取值范围。

练习题： (1) bf23d955be635547bfbbeb55ff5ba3ae.png (2)e1dc40bd528ee02246a62b7a33bfb9d1.png (3)1a9fd6569eb32b4549e63e189d46bfa4.png

(4)e9cbbe7c4b04deebdb94234ba50c9866.png (5)60f7a4da374267326b0585510aad07f7.png (6)085c8502abc4328f1e3f773bc91cdf97.png

(7) 15ee4d12a606b6f809a22222ff50e216.png (8）1980374668858e32aa73a3c626728b73.png （9） 925fffa22fcbcddc756fc5d30248dd5c.png

13、分式方程的增根问题：

（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

例1：分式方程3c251014d368332bb3fb8e1dd6d19bcf.png+1=6537b0dcafc2e8b5bb4324df6221bd1b.png有增根，则m=

例2：当k的值等于 时，关于x的方程ea76b671ff42e54e7869715f22ef41f4.png不会产生增根；

例3：若解关于x的分式方程word/media/image350_1.png会产生增根，求m的值。

例4：6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png取 时，方程131cf56f08f7ff56633c17073991cba4.png会产生增根；

例5：若关于x的分式方程b5e6df0704ba3cbb8901bcea76a0960c.png无解，则m的值为__________。

例6：当k取什么值时？分式方程967ef38aed840c77617925a1b08a52b2.png有增根.

例7：若方程9f4973d9e9a22d7b623db1b601bbe87d.png有增根，则m的值是（ ）A．4 B．3 C．-3 D．1

例8：若方程d0efce2803af402ba1d60cdaafdfd736.png有增根，则增根可能为（ ）

A、0 B、2 C、0或2 D、1

14、分式的求值问题：

例1：已知dc8972eed99d6f719419f756eb20d2a1.png，分式ddf193713621353fef22e82dfd3199eb.png的值为 ；

例2：若ab=1，则b2e6c50a60120e96057aa056af9c04ce.png的值为 。

例3：已知f1159887f79dade0d77b20864240fa60.png ，那么5c20ae2db71c7eeaeae9af0f64ba0c82.png_________ ；

例4：已知1ec6cea3b6edc930d1ad62830591af38.png，则0684a3cf4459aebfd86314d97e5d8552.png的值为（ ）A b179dae22631a92c2edb99f621bfdf08.png B 8a5c7a509d3e39bed6282d07e7da61f3.png C c7ba8ef6ebee0e34f44f8e3921972e8a.png D 3a7bfc9c206c1f90e09458c923663512.png

例5：已知858bebfd13981a4cffd91e034d28d0f6.png，求db6b598ba4d17439c57f30c8cfd2b2dd.png的值；

例6：如果033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png=2，则77cfc93ed05eda5238356dd7b5c7d4c0.png=

例7：已知de961796a25884554289ec6c1868b65d.png与6d11091e58d61db85dd3820707cb0840.png的和等于31dd36cf1bff97ae1b9aab3d17479aa4.png，则a= , b = 。

例8：若be3a3dfb94cb84b005e9474da89f7b59.png，则分式357cecc073612e32450f8ef630253475.png（ ）A、6400280307ee8116d698a8e28fcef081.png B、7e4136d34f5802943d93cd86927b49f4.png C、1 D、－1

例9：有一道题“先化简，再求值：a9dce8d90397743df4a2c5c7ea62186c.png，其中3cfb21fe2d3f2acf4f7eb6faeefcc3f5.png。”小玲做题时把“3cfb21fe2d3f2acf4f7eb6faeefcc3f5.png”错抄成了“a9e81193486597a1b265ff2e95db2a8c.png”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

例10：有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式a(1+07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png)－1a234fa31dce92b12870b63787849fea.png的值”,王东在计算时错把“a=2005”抄成了“a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。

例11：有这样一道题：“计算：9b2be8a678cfc88809b510476dacc092.png的值，其中156a45f04d625aff377c9e89e63a1138.png”，某同学把156a45f04d625aff377c9e89e63a1138.png错抄成ea2681ea6cf245a2c38385492d4df935.png，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？

例题：已知46a181c7cd5996cafeaa525673f86c2c.png，求cc9d3ef54b05c92c5e04f4c3619ff941.png的值。

15、分式的应用题：

（1）列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．

（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：

a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

c.工程问题： 基本公式：工作量=工时×工效．

d.顺水逆水问题: v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．

工程问题：

例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ）

A 17290d4f89945989a54c683236f7cc72.png B 8a0438ab9f8acf0fd70d2ff2f18edca6.png C d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png D 8a0438ab9f8acf0fd70d2ff2f18edca6.png

例3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日

期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期

为x天,下面所列方程中错误的是( )

A.c988a09380b72c604cbac849669f3c1f.png; B.f5fae5d9048b72024368d3e009e1624e.png; C.e5fd341f9fb248bfed9669f0fc06404a.png; D.3470ed84e2f2a59e1523daed43c30f25.png

例4：一件工程甲单独做0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png小时完成，乙单独做92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数

是（　　）．（A）65c884f742c8591808a121a828bc09f8.png （B）6623b1fdf942f2248111a320bb98b8fe.png （C）6e1932a58b4357d6bf42494f12f9ad2f.png （D）a567b8dc0ec7b54014257659959d4f9d.png

例5：赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是（ ）

A、21834a4e2512e86e9835fd9ab0a559f7.png B、75c761fe33163815f4ec348f8d538ac9.png B、d23532f9dc1f31012d0d0430cb05a65b.png D、1c259b5c6223bddda8ea87fe6bdb9ab9.png

例6：某煤厂原计划9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）

A 7d152de1921f84c314d7979208696d6e.png B 91ad33f56b5ea13eb0b371c15d04e400.png C 941da94811a5054c5f266b7a8e32304b.png D b91313203fbd735a4dd9288ea5bcd422.png

例7：某工地调来72人参加挖土和运土工作，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png人挖土．列方程①de65042f47525afe3c486896a07a5097.png；②727ddf3c565b3e3cdbf5c6df5f769754.png；③f9dc8ae106f035d47d00059cd4633876.png；④2ba5fbd1658158e623f4e00d4e26d24f.png．

例8：八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种2棵树，八（1）班种66棵树所用时间与八（2）班种60棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各种几棵树？

例9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？

例10：服装厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好可以按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应比原计划多做多少件？

例11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？

例12：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共4350元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png，厂家需付甲、丙两队共2750元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

价格价钱问题：

例1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x人，则所列方程为 （ ）

A．e746d9d6ac645ee711591a695d398bba.png B．29a700e3704b5b63e27d54a47d8cbbbf.png C．5906d042bf06fdacf4d63f36c57ec7f9.png D．04580f1894544184e26f6f88f4fd5fd7.png

例2：用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x元，则根据题意可列方程为________．

例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

例4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？

例5：随着IT技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出72万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500元，因此实际支出了64万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)

例6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1名教师收行业统一规定的全票，其余的人按0d640498fb206f2d67e1829ba976d945.png折收费，乙公司则是：所有人全部按8折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜66916ed83e06091b0dce772478a550c9.png，那么参加活动的学生人数是多少人？

例7：北京奥运“祥云”火炬2008年5月7日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、

进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，

商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销

售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意

中，商厦共赢利多少元？

顺水逆水问题：

例1：A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9

小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）

A、68eb8579f6917007e8b9e6578ac29b41.png B、2eee7c7664d0c71e3f10bc7152377f42.png C、1d9d38d883afb68ec3a3f502ca0796fc.png D、2f98fbb037d5d4552e8cb7d729534a1e.png

例2：一只船顺流航行90km与逆流航行60km所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为xkm/h，则可列方程（ ）

A、word/media/image426_1.png= B、word/media/image428_1.png=word/media/image429_1.png C、word/media/image430_1.png+3=word/media/image431_1.png D、word/media/image431_1.png+3=word/media/image430_1.png

例3：轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。

行程问题：

例1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这

段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）

A、201ed7244a30fb62369a05cc39953e3c.png千米 B、3bc8d1ae355fa822db8a31deb8fd99eb.png千米 C、e93beb0538812d6c2d9591f16d5e7436.png千米 D、无法确定

例2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png小时相遇；若同向而行，则92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（　　）

Ａ．34e20eef6360c3991ef3780e1f1b45c1.png倍 Ｂ．974bcbffb0fb4c9c57fe8ecbe16a91fc.png倍 Ｃ．22b109b21ec36c4d173872814400c4e5.png倍 Ｄ．7ba331d3a58770a7cbb9bc0a183dae19.png倍

例3：八年级A、B两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后，B班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？

例4：A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。

例5：甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。

数字问题：

例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png,求这个分数.

例2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。

例3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。

例4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8以后去除这个两位数时，

3、你是否购买过DIY手工艺制品？所得到的商是2，求这个两位数。

（二）DIY手工艺品的“热卖化”

大学生个性化消费增多是一种趋势。当前社会、经济飞速发展，各种新的消费品不断增多，流行文化时尚飞速变化，处于校园与社会两者之间的大学生肯定会受影响。目前在大学校园，电脑、手机、CD、MP3、录音笔被称为大学生的“五件武器”。除了实用，这也是一种 表明自己生活优越的炫耀性的东西。现下很大一部分大学生中的“负债消费”表现的典型的超前享乐和及时行乐——其消费项目多半是用于奢侈浪费的非必要生活消耗。如举办生日宴会、打网球、保龄球、上舞厅跳舞、进夜总会唱“卡拉ＯＫ”等。“负债消费”使很多学生耽于物欲，发展严重者轻则引起经济纠纷，动武斗殴，影响同窗友谊，重则引发犯罪事件，于社会治安不利。

10、如果学校开设一家DIY手工艺制品店，你希望＿＿＿＿＿16、公式变形问题：

例1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U像距为V，凸透镜的焦距为F，且满足13a2833455243287ff7845865fe80225.png，则用U、V表示F应是（ ）

调研提纲：（A）16b410e351241041c569a05db3c647d3.png （B）04adc97e14ec56a4b697e79965472310.png （C）48208140d3540c5164e8ec3f88a1f8d4.png （D）8dd308a93734f2ca6645f49f2238002a.png

300元以下 9 18%例2：已知公式word/media/image447_1.png（），则表示word/media/image449_1.png的公式是（ ）

2003年，全年商品消费价格总水平比上年上升1%。消费品市场销售平稳增长。全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元，比上年增长9.1%。A．word/media/image450_1.png B． C．word/media/image452_1.png D．

2003年，上海市人均GDP按户籍人口计算就达到46700元，是1995年的2.5倍；居民家庭人均月可支配收入为14867元，是1995年的2.1倍。收入不断增加的同时，居民的消费支出也在增加。2003年上海居民人均消费支出为11040元，其中服务性消费支出为3369元，是1995年的3.6倍。例3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：

（四）DIY手工艺品的“个性化”72ddedfa3e821890bcadff40ff099624.png＋e177015768c86638551f9304a68a305f.png＝732d0694fd83ae77fc2b6c65828b6987.png. 若f＝6厘米，v＝8厘米，则物距u＝ 厘米.

例4：已知梯形面积a7798cf7723bf13fa09b59816670b82b.pngS、a、b、h都大于零，下列变形错误是（ ）

A．12d0e056c38c1820b9ecc34b7b5a62b9.png B. 64488cc16f6ec730f06e6e87c5616992.png C.f351a3003414cf93a405a7251b6471d7.png D.4c8d11e846cf8d5b179d9aafc6200159.png

（六）DIY手工艺品的“创作交流性”例5：已知435ea70c4d1881fb7a7afdefca904870.png,则M与N的关系为( )

A.M>N B.M=N C.M<N D.不能确定.

最新初中数学分式章节知识点及典型例题解析[1]