2017年湖北省鄂州市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列实数是无理数的是（　　）

A． B． C．0 D．﹣1.010101

2．（3分）鄂州市凤凰大桥，坐落于鄂州鄂城区洋澜湖上，是洋澜湖上在建的第5座桥，大桥长1100m，宽27m，鄂州有关部门公布了该桥新的设计方案，并计划投资人民币2.3亿元，2015年开工，预计2017年完工．请将2.3亿元用科学记数法表示为（　　）

A．2.3×108 B．0.23×109 C．23×107 D．2.3×109

3．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．5x﹣3x=2 B．（x﹣1）2=x2﹣1 C．（﹣2x2）3=﹣6x6 D．x6÷x2=x4

4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）对于不等式组，下列说法正确的是（　　）

A．此不等式组的正整数解为1，2，3

B．此不等式组的解集为﹣1＜x≤

C．此不等式组有5个整数解

D．此不等式组无解

6．（3分）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

7．（3分）已知二次函数y=（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，图中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min到家，再过5min小东到达学校，小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：

①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米；

②小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min；

③小东打完电话后，经过27min到达学校；

④小东家离学校的距离为2900m．

其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．（3分）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：

①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0

其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．（3分）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）分解因式：ab2﹣9a=　 　．

12．（3分）若y=+﹣6，则xy=　 　．

13．（3分）一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为　 　．

14．（3分）已知圆锥的高为6，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为　 　．

15．（3分）如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2，点D为AC与反比例函数y=的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为　 　．

16．（3分）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是　 　．

三、解答题（17-20题每题8分，21-22题每题9分，23题10分，24题12分，共72分）

17．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．

18．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．

（1）求证：△AFE≌△CDF；

（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．

19．（8分）某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：

根据以上信息解答下列问题：

（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为　 　；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有　 　人，补全条形统计图．

（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？

（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．

20．（8分）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．

21．（9分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．

（1）求树DE的高度；

（2）求食堂MN的高度．

22．（9分）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E．

（1）求证：=；

（2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，求BE的长；

（3）若MA=6，sin∠AMF=，求AB的长．

23．（10分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．

（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

24．（12分）已知，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；

（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=S△ACD，求点P的坐标；

（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

2017年湖北省鄂州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）（2017•鄂州）下列实数是无理数的是（　　）

A． B． C．0 D．﹣1.010101

【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．

【解答】解：，0，﹣1.0101是有理数，

是无理数，

故选：B．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．

2．（3分）（2017•鄂州）鄂州市凤凰大桥，坐落于鄂州鄂城区洋澜湖上，是洋澜湖上在建的第5座桥，大桥长1100m，宽27m，鄂州有关部门公布了该桥新的设计方案，并计划投资人民币2.3亿元，2015年开工，预计2017年完工．请将2.3亿元用科学记数法表示为（　　）

A．2.3×108 B．0.23×109 C．23×107 D．2.3×109

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将2.3亿用科学记数法表示为：2.3×108．

故选A．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2017•鄂州）下列运算正确的是（　　）

A．5x﹣3x=2 B．（x﹣1）2=x2﹣1 C．（﹣2x2）3=﹣6x6 D．x6÷x2=x4

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式=2x，不符合题意；

B、原式=x2﹣2x+1，不符合题意；

C、原式=﹣8x6，不符合题意；

D、原式=x4，符合题意，

故选D

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（3分）（2017•鄂州）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面，左面看得到的图形即可．

【解答】解：该几何体的左视图是：

．

故选：D．

【点评】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从物体的正面，左面看得到的图形；看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数．

5．（3分）（2017•鄂州）对于不等式组，下列说法正确的是（　　）

A．此不等式组的正整数解为1，2，3

B．此不等式组的解集为﹣1＜x≤

C．此不等式组有5个整数解

D．此不等式组无解

【分析】确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．

【解答】解：，

解①得x≤，

解②得x＞﹣1，

所以不等式组的解集为﹣1＜x≤，

所以不等式组的整数解为1，2，3

故选A．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．

6．（3分）（2017•鄂州）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】先根据EC=EA．∠CAE=30°得出∠C=30°，再由三角形外角的性质得出∠AED的度数，利用平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：∵EC=EA．∠CAE=30°，

∴∠C=30°，

∴∠AED=30°+30°=60°．

∵AB∥CD，

∴∠BAF=∠AED=60°．

故选D．

【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．

7．（3分）（2017•鄂州）已知二次函数y=（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【分析】观察二次函数图象可得出m＞0、n＜0，再根据一次函数图象与系数的关系结合反比例函数的图象即可得出结论．

【解答】解：观察二次函数图象可知：m＞0，n＜0，

∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出m＞0、n＜0是解题的关键．

8．（3分）（2017•鄂州）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，图中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min到家，再过5min小东到达学校，小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：

①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米；

②小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min；

③小东打完电话后，经过27min到达学校；

④小东家离学校的距离为2900m．

其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】①由当t=0时y=1400，可得出打电话时，小东和妈妈的距离为1400米，结论①正确；②利用速度=路程÷时间结合小东的速度，可求出小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min，结论②正确；③由t的最大值为27，可得出小东打完电话后，经过27min到达学校，结论③正确；④根据路程=2400+小东步行的速度×（27﹣22），即可得出小东家离学校的距离为2900m，结论④正确．综上即可得出结论．

【解答】解：①当t=0时，y=1400，

∴打电话时，小东和妈妈的距离为1400米，结论①正确；

②2400÷（22﹣6）﹣100=50（m/min），

∴小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min，结论②正确；

③∵t的最大值为27，

∴小东打完电话后，经过27min到达学校，结论③正确；

④2400+（27﹣22）×100=2900（m），

∴小东家离学校的距离为2900m，结论④正确．

综上所述，正确的结论有：①②③④．

故选D．

【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图形，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．

9．（3分）（2017•鄂州）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：

①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0

其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．

【解答】解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，

∴＜0，故④错误；

∵OB=OC，

∴OB=﹣c，

∴点B坐标为（﹣c，0），

∴ac2﹣bc+c=0，

∴ac﹣b+1=0，

∴ac=b﹣1，故③正确；

∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点，

∴2c=，

∴2=，

∴a=，故②正确；

∵ac﹣b+1=0，

∴b=ac+1，a=，

∴b=c+1

∴2b﹣c=2，故①正确；

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

10．（3分）（2017•鄂州）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（　　）

A． B． C． D．

【分析】如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．由△BCF≌△GDF，推出BC=DG，BF=FG，由△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，推出BC=BH，AD=AB，由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，可得（x+4）2=42+（4﹣x）2，推出x=1，推出BC=BH=TD=1，AB=5，设AK=EK=y，DE=z，根据AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，可得42+z2=y2①，（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②，由此求出y即可解决问题．

【解答】解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．

∵BC∥AG，

∴∠BCF=∠FDG，

∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，

∴△BCF≌△GDF，

∴BC=DG，BF=FG，

∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，

∴AB=AG，∵BF=FG，

∴BF⊥BG，∠ABF=∠G=∠CBF，

∵FH⊥BA，FC⊥BC，

∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，

∴BC=BH，AD=AB，

由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，

在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，

∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，

∴x=1，

∴BC=BH=TD=1，AB=5，

设AK=EK=y，DE=z，

∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，

∴42+z2=y2①，

（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②

由①②可得y=，

∴S△ABE=×5×=，

故选D．

【点评】本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）（2017•鄂州）分解因式：ab2﹣9a=　a（b+3）（b﹣3）　．

【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．

【解答】解：原式=a（b2﹣9）

=a（b+3）（b﹣3），

故答案为：a（b+3）（b﹣3）．

【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．

12．（3分）（2017•鄂州）若y=+﹣6，则xy=　﹣3　．

【分析】根据分式有意义的条件即可求出x与y的值．

【解答】解：由题意可知：，

解得：x=，

∴y=0+0﹣6=﹣6，

∴xy=﹣3，

故答案为：﹣3

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

13．（3分）（2017•鄂州）一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为　2　．

【分析】因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为3．另一个未知数利用平均数定义求得，从而根据中位数的定义求解．

【解答】解：因为众数为3，可设a=3，b=3，c未知，

平均数=（1+3+2+2+3+3+c）=2，

解得c=0，

将这组数据按从小到大的顺序排列：0、1、2、2、3、3、3，

位于最中间的一个数是2，所以中位数是2，

故答案为：2．

【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

14．（3分）（2017•鄂州）已知圆锥的高为6，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为　8π　．

【分析】根据题意可以去的圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图是一个扇形，由扇形的面积公式S=lr即可解答本题．

【解答】解：圆锥的主视图如右图所示，

直径BC=8，AD=6，

∴AC==2，

∴圆锥的侧面积是：=8π，

故答案为：8π．

【点评】本题考查圆锥的计算，解答本题的关键是明确题意，知道圆锥的侧面展开图是扇形和扇形的面积计算公式．

15．（3分）（2017•鄂州）如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2，点D为AC与反比例函数y=的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为　﹣4或﹣8　．

【分析】过C作CE⊥AB于E，根据∠ABC=60°，AB=4，BC=2，可求得△ABC的面积，再根据点D将线段AC分成1：2的两部分，分两种情况进行讨论，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到k的值．

【解答】解：如图所示，过C作CE⊥AB于E，

∵∠ABC=60°，BC=2，

∴Rt△CBE中，CE=3，

又∵AC=4，

∴△ABC的面积=AB×CE=×4×3=6，

连接BD，OD，

∵直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，

∴点D将线段AC分成1：2的两部分，

当AD：CD=1：2时，△ABD的面积=×△ABC的面积=2，

∵AC∥OB，

∴△DOA的面积=△ABD的面积=2，

∴|k|=2，即k=±4，

又∵k＜0，

∴k=﹣4；

当AD：CD=2：1时，△ABD的面积=×△ABC的面积=4，

∵AC∥OB，

∴△DOA的面积=△ABD的面积=4，

∴|k|=4，即k=±8，

又∵k＜0，

∴k=﹣8，

故答案为：﹣4或﹣8．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，以及反比例函数系数k的几何意义的运用．过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．解题时注意分类思想的运用．

16．（3分）（2017•鄂州）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是　2≤m≤8　．

【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围．

【解答】解：设平移后的解析式为y=y=（x+1）2﹣m，

将B点坐标代入，得

4﹣m=2，解得m=2，

将D点坐标代入，得

9﹣m=1，解得m=8，

y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，

故答案为：2≤m≤8．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了矩形性质和二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，把B，D的坐标代入是解题关键．

三、解答题（17-20题每题8分，21-22题每题9分，23题10分，24题12分，共72分）

17．（8分）（2017•鄂州）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再求出不等式组的整数解，由分式有意义得出符合条件的x的值，代入求解可得．

【解答】解：原式=（+）÷

=•

=•

=，

解不等式组得：﹣1≤x＜，

∴不等式组的整数解有﹣1、0、1、2，

∵不等式有意义时x≠±1、0，

∴x=2，

则原式=0．

【点评】本题主要考查分式的化简求值及解一元一次不等式组的能力，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及解不等式组的能力、分式有意义的条件是解题的关键．

18．（8分）（2017•鄂州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．

（1）求证：△AFE≌△CDF；

（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠B=∠D=90°，

∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，

∴∠E=∠B，AB=AE，

∴AE=CD，∠E=∠D，

在△AEF与△CDF中，，

∴△AEF≌△CDF；

（2）∵AB=4，BC=8，

∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，

∵△AEF≌△CDF，

∴AF=CF，EF=DF，

∴DF2+CD2=CF2，

即DF2+42=（8﹣DF）2，

∴DF=3，

∴EF=3，

∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10．

【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

19．（8分）（2017•鄂州）某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：

根据以上信息解答下列问题：

（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为　144°　；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有　1　人，补全条形统计图．

（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？

（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．

【分析】（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算得到“经常参加”所对应的圆心角的度数；先求出“经常参加”的人数，然后减去其它各组人数得出喜欢足球的人数；进而补全条形图；

（2）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解；

（3）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”所占结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）=360°×40%=144°；

“经常参加”的人数为：40×40%=16人，

喜欢足的学生人数为：16﹣6﹣4﹣3﹣2=1人；

补全统计图如图所示：

故答案为：144°，1；

（2）全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数约为：1200×=180人；

（3）设A代表“乒乓球”、B代表“篮球”、C代表“足球”、D代表“羽毛球”，画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占2种，

所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是=．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．

20．（8分）（2017•鄂州）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；

（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．

【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，

解得：k＞；

（2）存在，

∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，

∴将|x1|﹣|x2|=两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，

代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，

解得：4k﹣11=5，

解得：k=4．

【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．

21．（9分）（2017•鄂州）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．

（1）求树DE的高度；

（2）求食堂MN的高度．

【分析】（1）设DE=x，可得EF=DE﹣DF=x﹣2，从而得AF==（x﹣2），再求出CD==x、BC==2，根据AF=BD可得关于x的方程，解之可得；

（2）延长NM交DB延长线于点P，知AM=BP=3，由（1）得CD=x=2、BC=2，根据NP=PD且AB=MP可得答案．

【解答】解：（1）如图，设DE=x，

∵AB=DF=2，

∴EF=DE﹣DF=x﹣2，

∵∠EAF=30°，

∴AF===（x﹣2），

又∵CD===x，BC===2，

∴BD=BC+CD=2+x

由AF=BD可得（x﹣2）=2+x，

解得：x=6，

∴树DE的高度为6米；

（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=3，

由（1）知CD=x=×6=2，BC=2，

∴PD=BP+BC+CD=3+2+2=3+4，

∵∠NDP=45°，且MP=AB=2，

∴NP=PD=3+4，

∴NM=NP﹣MP=3+4﹣2=1+4，

∴食堂MN的高度为1+4米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．

22．（9分）（2017•鄂州）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E．

（1）求证：=；

（2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，求BE的长；

（3）若MA=6，sin∠AMF=，求AB的长．

【分析】（1）连接OA、OE交BC于T．想办法证明OE⊥BC即可；

（2）由ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，可得ED•EA=5，由△BED∽△AEB，可得=，推出BE2=DE•EA=5，即可解决问题；

（3）作AH⊥OM于H．求出AH、BH即可解决问题；

【解答】（1）证明：连接OA、OE交BC于T．

∵AM是切线，

∴∠OAM=90°，

∴∠PAD+∠OAE=90°，

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠EDT+∠OEA=90°，

∴∠DTE=90°，

∴OE⊥BC，

∴=．

（2）∵ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，

∴ED•EA=5，

∵=，

∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，

∴△BED∽△AEB，

∴=，

∴BE2=DE•EA=5，

∴BE=．

（3）作AH⊥OM于H．

在Rt△AMO中，∵AM=6，sin∠M==，设OA=m，OM=3m，

∴9m2﹣m2=72，

∴m=3，

∴OA=3，OM=9，

易知∠OAH=∠M，

∴tan∠OAD==，

∴OH=1，AH=2．BH=2，

∴AB===2．

【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

23．（10分）（2017•鄂州）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．

（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

（2）根据题意结合每周获得的利润W=销量×每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案；

（3）根据题意，由利润不低于5200元列出不等式，进一步得到销售量的取值范围，从而求出答案．

【解答】解：（1）依题意有：y=10x+160；

（2）依题意有：

W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，

因为x为偶数，

所以当销售单价定为80﹣6=74元或80﹣8=72时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；

（3）依题意有：

﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，

解得4≤x≤10，

则200≤y≤260，

200×50=10000（元）．

答：他至少要准备10000元进货成本．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量×每个的利润=W得出函数关系式是解题关键．

24．（12分）（2017•鄂州）已知，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；

（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=S△ACD，求点P的坐标；

（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

【分析】（1）由对称轴求出B的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点D的坐标；

（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．得出AD为△ACD外接圆的直径，再证明△AED为直角三角形，∠ADE=90°．得出AD⊥DE，即可得出结论；

（3）求出直线AC的解析式，再求出线段AD的中点N的坐标，过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，求出直线NP的解析式，与抛物线联立，即可得出答案；

（4）由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，点A（3，0），

∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（﹣1，0），OA=3，

将A（3，0），B（﹣1，0）代入抛物线解析式中得：，

解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=1时，y=4，

∴顶点D（1，4）．

（2）当=0时，

∴点C的坐标为（0，3），

∴AC==3，CD==，AD==2，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．

∴AD为△ACD外接圆的直径，

∵点E在 轴C点的上方，且CE=．

∴E（0，）

∴AE==DE==，

∴DE2+AD2=AE2，

∴△AED为直角三角形，∠ADE=90°．

∴AD⊥DE，

又∵AD为△ACD外接圆的直径，

∴DE是△ACD外接圆的切线；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，

根据题意得：，

解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，

∵A（3，0），D（1，4），

∴线段AD的中点N的坐标为（2，2），

过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，

设直线NP的解析式为y=﹣x+c，

则﹣2+c=2，解得：c=4，

∴直线NP的解析式为y=﹣x+4，

由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，

解得：x=或x=，

∴y=，或y=

∴P（，）或（，）；

（4）分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；

②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；

③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，﹣）；

综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．

【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、相似三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．

2017年湖北省鄂州市中考数学试卷（后附答案解析）