北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高一数学 2016.1

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

A卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 如果，且，则是（ ）

（A）第一象限的角 （B）第二象限的角 （C）第三象限的角 （D）第四象限的角

2. 化简等于（ ）

（A） （B） （C） （D）

3. 若向量 共线，则实数的值是（ ）

（A） （B） （C） （D）

4. 函数的一个单调递增区间是（ ）

（A） （B） （C） （D）

5. 是（ ）

（A）最小正周期为的偶函数 （B）最小正周期为的奇函数

（C）最小正周期为的偶函数 （D）最小正周期为的奇函数

6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）

（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度

（C）向左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度

7. 若直线是函数图象的一条对称轴，则的值可以是（ ）

（A） （B） （C） （D）

8. 已知非零向量,夹角为 ,且,. 则等于（ ）

（A） （B） （C） （D）

9. 函数的图象与直线的交点个数为（ ）

（A）3 （B）4 （C）7 （D）8

10. 关于函数，给出下列三个结论：

①函数的最小值是；

②函数的最大值是；

③函数在区间上单调递增.其中全部正确结论的序号是（ ）

（A）② （B）②③ （C）①③ （D）①②③

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

11. _____.

12. 如图所示，为中边的中点，设，，

则_____.（用，表示）

13. 角终边上一点的坐标为，则_____.

14. 设向量，则的夹角等于_____.

15. 已知，且，则_____.

16. 已知函数（其中）图象过点，且在区间上单调递增，

则的值为_______.

三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18．（本小题满分12分）

如图所示，两点是函数（）图象上相邻的两个最高点，点为函数图象与轴的一个交点.

（Ⅰ）若，求在区间上的值域；

（Ⅱ）若，求的值．

19．（本小题满分12分）

如图，在中，，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值.

B卷 [学期综合] 本卷满分：50分

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上.

1．设，，，则_____．

2．_____，_____．

3．已知函数 且，则实数 _____．

4．已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_____．

5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度(单位：升/小时)与液体所处环境的温度(单位：℃)近似地满足函数关系（为自然对数的底数，为常数). 若该液体在℃的蒸发速度是升/小时，在℃的蒸发速度为升/小时，则该液体在℃的蒸发速度为_____升/小时．

二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

6．（本小题满分10分）

已知函数.

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅱ）求满足不等式的实数的取值范围．

7．（本小题满分10分）

设为实数，函数．

（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；

（Ⅱ）设函数，为在区间上的最大值，求的最小值.

8．（本小题满分10分）

设函数定义域为，若在上单调递增，在上单调递减，则称为函数的峰点，为含峰函数．（特别地，若在上单调递增或递减，则峰点为或）

对于不易直接求出峰点的含峰函数，可通过做试验的方法给出的近似值. 试验原理为：“对任意的，，，若，则为含峰区间，此时称为近似峰点；若，则为含峰区间，此时称为近似峰点”．

我们把近似峰点与之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为，其值为（其中表示中较大的数）．

（Ⅰ）若，．求此试验的预计误差．

（Ⅱ）如何选取、，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明的取值即可）．

（Ⅲ）选取，，，可以确定含峰区间为或. 在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可以进一步得到一个新的预计误差．分别求出当和时预计误差的最小值．（本问只写结果，不必证明）

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准 2016.1

A卷 [必修 模块4] 满分100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.C； 2.B； 3.B； 4.C； 5.D； 6.D； 7.A； 8.A； 9.C； 10.D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11. ； 12. ； 13. ；

14. ； 15. ； 16. .

三、解答题：本大题共3小题，共36分.

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为，且，

所以. ………………3分

所以. ………………5分

所以. ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ………………9分

. ………………11分

所以. ………………12分

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意，

因为，所以.所以. ………………3分

所以. ………………6分

所以，

函数的值域为. ………………8分

（Ⅱ）由已知，，, ………………11分

所以，.

因为，所以，，解得.

又，所以. ………………12分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ） ………………2分

. ………………4分

（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则，. ………………5分

设，， ………………6分

由，

得.

所以.

所以，， ………………8分

………………10分

. ………………11分

因为，.

所以，当，即时，的最大值为. ………………12分

B卷 [学期综合] 满分50分

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. .

注：2题每空2分.

二、解答题：本大题共3小题，共30分.

6.（本小题满分10分）

解:（Ⅰ）因为，所以 . ………………4分

所以为奇函数. ………………6分

（Ⅱ）由不等式，得. ………………8分

整理得， ………………9分

所以，即. ………………10分

7.（本小题满分10分）

解: （Ⅰ）当时，. 二次函数图象的对称轴为，开口向上.

所以在区间上，当时，的最小值为. ………………1分

当或时，的最大值为. ………………2分

所以在区间上的值域为. ………………3分

（Ⅱ）注意到的零点是和，且抛物线开口向上.

当时，在区间上，

的最大值. ………………4分

当时，需比较与的大小，

，

所以，当时，；

当时，.

所以，当时，的最大值. ………5分

当时，的最大值. ………………6分

当时，的最大值. ………………7分

当时，的最大值. ………………8分

所以，的最大值 ………………9分

所以，当时，的最小值为. ………………10分

8.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由已知，.

所以

. ………………4分

（Ⅱ）取，，此时试验的预计误差为. ………………5分

以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计.

证明：分两种情形讨论点的位置.

1 当时，如图所示，

如果 ，那么 ；

如果 ，那么 . ………………7分

2 当，.

综上，当时，. ………………8分

(同理可得当时，)

即，时，试验的预计误差最小.

（Ⅲ）当和时预计误差的最小值分别为和. ………………10分

注：用通俗语言叙述证明过程也给分.

21北京市西城区2015—2016学年度第一学期高一数学期末考试试卷2016-1-15