2016-2017学年江西省景德镇一中高二(下)期末数学试卷(理科)-

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2016-2017学年江西省景德镇一中高二（下）期末数学试卷（理科）


一、选择题 1．（5分）A．60 B．﹣60 的展开式中常数项为（ ） C．80 D．﹣80
2．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．工厂生产轮胎抽样调查中，若直径D落在[μ﹣2ς，μ+2ς]外部，则认为生产可能异常
B．在回归分析中，r越大，变量之间线性相关程度越高 C．在正态分布中，ς越大，相应的分布密度曲线越高瘦
D．在线性回归分析中，利用最小二乘法求得的回归直线满足br＞0
3．（5分）位于直角坐标原点的质点P按一下规则移动：①每次移动一个单位②向左移动的概率为，向右移动的概率为．移动5次后落在点（﹣1，0）的概率为（ ） A．C（）3（）2 B．C（）2（）3 C．C（）3（）2 D．C（）2（）3
4．（5分）将5名择校生分配给3个班级，每个班级至少接纳一名学生，则不同的分配方案有（ ） A．150 B．240 C．120 D．36
5．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．极坐标系中方程ρ2﹣4ρcosθ=0和ρ﹣4cosθ=0表示的是同一曲线 B．
C．不等式|a+b|≥|a|﹣|b|等号成立的条件为ab≤0 D．在极坐标系中方程表示的圆和一条直线．
为6．（5分）已知实数m，n∈{1，2，3，4}，若m≠n，则函数


幂函数且为偶函数的概率为（ ） A． B． C． D． 7．（5分）若不等式A．[{，2]
B．[，，]

有解，则实数a的取值范围为（ ）
C．（0，]∪[2，+∞） D．8．（5分）某球星在三分球大赛中命中率为，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣一分，则该球星得分的期望与方差分别为（ ） A．16，32 B．8，32 C．8，8 D．32，32
9．（5分）假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：
X\Y x1 x2 总计
y1 a 30﹣a 30
y2 40 30 70
总计 a+40 60﹣a 100
在犯错误的概率不超过百分之5的前提下，下面哪个选项无法认为变量X，Y有关联（ ） A．a=10 B．a=12 C．a=8 D．a=9
10．（5分）现有金牌5枚，银牌3枚，铜牌2枚，从中任取2枚奖牌，试求在所取得的奖牌中发现有一枚是金牌，另一枚也是金牌的概率为（ ） A． B． C． D．
11．（5分）在正四面体P﹣ABC体积为V，现内部取一点S，则概率为（ ） A． B． C． D．
的12．（5分）已知x∈[﹣1，0]，θ∈[0，2π），二元函数最小值时，x=x0，θ=θ0则（ ） A．4x0+θ0=0 B．4x0+θ0＜0 C．4x0+θ0＞0


取D．以上均有可能．


二、填空题
13．（5分）从4名男同学和3名女同学组成的团队中选出3人，男女都有的情况有 种．
14．（5分）已知随机变量X～N（10，22），定义函数Φ（k）=P（X≤k），则Φ（12）﹣Φ（6）= ．
15．（5分）已知m，n∈N+，在（1+x）m（1+y+2z）n的展开式中，若x3y3的系数不小90，则m+n的最小值为 ．
16．（5分）如图所示在6×6的方格中，有A，B两个格子，则从该方格表中随机抽取一个矩形，该矩形包含格子A但不包含格子B的概率为 ．



三、解答题
17．（10分）电商中“猫狗大战”在节日期间的竞争异常激烈，在刚过去的618全民年中购物节中，某东当日交易额达1195亿元，现从该电商“剁手党”中随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成了6组，得到如下所示的频率直方图． （1）求顾客年龄的众数，中位数，平均数（每一组数据用中点做代表）； （2）用样本数据的频率估计总体分布中的概率，则从全部顾客中任取3人，记随机变量X为顾客中年龄小于25岁的人数，求随机变量X的分布列以及数学期望．




18．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程：直线l过点P，且倾斜角为．
，点P极坐标为，（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l参数方程； （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求19．（12分）已知函数f（x）=|x+a|．
（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）+f（x﹣3）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）﹣f（x+2）+4≥|1﹣3m|恒成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程：数方程为．
，直线l的参．
（1）若直线l与曲线C只有一个公共点，求实数a； （2）若点P，Q分别为直线l与曲线C上的动点，若，求实数a．
21．（12分）已知实数x1，x2，x3，x4，x5满足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5 （1）求证不等式x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1 （2）随机变量X取值，随机变量Y取值也均为，比较DX与DY大小关系．
22．（12分）近来景德镇市棚户区改造进行的如火如荼，加上城市人居环境的不断改善，我市房地产住宅销售价格节节攀升，一部分刚需住户带来了不小的烦恼，
的概率均为的概率

下表为我市2017.1﹣2017.5这5月住宅价格与月份的关系． 月份x 住宅价格y 千元/平米
（1）通过计算线性相关系数判断住宅价y千元/平米与月份x的线性相关程度（精确到0.01）
（2）用最小二乘法得到的线性回归直线去近似拟合x，y的关系．
①求y关于x的回归方程；②试估计按照这个趋势下去，将在不久的哪个年月份，房价将突破万元/平米的大关．

1 4.8
2 5.4
3 6.2
4 6.6
5 7




2016-2017学年江西省景德镇一中高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析


一、选择题 1．（5分）A．60 B．﹣60 【解答】解：∵∴令12﹣3r=0，解得r=4， ∴故选：A．

2．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．工厂生产轮胎抽样调查中，若直径D落在[μ﹣2ς，μ+2ς]外部，则认为生产可能异常
B．在回归分析中，r越大，变量之间线性相关程度越高 C．在正态分布中，ς越大，相应的分布密度曲线越高瘦
D．在线性回归分析中，利用最小二乘法求得的回归直线满足br＞0 【解答】解：对于A，根据3ς原则，工厂生产轮胎抽样调查中， 若直径D落在[μ﹣3ς，μ+3ς]外部，则认为生产可能异常，故A错；
对于B，在回归分析中，r的绝对值越接近1，变量之间线性相关程度越高，故B错；
对于C，设X～N（μ，ς2），当ς逐渐变大时，其正态分布曲线越来越“矮胖”，故C错；
对于D，当变量x，y的线性相关系数r＞0时，两个变量有正相关关系，则线性的展开式中常数项为：=60．
的展开式中常数项为（ ） C．80 D．﹣80
，
=26﹣r（﹣1）rx12﹣3r，



回归方程中的斜率b＞0，
若r＜0时，两个变量有负相关关系，则线性回归方程中的斜率b＜0，即有br＞0，故D正确． 故选：D．

3．（5分）位于直角坐标原点的质点P按一下规则移动：①每次移动一个单位②向左移动的概率为，向右移动的概率为．移动5次后落在点（﹣1，0）的概率为（ ） A．C（）3（）2 B．C（）2（）3 C．C（）3（）2 D．C（）2（）3
【解答】解：根据题意，质点P移动五次后位于点（﹣1，0），其中向左移动3次，向右移动2次； 其中向左平移的3次有则其概率为故选：A．

4．（5分）将5名择校生分配给3个班级，每个班级至少接纳一名学生，则不同的分配方案有（ ） A．150 B．240 C．120 D．36
【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5名择校生分成3组， 若分为1、1、3的三组，有=10种分组方法，
×（种情况，剩下的2次向右平移； ×，
若分为1、2、2的三组，有=15中分组方法，
则有10+15=25种不同的分组方法；
②、将分好的3组全排列，对应3个班级，有A33=6种情况， 则有25×6=150种不同的分配方案，



故选：A．

5．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．极坐标系中方程ρ2﹣4ρcosθ=0和ρ﹣4cosθ=0表示的是同一曲线 B．
C．不等式|a+b|≥|a|﹣|b|等号成立的条件为ab≤0 D．在极坐标系中方程表示的圆和一条直线．
【解答】解：对于A，极坐标系中方程ρ2﹣4ρcosθ=0即为ρ=0或ρ=4cosθ，由于ρ=4cosθ表示圆心在极轴上，且过极点的圆，故A正确； 对于B，若a＞b，可得|a﹣b|+时，不成立，故B错；
对于C，不等式|a+b|≥|a|﹣|b|等号成立的条件为ab≤0，且|a|≥|b|，故C错；
对于D，在极坐标系中方程故D错． 故选：A．

6．（5分）已知实数m，n∈{1，2，3，4}，若m≠n，则函数幂函数且为偶函数的概率为（ ） A． B． C． D．
【解答】解：实数m，n∈{1，2，3，4}，若m≠n， 可得基本事件的总数为4×3=12； 函数可得|m﹣n|=1，
即有（m，n）为（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）， 其中（1，2），（3，2），（3，4），为f（x）=x2，f（x）=x共3种情况满足要求，

=（a﹣b）+≥2=2，当a＜b表示圆和一条射线，为为幂函数且为偶函数，
，f（x）=x


则函数故选：B．

7．（5分）若不等式A．[{，2]
B．[为幂函数且为偶函数的概率为=．
有解，则实数a的取值范围为（ ）
，，]

C．（0，]∪[2，+∞） D．【解答】解：令f（x）=|2x﹣1|+|x+2|， 问题转化为f（x）min≤a+，
而f（x）=，
故f（x）min=，
即a+≥，即（2a﹣1）（a﹣2）≥0， 解得：a≥2或0＜a≤， 故选：C．

8．（5分）某球星在三分球大赛中命中率为，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣一分，则该球星得分的期望与方差分别为（ ） A．16，32 B．8，32 C．8，8 D．32，32
【解答】解：根据题意，随机变量X～B（8，）， 且P（X=k）=••=•=•，其中k=0，1，2，…，8；
∴EX=8×=4，DX=8××（1﹣）=2；
球星得分为随机变量Y，则Y的可能取值为﹣8，﹣4，0，4，8，12，16，20，24；



且P（Y=﹣8）=P（X=0）=P（Y=﹣4）=P（X=1）=P（Y=0）=P（X=2）=P（Y=4）=P（X=3）=P（Y=8）=P（X=4）=P（Y=12）=P（X=5）=P（Y=16）=P（X=6）=P（Y=20）=P（X=7）=P（Y=24）=P（X=8）=， ， ， ， ， ， ， ；
，
∴随机变量X、Y的关系为：Y=4X﹣8， ∴EY=E（4X﹣8）=4EX﹣8=4×4﹣8=8； DY=D（4X﹣8）=16DX=16×2=32． 故选：B．

9．（5分）假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：
X\Y x1 x2 总计
y1 a 30﹣a 30
y2 40 30 70
总计 a+40 60﹣a 100
在犯错误的概率不超过百分之5的前提下，下面哪个选项无法认为变量X，Y有关联（ ） A．a=10 B．a=12 C．a=8 D．a=9
【解答】解：根据列联表知，a与30﹣a的差距越小，则越无法认为变量X、Y有关联，
分析四个选项，B中a=12时，a与30﹣a的差距最小，其他选项不满足条件． 故选：B．




10．（5分）现有金牌5枚，银牌3枚，铜牌2枚，从中任取2枚奖牌，试求在所取得的奖牌中发现有一枚是金牌，另一枚也是金牌的概率为（ ） A． B． C． D．
【解答】解：设事件A为至少有一枚金牌，事件B为另一块是金牌， 则P（A）==
P（AB）=∴P（B|A）=故选：C．

=，
=．
11．（5分）在正四面体P﹣ABC体积为V，现内部取一点S，则概率为（ ） A． B． C． D．
的【解答】解：作出P在底面△ABC的射影为O， 若VS﹣ABC=VS﹣ABC，则高OS=OP， 分别取PA、PB、PC上的点E、F、D， 并使SE=2EA，SF=2FC，SD=2DB，如图
并连结EF、FD、DE，则平面EFD∥平面ABC． 当点S在正四面体P﹣EFD内部运动时， 即此时S在三棱锥VP﹣ABC的中垂面DEF上，
满足VS﹣ABC＜VP﹣ABC的点P位于在三棱锥VP﹣ABC的中垂面DEF以下的棱台内， 同理，VS﹣ABC＞VP﹣ABC的S在距离ABC为OS的平面以上的棱锥内， 所以满足的棱台体积为（1）﹣（1﹣）=；
由几何概型，满足“故选：A．

”的概率为，





12．（5分）已知x∈[﹣1，0]，θ∈[0，2π），二元函数最小值时，x=x0，θ=θ0则（ ） A．4x0+θ0=0 B．4x0+θ0＜0 C．4x0+θ0＞0 D．以上均有可能．
取【解答】解：令t=1+sinθ﹣x， 可得x=1+sinθ﹣t， 即有二元函数=由2+sinθ+cosθ=2+=sin（θ+
﹣1，
）∈[2﹣，2+]，
可得二元函数为减函数，
当t取得最大值时，函数取得最小值， 即有sinθ=1，即θ=；由x∈[﹣1，0]，
可得x=﹣1，即有t取得最大值3． 则x0=﹣1，θ0=则4x0+θ0=故选：B．

二、填空题
13．（5分）从4名男同学和3名女同学组成的团队中选出3人，男女都有的情况有 30 种．

，
﹣4＜0，


【解答】解：根据题意，按选出3人中女生的数目分2种情况讨论：
①、选出3人中有1名女生，即选出的3人为2男1女，有C42C31=18种选法， ②、选出3人中有2名女生，即选出的3人为1男2女，有C41C32=12种选法， 则选出的3人男女都有的情况有18+12=30种； 故答案为：30．

14．（5分）已知随机变量X～N（10，22），定义函数Φ（k）=P（X≤k），则Φ（12）﹣Φ（6）= 0.8185 ．
【解答】解：∵随机变量X～N（10，22），
∴P（8≤X≤12）=0.6826，P（6≤X≤14）=0.9544， ∴P（6≤X≤8）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359， ∴P（6≤X≤12）=0.1359+0.6826=0.8185． 故答案为：0.8185．

15．（5分）已知m，n∈N+，在（1+x）m（1+y+2z）n的展开式中，若x3y3的系数不小90，则m+n的最小值为 13 ．
mn【解答】解：在（1+x）（1+y+2z）的展开式中，若x3y3的系数不小90，即
•≥90，
∴m≥3，n≥3，∴m+n≥6，当m=3，n=9，•＞90；故m+n的最小值为13， 故答案为：13．

16．（5分）如图所示在6×6的方格中，有A，B两个格子，则从该方格表中随机抽取一个矩形，该矩形包含格子A但不包含格子B的概率为
．
=84＜90；m=3，n=10时，•=120



【解答】解：根据题意，如图假设水平方向的7条边依次为a1、a2、…a7，竖直方向的7条边依次为b1、b2、…b7，
从该方格表中随机抽取一个矩形，需要在a1、a2、…a7中任选2条，在b1、b2、…b7中任选2条，即可组成一个矩形，
则一共可以抽取C72×C72=21×21=441个矩形； 该矩形包含格子A但不包含格子B， 分2种情况讨论：
①、在a1、a2中任选1条，a3、a4、a5中任选1条，在b1、b2中任选1条，b3、b4、…b7中任选1条，有C21C31×C21C51种取法，
②、在b1、b2中任选1条，b3、b4、b5中任选1条，在a1、a2中任选1条，a3、a4、…a7中任选1条，有C21C31×C21C51种取法， 其中重复的有C21C31×C21C31种取法，
则矩形包含格子A但不包含格子B的取法有2（C21C31×C21C51）﹣C21C31×C21C31=84种，
故该矩形包含格子A但不包含格子B的概率P=故答案为：．
=；






三、解答题
17．（10分）电商中“猫狗大战”在节日期间的竞争异常激烈，在刚过去的618全民年中购物节中，某东当日交易额达1195亿元，现从该电商“剁手党”中随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成了6组，得到如下所示的频率直方图． （1）求顾客年龄的众数，中位数，平均数（每一组数据用中点做代表）； （2）用样本数据的频率估计总体分布中的概率，则从全部顾客中任取3人，记随机变量X为顾客中年龄小于25岁的人数，求随机变量X的分布列以及数学期望．

【解答】解：（1）频率分布直方图中，[25，35）对应的小矩形最高， ∴众数为m==30，
由频率分布直方图，得： 0.01×10+0.02×10=0.3＜0.5， 0.3+0.03×10=0.6＞0.5，
∴中位数在区间[25，35）内，设为n， 则（n﹣25）×0.03+0.3=0.5， 解得n≈31.7；
平均数为=0.01×10×10+0.02×10×20+0.03×10×30 +0.025×10×40+0.01×10×50+0.005×10×60=32；
（2）用样本频率估计总体频率，知年龄小于25岁的概率为0.3，且X～B（3，0.3）， ∴P（X=0）=•（1﹣0.3）3=0.343，



P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=•（1﹣0.3）2•0.3=0.441， •（1﹣0.3）•0.32=0.189， •0.33=0.027；
∴X的分布列为：
X P
0 0.343
1 0.441
2 0.189
3 0.027
数学期望为EX=3×0.3=0.9．

18．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程：直线l过点P，且倾斜角为．
，点P极坐标为，（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l参数方程； （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求【解答】解：（1）∵曲线C极坐标方程：∵ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12，即∵点P极坐标为∴点P的直角坐标为（3，=1．
． ．
，∴3ρ2+ρ2sin2θ=12，
，直线l过点P，且倾斜角为），
∴直线l参数方程为（t为参数）．
（2）把直线l参数方程（t为参数）代入曲线C：3x2+4y2=12，
整理，得：，
=4＞0，



设方程的两根为t1，t2，则t1+t2=﹣∴=|，t1t2=，∴t1＜0，t2＜0，
|=||===．


19．（12分）已知函数f（x）=|x+a|．
（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）+f（x﹣3）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）﹣f（x+2）+4≥|1﹣3m|恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2，关于x的不等式f（x）+f（x﹣3）≥5可化为；|x+2|+|x﹣1|≥5． ⇒或或，
⇒x≤﹣3或∅或x≥2
故不等式的解集为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣3]．
（2）关于x的不等式f（x）﹣f（x+2）+4≥|1﹣3m|恒成立⇔|x+a|﹣|x+2+a|+4≥|1﹣3m|恒成立．
因为﹣2≤|x+a|﹣|x+2+a|≤2， ∴﹣2+4≥|1﹣3m|⇒⇒﹣≤m≤1．
∴实数m的取值范围为[﹣，1]

20．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程：数方程为．
，直线l的参（1）若直线l与曲线C只有一个公共点，求实数a； （2）若点P，Q分别为直线l与曲线C上的动点，若，求实数a．



【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程：∴曲线C的普通方程为∵直线l的参数方程为=1， ，
，
∴直线l的普通方程为x+2y﹣a﹣2=0， 联立，得16y2﹣（12a+24）y+3a2+12a=0，
∵直线l与曲线C只有一个公共点，
∴△=[﹣（12a+24）]2﹣4×16×（3a2+12a）=﹣a2﹣4a+12=0， 解得a=2或a=﹣6． （2）设Q（2cosθ，点Q到直线l的距离d=∵点P，Q分别为直线l与曲线C上的动点，∴当sin（）=1时，|PQ|min=|2﹣a|=，
），
=|4sin（，
）﹣a﹣2|，
解得a=1或a=3．

21．（12分）已知实数x1，x2，x3，x4，x5满足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5 （1）求证不等式x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1 （2）随机变量X取值，随机变量Y取值也均为，比较DX与DY大小关系．
【解答】（1）证明：∵0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5， ∴+++＞2x1x2， ＞2x2x3， ＞2x3x4，
的概率均为的概率


++∴2（＞2x4x5， ＞2x5x1，
++++）＞2x1x2+2x2x3+2x3x4+2x4x5+2x5x1，
∴x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1； （2）解：设=（x1+x2+…+x5）． EX=EY=DX=DY=+++…+++=（x1+x2+…+x5）=．
=（x1+x2+…+x5）=． +…++…+，
，
又∵实数x1，x2，x3，x4，x5满足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5， ∴DY=
DX+﹣+…+=×==﹣×[（x1﹣x2）（5x1+7x2）+（x2﹣x3）（5x2+7x3）+…+（x5﹣x1）（5x5+7x1）]
﹣…﹣
×（x1x2+x2x3+…+x5x1﹣+…+＜0，
∴DX＜DY．

22．（12分）近来景德镇市棚户区改造进行的如火如荼，加上城市人居环境的不断改善，我市房地产住宅销售价格节节攀升，一部分刚需住户带来了不小的烦恼，下表为我市2017.1﹣2017.5这5月住宅价格与月份的关系． 月份x 住宅价格y 千元/平米
（1）通过计算线性相关系数判断住宅价y千元/平米与月份x的线性相关程度（精
1 4.8
2 5.4
3 6.2
4 6.6
5 7


确到0.01）
（2）用最小二乘法得到的线性回归直线去近似拟合x，y的关系．
①求y关于x的回归方程；②试估计按照这个趋势下去，将在不久的哪个年月份，房价将突破万元/平米的大关．
【解答】解：（1）根据表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3， =×（4.8+5.4+6.2+6.6+7）=6，
计算r==≈0.99，
由线性相关系数r判断住宅价y千元/平米与月份x的线性相关程度强；
（2）①计算==≈0.56， =﹣=6﹣0.56×3=4.32，
∴y关于x的回归方程为=0.56x+4.32； ②令=0.56x+4.32≥10， 解得x≥10.14，
应取11月粉，即按照这个趋势下去，将在2017年的11月份，房价将突破万元/平米的大关．



2016-2017学年江西省景德镇一中高二(下)期末数学试卷(理科)-

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