《等比数列的前n项和公式》教学设计说明

河南省开封市第二十五中学 姜黎黎

《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。下面， 我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。

教材分析

等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

学情分析

就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？ 应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。

教学目标

在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

重点难点

重点：使学生掌握等比数列的前项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。

情境创设

《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.

我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。当时的国王大为赞赏，就问他想要什么。达依尔说：“请在棋盘的64个方格上，第一格放1颗麦粒，第二格放2颗麦粒，第三格放4颗麦粒，依次类推，每一格放的麦粒数都是前一格的两倍，直到第64格，请您给我足够的麦粒以实现上述要求。”选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.其次,将学生的角色设计成国王的谋士，更加激发了学生的探究热忱，同时也让学生明白数学和生活息息相关，把学以致用的思想渗透到课堂中。最后,通过让学生大胆预测麦粒的重量产生悬念,在公式推导后让学生运用公式解决问题,收尾呼应.在教师的引导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起等比数列的数学模型。数列是以1为首项，2为公比的等比数列。当学生跃跃欲试要求这个数列的前64项和时，课题的引入水到渠成。

公式推导

丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念.《数学课程标准》明确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.

公式推导是这节课的重难点突破的地方，是整节课的核心。我进行了深入的思考,以教学实践与经验为基础,设计的教学方案是通过复习类比等差数列求和方法寻求等比数列求和的突破，重点主要是为什么要在等比数列前n项和这一等式两边同乘以公比q。首先推导等差数列前n项和公式，形式上采用倒序相加法，本质上是根据等差数列的定义，从公差为这一特性出发，抓住倒序后两式中上下对应项的和均为这个特点，构造相同项，进而化繁为简，推得公式。由此学生自然会联想等比数列是不是也可以用倒序相加法求和?学生进行尝试发现时行不通的.在此情景下引领学生透过现象看本质，如何在等比数列前n项和中构造相同项，从而化繁为简是解决问题的关键。引导学生抓住等差数列求和是根据定义，由公差切入。自然，等比数列求和也应根据定义，由公比来探究。

关注等比数列的定义：，如果对其稍加变形，就会发现= 即等比数列中的每一项乘以都等于其后项，由于这是每一项共有的特点，所以将这一特点应用在前n项和上，即。这样一来，等式两边为何乘，迎刃而解。通过如上分析，学生也体会到：这两种数列求和公式的推导方法，从数学思想上来讲是一致的，将不同项转化为相同项，从而将不易求转化为易求，只是具体的处理形式略有差异。正是由于这些异同，学生数学思维深刻性、广阔性等品质就得到了提高，思维能力得到了锻炼。

下面如何对这一等式进一步的化简整理，由学生分析思考，合作完成。在整合的过程中，学生会出现两个问题。

第一： 由此，学生会发现②式中的前（n-1）项与①式中的后（n-1）项对应相同，这样一来就构造出了相同项。但是，在表征形式上的处理有差异。有些学生注意到如果将等式右边各项均往后错一位，那么两式中相同项的对应就更加清晰，在此基础上，用①式减②式，这些相同的（n-1）项立即抵消为0，得到,从而完美的达到了化繁为简的目的。因此，对于学生深入细致的思考应给予高度的肯定和赞赏。同时，强调指出，这样的处理方法被形象的喻为：错位相减法。

第二：进一步化简，有些学生容易忽视：等式两边同时除以（1—）时除数要求不为0，因此要特别强调对1—做分类讨论，当1—=0即=1时，数列为常数列， ，当1—≠0即

≠1时， ，从而通过错位相减法推出公式。在此基础上，引领学生由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：≠1时，

在探究的过程中，学生还有其他的推导公式的想法，我们都给予了学生高度的肯定，并且让学生在课下整合自己的探究过程，在班级的学习园地中展示，同学们共享研究成果。同时，错位相减法是解决一类求和问题的重要基础和有力工具。要引起学生的高度重视。

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功能良好的认知结构.在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程,深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”.

公式应用

公式推出后,又通过对公式特征的分析帮助学生弄清公式形式和本质，明确其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础。

首先回到国王赏麦的故事中，我给学生提供了相应的数据，让学生运用公式解决问题，从数据出发，用事实说话。同时再次使学生明确学习的意义在于学以致用。退去故事的外衣，就是等比数列求和的问题，所以在此基础上的变式练习就是公式的直接应用，目的是加强对公式的认识和记忆，帮助学生明确解题步骤，规范解题格式，提高运算能力。例2是关于“知三求二”的应用问题，目的是深化公式本质，渗透方程思想。

教学反思

结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在公式的推导及证明中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与创新，它就像一缕温暖的阳光，不一定能唤醒万物，却能催开人世间最绚丽的花朵。

整节课采取了“情境——问题”的教学模式，以实际问题作为背景创设教学情境。在具体问题上，抽象出解决一般问题的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，让学生亲历提出问题，解决问题，反思总结的全过程。在已有知识和经验的基础上主动建构新知识。同时，运用了学案，成果展示等新的教学理念。既保留了传统教学的优势，又增添了新式教学的辅助。新老结合，效果显著。

从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了等比数列前n项和的学习，在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的提高时有限的，特别是数学思想的渗透。但是，我们能够从一节课中吸取精华，让一节又一节的课堂活动连贯起来，促进学生学习能力的提高，数学素养的提升。

在整个过程当中，从开始准备到此刻，我深刻的体会到了钻研教材的艰辛与快乐，解惑授业时的责任与幸福。学无止境，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

课题：等比数列的前n项和

教材：人教版必修五§2.5.1 授课教师： 姜黎黎

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；

教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；

（2）等比数列的前n项和公式的应用；

教学难点：等比数列的前n项和公式的推导；

教学方法：问题探索法及启发式讲授法

教 具：多媒体

教学过程：

一、复习提问

回顾等比数列定义，通项公式。

（1）等比数列定义：（，

（2）等比数列通项公式：

（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算　　　　　　　　　　　　　　　　

引出课题:等比数列的前n项和。

三、问题探讨：

问题：如何求等比数列的前n项和公式

回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。

倒序相加法。

等差数列它的前n项和是

根据等差数列的定义

（1）

（2）

（1）+（2）得：

探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？

学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。

回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。

构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？

根据等比数列的定义：

变形：

具体： ……

学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：

由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。

所以将这一特点应用在前n项和上。

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

（1）

（2）

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

当q=1时，

当时，

学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。

由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

当时，

四.知识整合:

1．等比数列的前n项和公式：

当q=1时，

当时，

2．公式特征：

⑴等比数列求和时，应考虑与两种情况。

⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。

⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，，

五个量中“知三求二”（方程思想）。

3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。

五、例题精讲：

例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。

变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.

⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.

例2．画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，

依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？

⑵若已知所画正方形的面积和为，求一共画了几个正方形，及所画的最后一个正方形的面积。

解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且

（1）

（2）

答：（1）第七个正方形的面积是。

（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是。

巩固练习：⑴已知等比数列中，，,求。

⑵已知等比数列中，，,，求n，。

六、课堂小结：

1、等比数列的前n项和公式：

当q=1时，

当时，

2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。

3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。

七、课后作业：

基础题：课本P61 习题2.5 A组1，2

提高题：求和（

探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？

八、板书设计：

九、课后反思：

2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《等比数列的前n项和公式》（河南姜黎黎）