2021届内蒙古呼和浩特市高三质量普查调研考试数学(文)试题(解析版)

发布时间：2022-11-12 09:55:30

关注公众号《品数学》2021届内蒙古呼和浩特市高三质量普查调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知abia,bR是1i12i的共轭复数，则ab（）A．4【答案】A【分析】先利用复数的乘法运算法则化简1i12i，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【详解】1i12i12ii23iB．2C．0D．1abi3ia3,b1，ab4故选：A2．设集合Axx4x30，Bx2x4，则AA．x2x3【答案】C【分析】解不等式确定集合A，然后由交集定义得结论．【详解】Axx4x30{x|1x3}，所以A故选：C．3．在下列各选项中，不是一个等比数列的前三项的是（）.A．2，4，8【答案】C2【分析】根据成等比数列可知，a1a3a2，然后逐一判断即可.2B（）D．x1x4B．x2x3C．x1x42B{x|1x4}．B．-2，-4，-8C．-2，-4，8D．2，-4，8【详解】A：2842，符合；B：284，符合；C：284，不符合；D：284，符合.222高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》故选C.【点睛】本题考查等比数列的项之间的关系，难度较易.4．设为第四象限角，且sincosA．1，则tan的值为（）25C．43B．3443D．34【答案】C【分析】由题意可求得2sincos49242，则sincos，从而25253sin75sincos，由此解得，再切化弦结合诱导公式求出答案．45cos51，①51∴两边同时平方得12sincos，2524∴2sincos，2549492∴12sincos，即sincos，2525【详解】解：∵sincos又为第四象限角，∴sincos7，②53sin5联立①②解得，4cos54sincos425tan∴，sin332cos52故选：C．5．如图是函数yfx的导函数yfx的图象，则函数yfx的极小值点的个数为（）高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》A．0【答案】BB．1C．2D．3【分析】通过读图由yfx取值符号得出函数yfx的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【详解】由图象，设fx与x轴的两个交点横坐标分别为a、b其中ab，知在(,a，(b,上f(x0，所以此时函数f(x在(,a，(b,上单调递增，在(a,b上，f(x0，此时f(x在(a,b上单调递减，所以xa时，函数取得极大值，xb时，函数取得极小值．则函数yf(x的极小值点的个数为1．故选:B【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．6．为了提高垃圾的资源价值和经济价值，力争做到物尽其用，国家向全民发出了关于垃圾分类的号召.为了响应国家号召，各地区采取多种措施，积极推行此项活动.一商家为某市无偿设计制作了一批新式分类垃圾桶，它近似呈长方体状，且其高为0.45米，长和宽之和为2.4米，现用铁皮制作该垃圾桶，按长方体计算，则使这个垃圾桶的容量最大时（不考虑损耗，不考虑桶盖），需耗费的铁皮的面积为（）平方米A．3.84【答案】BB．3.6C．6.28D．4.8高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》【分析】设长为x米，则宽为2.4x米，体积为V立方米，求出V的表达式，结合二次函数的性质即可求出取容量最大值的长和宽，从而可求出正确答案.【详解】解：设长为x米，则宽为2.4x米，体积为V立方米，由题意知，V0.45x2.4x0.452.4xx20.45x1.21.440x2.4，2当x1.2时，Vmax0.451.440.648立方米，即长为1.2米，宽为1.2米时，容量最大，此时铁皮面积为1.21.20.451.220.451.223.6平方米.故选:B.7．已知数列an是公差不为零的等差数列，且a1a10a9，则（）A．a1a2a9a10278B．52C．3D．4【答案】A【分析】根据数列an是等差数列，且a1a10a9，求出首项和公差的关系，代入式子求解.【详解】因为a1a10a9，所以2a19da18d，即a1d，a1a2a99a59a14d27d27.所以a10a10a19d8d8故选：A8．设曲线fx等于（）A．1【答案】C【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！1cosx在,sinx3f处的切线与直线ykx1平行，则实数k3B．23C．2D．2
关注公众号《品数学》【详解】切线与直线ykx1平行，斜率为k，又f(xsin2x1cosxcosxsin2x1cosx，2sinx所以切线斜率kf(2，所以ykx1的斜率为2，3即k2．故选：C．【点睛】思路点睛：该题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，解题思路如下：（1）对函数求导；（2）将自变量代入求得相应点处的导数值，即曲线在该点处的切线斜率；（3）利用直线平行斜率相等，列出等量关系求得结果.9．已知角α、β顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴.甲：“角α、β的终边关于y轴对称”；乙：“sin0”.则条件甲是条件乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数角的关系进行判断即可.【详解】若角α、β的终边关于y轴对称，则2k，D．既不充分也不（）sin（2k）sin0，则2k，则sin（）0，则k，则角α、β的终边关于y轴不一定对称，若sin故条件甲是条件乙的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，利用三角函数角的对称关系是解决本题的关键，属于中档题．10．已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.则数列的前n项的和为（）2n38n2A．1332n38n2C．1332n38n12B．1552n38n12D．1551n1anan1高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》【答案】D【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入1n1anan1可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38，a1qa1q320所以2，aq81解得q2，a12，n1n所以an222，1n1anan11n12nn11n122n1，1n1anan1是以8为首项，4为公比的等比数列，579Sn2222故选：D31n122n12n38[1(4n]8n12(1，1(455【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.11．下列四个命题：11p1:x0,,；p2:x0,1,log1xlog1x；p3：2323xx111（）x0,,log1x；p4：x0,,log1x.其中的真命题是32232A．p1,p3【答案】C【分析】对于四个命题，分别利用指数函数和对数函数的性质，进行判断和排除，由此得出正确结论.11【详解】当x0时，恒成立，故23xxxxB．p1,p4C．p2,p4D．p2,p3p1为假命题，排除A,B两个选项.当x12时，11，故p为假命题，排除选项，故选C.Dlog3122212【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的性质.对于选择题，可以利用特殊值排除法来求解.属于基础题.高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》12．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则AB•CD（）A．32【答案】CB．28C．26D．24【分析】建立以a,b为一组基底的基向量,其中ab1且a,b的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量AB和CD均可以用a，b表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以a,b为一组基底的基向量,其中ab1且a,b的夹角为60°,∴AB2a4b,CD4a2b,∴ABCD2a4b4a2b8a8b20ab882011故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.二、填空题22126.2xy013．已知实数x，y满足约束条件：xy40，则z2xy的最小值为______.y1【答案】1【分析】画出不等式表示的可行域，再利用几何意义求最值，z2xy表示在x轴上截距的2倍，所以只需求出可行域内的点在x轴上截距最小时即可求出z的最小值.高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》【详解】解：画出不等式表示的可行域，做出直线l：y2x，平移当直线l过点C时，z2xy有最小值，解xy0得：C1,1，代入z2xy得：z1y1故答案为：114．ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcsinA4，BC边上的高为2，则bcosCccosB的值为______.2【答案】42【分析】根据三角形的面积公式求解出a的值，再根据正弦定理分析bcosCccosB与a的关系，从而求解出结果.【详解】设ABC的外接圆半径为R，因为S又因为ABC112bcsinAa2，所以a42，222bcosCccosB2RsinBcosCsinCcosB2RsinBC2RsinAa，所以bcosCccosB42，故答案为：42.【点睛】结论点睛：在ABC中，角A,B,C的对应边为a,b,c，则有（射影定理）：（1）acosBbcosAc；（2）acosCccosAb；高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》（3）bcosCccosBa.15．定义在0,上的函数fx满足xfx的解集为______.【答案】0,1fx>0，且f10，则fx0fxxfxfx【分析】先令g(x，对其求导，得到gx，根据题意，xx2得到g(x到结果.【详解】令g(xfx在0,上单调递增；再由f10得g(10，结合x的符号得xfxxfxfx，则gx，2xx因为定义在0,上的可导函数fx满足fxxfx0，fxxfx所以g(x0在0,上恒成立，2x所以函数g(xfx在0,上单调递增；xf10，1又f10，所以g(1因此，当x1时，g(x0，所以f(x0，当0x1时，g(x0，所以f(x0，故答案为：0,1.【点睛】方法点睛：该题主要考查导数的方法解不等式，在解题的过程中，思路如下：（1）构造函数，利用导数，结合题中所给的条件，判断函数的单调性；（2）根据题中所给的函数的零点，判断函数值的符号，得到结果.16．关于函数fxsinxsinx有下述四个结论：①fx是偶函数；②fx在区间,32③fx在,有3个零点；④fx的最小正周期为2，单调递减；其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在x0时的性质对结论逐一判断即可．【详解】∵f(xsin|x||sinx|，定义域为R，∴f(xsin|x||sinx|sinxsinxf(x，∴函数fx是偶函数，故①对；当x,32时，f(xsin|x||sinx|sinxsinx0，32上不单调，故②错；∴函数fx在区间,当x0,时，由fx2sinx0得x0，x，根据偶函数的图象和性质可得，fx在,0上有1个零点x，∴fx在,有3个零点，故③正确；当x0时，f(xsin|x||sinx|sinxsinx根据奇偶性可得函数fx的图象如图，2sinx,sinx0，0,sinx0∴fx不是周期函数2，故④错；故答案为：①③．【点睛】关键点点睛：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题217．已知数列an的前n项和Sn25n2n.（1）求证：an是等差数列；高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》（2）求数列an的前n项和Tn.2n225n,n6nN.【答案】（1）证明见解析；（2）Tn22n25n156,n7【分析】（1）现根据已知条件求解出an的通项公式，然后根据等差数列的定义证明an为等差数列；（2）先将an的通项公式分段书写，然后对n分类讨论，由此求解出Tn的最终结果.【详解】（1）由题意得22①若n2，则anSnSn125n2n25n12n14n27，②若n1，则a1S123，经检验满足上式.故an4n27，由an1an4可知，数列an是首项为23，公差为4的等差数列.（2）易得：an4n27,n64n27,n72①若n6，TnSn2n25n，②若n7，TnS6SnS6Sn2S62n25n156，22n225n,n6nN.综上Tn22n25n156,n7【点睛】思路点睛：已知an为等差数列，求解an的前n项和Sn的思路：（1）先根据项的正负将an的通项公式分段书写；（2）根据分段的an通项公式，分别考虑在对应n的范围下Sn的计算方法，由此求解出结果.18．设函数fxsinxcosx，xR.（1）已知0,2，函数fx是奇函数，则的值；（2）若f32，且0,，求f2的值.45【答案】（1）7317或；（2）.4254高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！【分析】（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦的
关注公众号《品数学》诱导公式结合奇函数的性质得出；（2）由（1）化简已知得cos公式变形后代入，即可求值．43，从而得sin，用两角和的正弦公式和二倍角53f(x2sinx【详解】（1）易得：，4∴fx2sinx，44k，kZ，∵fx为奇函数，∴∵0,2，∴（2）易得：f∴cos73.或4432，2sin2cos4254，53，故sin5∴f22sin2sin2cos2417.252sincos2cos21【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，考查三角函数的求值问题．（1）三角函数问题，一般需要利用二倍角公式，两角和与差的正弦（或余弦公式），诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质求解；（2）三角函数求值问题，需要先利用三角函数恒等变换进行化简变形，把已知条件化简，把求值式化简，然后确定已知与未知间角的关系，确定选用的公式进行求值．19．已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3ACABbcasinC.（1）求角A的大小；（2）设bc，点N是ABC所在平面上一点，且与点A分别位于直线BC的两侧，若BN4，CN2，求当△BCN面积最大时，ABC的周长.【答案】（1）；（2）25210.2【分析】（1）由数量积公式可得3bccosAbcabsinC，再利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可得答案；高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》（2）由（1）可得，ABC为等腰直角三角形，求得BC用三角形面积公式，结合配方法可得答案.【详解】（1）易得3bccosAbcabsinC，∴3cosAsinCsinCsinAsinC，∵C0,，sinC0，∴3cosA1sinA，∴2sinA2b，再利用余弦定理、利1，∴A.32（2）由（1）可得，ABC为等腰直角三角形，所以BC2b，CN2BN2BC210b2，cosN2CNBN8S△BCN10b21CNBNsinN41，28BCN2∴当b10时，S取得最大值，此时SABC的周长为25210.【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20．已知函数fxx2eax（e为自然对数的底数）.x（1）当a0时，求证：函数fx在0,上恰有一个零点；（2）若函数fx有两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,0.【分析】（1）法一：利用导数的性质进行求证即可；法二：利用函数的性质直接判断即可求证；xx（2）对f(x求导，得fxx1ea，构造函数gxx1e，利用导数的性质求出参数a的范围即可【详解】（1）法一：易得：fxx2e，x高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》∴fxx1e，2令f′x0，∴x1，令f′x0，∴x1，∴fx在0,1上单调递减，且fx0；在1,上单调递增且有f1e0，f3e0，3故命题获证.法二：易得：fxx2e，xex0恒成立，fxx2ex有唯一零点x2.（2）易得fxx1ea，x令gxx1e得gxxe，xxx,000,gxgx01∴gx在,0上单调递减且1gx0；在0,上单调递增且有g2e20，∵函数fx有两个极值点，∴a1,0.【点睛】关键点睛：解题的关键在于求导得到fxx1ea后，构造函数xgxx1ex，并通过对g(x通过求导得到奇函数的极值点，进而求出a的范围，难度属于中档题21．已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1t1），且每小时可获得利润603t51元.t高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》（1）若厂家以生产该产品2小时获得利润至少为1800元的速度进行生产，记1天（按8小时计算）生产该产品的数量为m千克，求出m的取值范围；（2）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【答案】（1）24,80；（2）当t1时利润最大为207400元.68小时/千克，根据题意可得出关于m的不等m【分析】（1）计算出生产该产品的速度为式，结合0.1<81可求得m的取值范围；m（2）设生产速度为t小时/千克，计算出利润y关于t的函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得y的最大值及其对应的t的值.【详解】（1）易得：生产该产品每小时获得利润至少为900元，8小时生产产品的数量为m千克，故生产速度为8小时/千克.m85m6031900，整理得5m2112m1920，即m85m8m240，81，可得8m80，因此，24m<80；m（2）设生产速度为t小时/千克，故生产680千克需要680t小时.又0.1<所以，利润y680t603t当t51680603t2t5，t1时利润最大为207400元.6【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》txt122．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线2t1yt1x22cosC2的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建y2sin立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线102与曲线C2交于O，P两点，射线22与曲线C1交于点Q，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值.【答案】（Ⅰ）xy10，4cos；（Ⅱ）22.【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数t，即得曲线C1的普通方程.由曲线C2的xcos参数方程消去参数α，得曲线C2的普通方程，根据，即得曲线C2的极坐ysin标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C2的极坐标方程为4cos，设点P(4cos,.曲线C1的普通方程化为极坐标方程得cossin10，则点11Q,.由SPOQ|OP||OQ|1，求出，即求|OP|的值.2cossin2txt1【详解】（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），2t1yt11x1t1化为（t为参数），1y2t1两式相减消去参数t，得曲线C1普通方程方程为：xy10.曲线C2的参数方程为x22cos（α为参数），y2sinx22cos化为（α为参数）两式平方相加消去参数α，y2sin高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》得普通方程方程为(x22y24，即x2y24x0，根据xcos，得曲线C2的极坐标方程为4cos.ysin（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程为4cos，设点P(4cos,.由于直线C1的极坐标方程为cossin10，可得点Q1,，cossin2SPOQ114cos1，2cossincossin,0故|OP|＝4cos22.2,4.【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，属于中档题.23．（1）已知a，b0，求证：a3b3a2bab2.（2）已知a,b,c为正数，且abc1，求证abbcca【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用作差法证明即可得证;（2）由a，b，c为正数，且abc1，将abc1两边平方,然后结合1.3a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，然后左右相加求解即可.【详解】证明：（1）ab33ababa(abb(ba2222(aba2b2(ab2(aba0，b0，ab0，(ab20，(ab2(ab0，则有a3b3a2bb2a（2）已知a，b，c为正数，且abc1，则(abcabc2ab2bc2ac1.2222高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！
关注公众号《品数学》由a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，左右相加得：a2b2c2abbcca，故3(abbcca1，故abbcac1.3【点睛】本题考查了利用作差法证明不等式，重点考查了重要不等式，属基础题.高中数学资料共享群734924357，每天都有更新！

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