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必备六　解题技法增分

技法一　特例法

　　在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省去了推理论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当会有事半功倍的效果.

典型例题

　　例1　(1)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则word/media/image2.gif=　　　　　　. 

(2)AD,BE分别是△ABC的中线,若|word/media/image3.gif|=|word/media/image3.gif|=1,且word/media/image3.gif与word/media/image3.gif的夹角为120°,则word/media/image3.gif·word/media/image3.gif=　　　　. 

答案　(1) word/media/image4.gif　(2) word/media/image5.gif

解析　(1)利用特例法,令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,cosA=word/media/image4.gif,cosC=0,从而所求值为word/media/image4.gif.

(2)易知等边三角形为符合题意的△ABC的一个特例,则|AB|=word/media/image6.gif,∴word/media/image3.gif·word/media/image3.gif=|word/media/image3.gif||word/media/image3.gif|cos60°=word/media/image5.gif.

【方法归纳】

当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理.

跟踪集训

1.求值:cos2a+cos2(a+120°)+cos2(a+240°)=　　　　. 

2.已知m,n是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若n⊥α,n⊥β,则α∥β;③若α内不共线的三点到β的距离都相等,则α∥β;④若n⊄α,m⊄α,且n∥β,m∥β,则α∥β;⑤若m,n为异面直线,n⊄α,n∥β,m⊄β,m∥α,则α∥β.其中正确的命题是　　　　.(把你认为正确的命题序号都填上) 

3.如图,点P为椭圆word/media/image8.gif+word/media/image9.gif=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=　　　　. 

技法二　图解法

典型例题

　　例2　(1)直线y=x+m与曲线x=word/media/image10.gif有且仅有一个公共点,则m的取值范围是　　　　　　　　. 

(2)已知函数f(x)= word/media/image11.gif (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-word/media/image12.gif恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是　　　　. 

答案　(1)-1或m=-word/media/image13.gif　(2) word/media/image14.gif

解析　(1)作出曲线x=word/media/image10.gif的图形,如图所示.由图形可得,当直线y=x+m在b和c之间变化时,满足题意,同时,当直线在a的位置时也满足题意,所以m的取值范围是-1或m=-word/media/image13.gif.

(2)因为函数f(x)在R上单调递减,

所以word/media/image16.gif解得word/media/image17.gif≤a≤word/media/image18.gif.

在同一平面直角坐标系中作出函数y=|f(x)|,y=2-word/media/image12.gif的图象,如图.

由图象可知,在[0,+∞)上,方程|f(x)|=2-word/media/image12.gif有且仅有一个解;在(-∞,0)上,方程|f(x)|=2-word/media/image12.gif同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<word/media/image5.gif.

综上,a的取值范围是word/media/image14.gif.

【方法归纳】

图解法实质上是数形结合的思想在解题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.

跟踪集训

4.(2018江苏连云港期末)若方程组word/media/image20.gif有解,则实数t的取值范围是　　　　　. 

5.向量word/media/image3.gif=(2,2), word/media/image3.gif =(2,0), word/media/image3.gif =(word/media/image13.gifcosα, word/media/image13.gif sinα),则向量word/media/image3.gif, word/media/image3.gif的夹角的取值范围是　　　　　　. 

6.(2018镇江高三期末考试)已知k为常数,函数f(x)= word/media/image21.gif若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有4个不同的解,则实数k的取值范围为　　　　　　　　　. 

技法三　等价转化法

　　通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而得到正确的结果.

典型例题

　　例3　对任意的|m|≤2,函数f(x)=mx2-2x+1-m恒负,则x的取值范围为　　　　　　. 

答案　word/media/image22.gif

江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备六解题技法增分学案201903024274